balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В этом случае Х, = 0,6пЯЛ, откуда Рир = 0А>кр о. (8.67) Критическое число волн п„р для оболочек средней длины, как и в предыдущей задаче, определяется формулой (8.58) при соответствующем значении Х,. 4. На одном торце оболочки заданы граничные условия (8.53), а на другом — условия (8.55), т.
е. один торец оперт, а другой — полность свободен; аналог — балка, один конец которой шарнирно закреплен, а другой полностью свободен. Это вырожденный случай, и первая частота свободных колебаний балки равна нулю, так как при таких граничных условиях балка превращается в механизм. Как отмечалось в предыдущем параграфе, при таких граничных условиях цилиндрическая оболочка может деформироваться без растяжений и сдвигов срединной поверхности; поэтому критическое давление полубезмоментной оболочки при этих граничных условиях определяется формулой (8.62), Аналогично можно исследовать устойчивость полубезмоментной оболочки и при других вариантах граничных условий, в том числе и при упругом закреплении торцов Ш.
Нагружение цилиндрической оболочки внешним давлением в большинстве реальных случаев сопровождается возникновением в ней осевых сил. Для оценки степени влияния этих осевых сил на значение р„р сопоставим значения критических напряжений при осевом сжатии й поперечном давлении. В случае длинной изотропной оболочки, учитывая, что о~ = — рР/Ь, по формуле (8.62) находим критическое сжимающее окружное напряжение (8.68) Для изотропной оболочки средней длины 1см.
формулу (8.64)1 о,„р — — 0,92Е (8.69) В то же время определяемое формулой (8.46) критическое сжимающее осевое напряжение о', „р — — 0,6Е (ЫР). Как видим„для ~онких и не слишком коротких цилиндрических оболочек с закрепленными торцами критические окружные напряжения оказываются существенно меньше осевых.
Поэтому, если в таких оболочках начальные окружные и осевые напряжения имеют один порядок, можно ожидать, что значение критического внешнего давления будет мало зависеть от осевой силы. В частности, при всестороннем внешнем давлении, когда о, = 2а„критическое давление можно подсчитывать по вышеприведенным зависимостям. В тех случаях, когда критическое давление заметным образом зависит от осевой силы, достаточно точное решение можно получить с гааз Т10- помощью упрощенной системы уравнений (8.19), которая при = — д, Т„, = — ' рЯ, 5, =- О принимает такой вид: +ВЧ Ч ц!-~-!7 + — =О; и 2 ди и! Р д'и! дх2 Я д!02 1 д'Р дх~ (8,70) + — ЧЧГ=О, Я дх~ Е!! где Ч вЂ” погонная сжимающая нагрузка, приложенная к торцам оболочки. Простое аналитическое решение этой системы уравнений опять удается получить только при граничных условиях (8.34).
Повторив выкладки и рассуждения, изложенные в ~ 8.3, приходим к выражению 1' тли '1з 0„„, Е1! (тлК/!)4 п1 /, Р ис (! 1 1!7!ИР,!(р!ОР)и + — и'(1+ ~тих%(пЦ')2 ДЗ (8.71) (8.31). Рис, 8.7 минимизируя которое по и и и можно найти критические значения давления р и осевой нагрузки д, т.
е. построить границу области устойчивости для рассматриваемой задачи (см. ~ 7.3). Выражение (8.71) при соответствующем изменении знаков при величинах р и !7 справедливо и для тех случаев, когда внешнее давление сочетается с осевым растя- жением или, наоборот, осе! вое сжатие сочетается с внутренним давлением. 151- Г с На рис. 8.7 показана граница области устойчивости в безразмерных коорР=0 Р 10 динатах р.= р~р„и и !7 = л=В 70 500 Ц~Цкр Где !Унр и Дкр 05 ф=г соответственно критиче- ские значения внешнего Вира!РеИПЕ0 В00ШНОС 000!!е000 0=0 00Мнуб давления и осевой сжимаю- щей нагрузки, действую- 05 1О !5 М Р щих порознь. При д» О и р .! О, т. е.при сочетании -0,5 и= !0 осевого сжатия с внутрен- ним давлением, д„р — — 1 и -70 2 не зависит от давления р; при этом потеря устойчивости происходит по осесим- -15 метричной форме (п„р — — О) С3.
0=1~ и число полуволн в осе- вом направлении т„р оп- -Л,0 ределяется формулой В случае сжатия и в окружном, и в осевом направлениях, т. е, при р ~ 0 и д ~ 0 и при сочетании внешнего давления с растяжением в осевом направлении, граница области устойчивости состоит из отрезков прямых, соответствующих различным значениям п„р при и = 1. Отметим, что границу области устойчивости в первом квадранте можно аппроксимировать прямой, изображенной пунктиром на рис. 8.7: Ч+Р=1.
