balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Каждое уравнение имеет второй порядок: баит 41зт Рдт Р ад ~ аз изд+аз +а4 (1 — 14'); дха 41х 41х ЕГд 41ит 41 аит Оаззт Рати И аз +а6 1 а7~за+аз + з~т (1 Р')1 дХ 4ДХа дха ЕГа 41ит доит ~Г~дзт 419 Ч аз +адд — +ада~ +адз +ад4Д4~ +а,з 41х 41ха 41ха 41ха ея (9.25) ~1 дит ад~ П + а47 + адз Ю + адз М О. Йха Введем вектор искомых функций, состоящий из трех компонентов и, о, и перемещений и момента М, (у) = (и о ы М, )г.
(9.26) Уравнения (9.25) могут быть представлены в виде [А! (у) + [В! — (у) — ,'- [с! (у) = Р), (9.27) где адО О 0 [Ч 0 а„. а, 0 ада адз адз 0 0 а„О 0 аз а4 0 а5 О 0 0 а„,000 0 0.0 0 Г9.28) а, 0 0 О О а а О 0 аз а„О 0 адз а,з адз — Рдт (~)) — (1 149) Рат Рзт 0 Составляющие этих матриц подсчитывают, как показано выше. ОНИ ЗаВИСят От ОтНОСИтЕЛЬНОй тОЛщИНЫ ОбОЛОЧКИ й = Гдз/(12Яз), КО- эффициента Пуассона 1д и номера гармоники т, 25д Чтобы решить задачу, кроме уравнения (9.23) необходимо знатЬ . граничные условия на каждом из граничных контуров. Здесь могут :, быть заданы силы, перемещения или условия упрутого закрепления контура.
Общее число граничных условий на контуре равно четырем, Например, для заделанного края и = о„, = в =-- — = О, для ~~т шарнирно опертого края и,„= а„, =-- и. = М„„= О. Таким образом, известны некоторые из компонентов вектора (у) или его производной Цу)~дх. В общем виде матричная форма граничных условий при х = 0 и х — х„может быть представлена следующим образом: 1Е)0 (9)0+ [Ло Ь)о =' (йо~ 1Е] — Ь). ' (Л. Ь)п=(й' (9.29) Матрицы 1Е1 и И имеют размер 4 х 4 и обычно слабо заполнены. Для заделанного края 0000 1000 Е1 00100010 ОООО 0000 при нулевом векторе (6) правой части (9.29). Итак, краевая задача для оболочки описывается уравнением (9.27) .
и граничными условиями (9.29). Рассмотрим последовательность решения уравнений методом конечных разностей. Разобьем область интегрирования от х = 0 до х = х„на ряд участков. Длину каждого участка обозначим Л. Первую и вторую производные от векторов (у) запишем в разностной форме: (У) ~, (Ь)ь-~ 2Ы~+Ь)~т~)~ Первую производную при аппроксимации граничных условий пред- ставим с точностью 0 (А') в соответствии с формулами (9.25) через пра- вые разности для начали интервала: а 3, 2 ! — (п). = — — ' Ь.). + — (И вЂ” — (И дх 2Л ' Л 2Л а для конца интервала через левые разности: с4х 2Л Л 2Л й 3 2, 1 259 Учитывая эти соотношения, граничные условия и уравнения оболочки могут быть записаны следующим образом: [О10 (У)0+ .
[Е10 (У)1 ' [Е10 (у)г ЮО 1 2 1 'Л 2Л Е1 (у);+ + [М1; (у); + [Л'1 (у); — = Р) '* (9.30) [Е)и(у)ч-г — —,~ [Е1 (у) -1+Ф1а(уЬ= Ф)п Первая строка здесь относится к левой границе (1 = О), третья — к правой (1 = п). Значения 1 во втором уравнении принимаются 1 = 1, 2, 3, ..., и — 1. Отсюда общее. число уравнений равно (и + 1) и соответствует числу искомых векторов (у).
Матрицы в выражениях (9.30) определгпотся следующими соотношениями: [Ц; = — [А1; -,'— — [В1;; [А'1; = — [А1; — — Щ. 1 - 1 Ь' 2Л Для решения системы уравнений (9.30) воспользуемся процедурой матричной прогонки. Положим, что векторы (у) в соседних точках связаны линейным соотношением (уЬ Ыг + Ф1г (уЬ+ (9.31) где [а1; и [р1; — матрицы прогонки.
Построим рекуррентные формулы, связывающие эти матрицы в соседних точках. Для этого запишем формулу, аналогичную последней, но для предыдущей точки 1 — 1: (у)с- = Ы; — + Ф вЂ” (у) . Ы; =- ([М1; + [М1; [К,)-' (٠— [Ы; Ы;,); (9.32) [И~ =- — ([М1~ + [%; [Я;,)-' [Ы;. Для первого этапа расчета — определения всех матриц прогонки— нужно знать их значения в начале интервала. Их можно найти с помощью первого и второго уравнений (9.30) для 1 = 1 и выражения (9.31) 2бо Подставляя ее.во второе соотношение (9.30) и учитывая соотношение (9.31), получаем связь между матрицами прогонки в соседних точках: о для этого же значения ~. После выполнения операций с матрицами получаем 2 1 — 1 И1 — [М 11+ — [Л 11 [Н1о [Е1о~ ([011 [%1 [Н1о [61о) [ (9.33) 911= [М11-г~ — Ю1 [Н1о [Е1о1 ~[И1 + — [%1, [Н1о ' [Е1о .
Ь / ~ 2Ь Эти значения матриц могут быть определены при заданных параметрах оболочки и известных граничных условиях в-начале интервала. Остальные матрицы для ~ = 2, ~ =- 3 н т. д. находят по формуле (9.31). Прямой ход при прогонке ведется до значения ~,=- л — 2. В конце интервала нужно воспользоваться граничным условием — третьим и вторым уравнениями (9.30) для ~ = — и — 1 и выражением (9.3[) для ~ = а — 1.
Из этих соотношений находят вектор искомых функций для предпоследней точки а — 1: (У)п-1 = [Н1о-~ [йп — и [Ио-1[Н1п [Е)о [йа-о ~ [М)о-1+ + ~Ио-1[Н1л [Е!о Ф1о-1 [Н1о-1[со[о-о — [И -1[Н1 'Ф1 + — [И -1[Н1 '[Е1 [а1 о . (9.34) ~~ ~,О ОЮ Об 04 0,2 О' левых перемещениях ио=и„=О'„ жо = и„— О. Вычисления проводились для ЙЯ = 1/50, коэффициента Пуассона р = 0,3; И[' = 1. Рассмотренная последовательность решения задачи для цилиндрической оболочки может быть распространена на оболочку вращения произвольной гео- ОЙДО ОО2 О4 Об ОО УОха Рис. 9А Векторы в остальных точках определяют последовательно с помощью 'соотношения (9.31) и известных матриц прогонки при обратном ходе. При этом необходимо записывать не только значения искомого век- д 1 .
! тора (у);, но и его производные — (у), = — (у),.+ — — (у);,. С помощью этих величин и соотношений теории оболочек находят все компоненты усилий и перемещений оболочки для определен- а)4О ного числа т. О,д и=О На рис. 9.4 приведены ре- Об зультаты расчета цилиндр иче- О4 ской оболочки, нагруженной на Ог двух торцах краевыми моментами М, = М„= М соз т~р для т= 0(а) и т=-5(б) при ну- ' О ОЯ О4 Об 08 1О~Ф метрии меридиана.
[В этом случае несколько сложнее подсчитать коэффициенты уравнений (9.25). Они нс будут постоянными для всех точек интервала интегрирования. Но общий алгоритм расчета остается тем же. 5 9.3. Расчет методом конечных элементов Воспользуемся соотношениями МКЭ, приведенными в ~ 3.5. Условие равновесия для оболочки вращения примет вид Щ (бе,)г (а.,) гдсрйй = Я (ди)г (р) гйрй.
(9.35) Индекс г у векторов деформаций и напряжений. показывает, что они соответствуют слою оболочки, находящемуся на расстоянии г от срединной поверхности: (е~) (е1Г2Л х) ~ (ог) (о1Р2~тх) Так как оболочка тонкая, все объемные силы приводятся к,срединной поверхности и входят в общий вектор поверхностной нагрузки (р) = = (ре, р, р„)г. Вектор перемещений (и) = (и, о, и)г.
Согласно гипотезе прямых нормалей (е,) = (и) + г (х), (9.36) где векторы деформаций срединного слоя и изменения кривизн равны (в) = (е1е.,у)~; (х) = (х,х,х„)~. Для слоя на расстоянии г от срединного вектора напряжений определяется соотношением (а,) =. [й] (е) + г [Н (х), (9.37) Матрица И1 упругих констант для изотропной оболочки определяется зависимостью (3.105). После подстановки формул (9,36) и (9. 37) в выражение (9.35) и интегрирования по г левой части уравнения получим условие равновесия тонкой оболочки вращения, соответствующее принципу возможных перемещений, в виде: Ь Ц (бе)г [И (е) гй~рй + — ) ~ (бх)г [01 (х) гд~рй = = Д (би)г (р) п1срй. (9.38) Представим векторы деформаций и изменения кривизн срединного слоя через перемещения. Воспользуемся соотношениями (5.10), (5.12), (5.13). Тогда (е) = [С,1 (и), (9.39) где соя О япО [С,1 =- гор Формулы (5.55), (5.56), (5.57) связывают изменения кривизн с углами поворота д, и д„составляющими вектор (д): (х) = [С,] (О), (9.40) где сов О [С2] = 1 д 2 удср В свою очередь, углы поворота выражаются через перемещения в соответствии с уравнениями (5.14), (5,15), откуда (д) = [С,1 (и), (9.41) где да [Сз] = 41по д уды (9.45) (9.46) АЗ Подставив выражение (9.41) в формулу (9.40), получим (и) = [С41 (и) (9 42) где матрица [С,1 =' [С,1 [С,1 имеет размер 3 м 3.
В дальнейшем при решении задачи методом конечных элементов необходимо задаться полем перемещсний в элементе и выразить пере- мещения в любой точке чсрез вектор узловых перемещений. Положим, что матрица [Ф] определяет это соотношение: (гг) = [Ф1 (и„). (9.43) Тогда, имея в виду выражения (9.39) и (9.42), можно получить сле- дующие соотношения: (е) = [В,1 (и„); (х) =- [Вс] (и„). (9.44) Подставим их в уравнение (9.38) и введя обозйачения [Кг] = 7г Д [В,]т [О] [В,] уг]грдз; [К,] =- — [Вс]т [О] [В41 Ус[грсь, 12 получим матрицу жесткости элемента оболочки [И = И,] + [№1, составленную из слагаемых, соответствующих работе мембранных сил и изгибающих моментов.
Вектор нагрузки элемента равен (Р) 1.[ д~]т ( ) .с],,] Уравнение (9.38) равновесия элемента оболочки примет вид Щ (и„) = (г'). (9.47) Представленные зависимости позволяют составить последовательность решения задач методом конечных элементов: 1. Определяют размеры, геометрию и количество элементов в оболочке. 2. Задаются полем перемещений и, о, и в виде степенных функций в локальной системе координат в каждом элементе. 3. Коэффициенты в полиномиальных функциях выражают через узловые перемещения. 4. Определяют матрицу [В,1, связывающую вектор деформации срединной поверхности с вектором узловых перемещений [соотношения (9.39), (9.43)1.
5. Находят матрицу [В,1, определяющую вектор изменений кривизн срединной поверхности [соотношения (9.42)', (9.43)1. Эти зависимости позволяют, воспользовавшись уравнениями (9.45), (9.4б), определить матрицу жесткости и вектор узловых сил элемента. б. Составляют общую или глобальную матрицу жесткости всей системы. 7. Для узлов, совпадающих с граничным контуром, записывают условия на границе.
8. 'Решают полученные уравнения, определяющие узловые перемещения во всей системе, 9. Находят деформации и напряжения во всех узловых точках. Для элемента цилиндрической оболочки, изображенного на рис. 9.5, постф>им матрицу жесткости при осесимметричной деформации, Вектор узловых перемещений элемента состоит из шести и д~ составляющих: (и„) = (и~и д и ы~Ю )г.
иг Положим, что поле перемещений внутри элемента апнроксимируется полиномами и = а, + а,э; (9.48) где а~ ... а, — коэффициенты аппроксимации; з — осевая координата. Угол поворота нормали для цилиндрической оболочки дв О = — = а~+ 2аь з+ Зав Р. дя Поскольку 1) при а=О имеем и = и;, в= и;, 6 = 6,; 2) при я=[имеем и=и,; в=Ы,; б=д„ выразим коэффициенты а, ... а, через узловые перемещения и„и„ ы~~, в„д„д,. Матрица, связывающая вектор перемещений (и) = = (и в)" с вектором узловых перемещений (и„) в уравнении (9.43), такая: 1 — — О О 0 1 — 3 — +2 — я — 2 ~ + [Щ] = 0 (9.49) С помощью соотношений (9.39), (9.42), (9.43) определяем "матрицы [В,) и [В,): 0 — 1 — 3 — +2 — — 3 — 2 — +— О - О 0 0 — 3, 2 0 0 О 0 — 6 — +12 —, — 4 — +6 — 0 [Ва[ = 0 ' 6 — — 12 — — 2 — +6— 0 Составляющие матрицы жесткости элемента [КД и Щ находят из соотношений (9.46), где интегралы взяты по цилиндрической поверх- ности элемента длиной 1 и радиусом г: 255 ЗягЕй рй О 0 0 0 1 1 1 — (з — — Р— 21 12(' 1 1 12 1 2» 1 !З 1 1З 1 1 !Х— 1 12 35 гз 70 зз 420 гз 13 1з 13 210 гз 1з 105 420 г' 140 1 1 1 р р 2 г 12 г ; (9.50) 13 ! 1! 35 гз 210 гз 5 ьз 84 Симм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