(8.72) На рис. 8.7 граница области устойчивости построена для оболочки с конкретными значениями параметров Л/й = 800 и 1/й =- 2, однако в безразмерных координатах р и д совершенно аналогично выглядит граница области устойчивости и при других значениях этих параметров. В случае граничных условий, отличных от (8.34), решение задачи существенно усложняется, но характер границы области устойчивости сохраняется тем же. $ 8.$. Устойчивость цилиндрической оболочки при кручении и поперечном изгибе силы, приложенящий момент М = где д, — равномерно распределенные касательные ные к торцам оболочки и создающие в ней крут = 2лЯ'д,.
Для решения этой задачи воспользуемся уравнением (8.20) устой- а чивости пол убезмоментн ой оболочки, которое при рассматриваемом начальном напряженном состоянии принимает вид две Ов / две дви две ~ В, — +=в ~ — +2 — + — 1+ дхв Яв ~ д<рв д~рв д(рв / Простое аналитическое решЕние этого уравнения удается получить лишь для очень длинных оболочек, игнорируя граничные условия на ее торцах. В этом случае решением будет функция ы =- Л з1п (Хх — пр).
(8,75) Здесь и — число волн, образующихся в окружном направлении; Х вЂ” параметр, определяющий шаг спирали, по которой смещаются гребни этих волн вдоль обо- лочки (рис. 8.8, б). Рис, 8,8 где Рассмотрим задачу устойчивости цилиндрической оболочки длиной радиусом Р и толщиной стенки Й, находящейся в безмоментном напряженном сбстоянии (рис. 8.8, а): 71в= О, 7„= О, ~,= — д„ (8.73) Подставив функцию (8.75) в уравнение (8.74) и сократив общий для всех слагаемых множитель А з1п (Хх — п~), получим зависимость д~~ — — — У+ — '; (и = 2, 3,...). (8.76) 1/~ 3 1 /~2~(~ ~) 2 лз(п~ — 11 2 ЯзХ Поскольку для длинных оболочек параметр Х естественно считать непрерывно изменяющейся величиной, то из условия минимума нагрузки д,„находим Х;, = В,п (и' — 1)'/(ЗВ,Я') и, ограничившись действительными значениями д,„, получим формулу Наименьшее и, следовательно, критическое значение д~„, опредсляе- мое этой формулой, соответствует п„р — — 2: д„р= ~2~:3 Я( — ') ( — ') (8.77) В частности, для изотропной оболочки ~/2ЕК / Ь ~5/2 ядз л 5/2 М„.р — — 2лЯ'д„р- -1- 3 (1 Я) 3/4 Обратим внимание на две качественные особенности полученного решения задачи устойчивости длинной цилиндрической оболочки при кручении.
Во-первых, потеря устойчивости такой оболочки при кручении (в отличие от потери устойчивости длинной оболочки при внешнем давлении) сопровождается как изгибом, так и растяжением (сжатием) срединной поверхности. Поэтому в окончательную формулу для величины д,„р входят две жесткостные характеристики В~ и В~ оболочки и уровень критических напряжений т„р оказывается существенно выше уровня критических окружных сжимающих напряжений, определяемых формулой (8.68). Во-вторых, значения критических нагрузок в задаче о кручении цилиндрической оболочки определяются с точностью до Знака, поскольку в силу симметрии изменение направления кручения оболочки не может отразиться на абсолютном значении критических нагрузок.
Ф1 Для оболочек конечной длины, когда следует учитывать граничные условия на торцах, решение усложняется. Дело в том, что входя- Окончательные формулы можно переписать в виде зависимостей для критических значений касательного напряжения или крутящего мо- мента. Так, например, для изотропной оболочки щие в уравнение (8.74) смешанные производные не позволяют получить решение в виде (8.50), Решение приходится искать в виде ряда и =- ~ А„ып ( —" — и~), ш а это приводит к весьма громоздким выкладкам. Если ограничиться двумя членами такого ряда, удовлетворив при этом лишь условия в =- 0 на обоих торцах оболочки, решение уравнения (8.74) следует записать в виде в = А з(п ~ — аф~ — з(п [ l жпх ~ . / (пз+2) пх Ч вЂ” Пф (8.78) Подставив эту функцию в исходное уравнение и приравняв нулю множители при одинаковых синусах, приходим вместо одного выражения (8.7б) к двум: В )~з) ~ пзп ~з 1 Р, (пз 2 пз (пз 1) ~ Х ) 2 Яз яп 1 В Дз ((и+2) зз ~з 1 Рзп(пз 1) Г чзат 2 пз(пз — 1) 1 1 ! 2 Вз (т+2) п — )+ Минимизируя величину д,„после несложных, но довольно громоздких выкладок, находим критическую нагрузку д,„„(считая при этом п' )) 1).
Подчеркнем, что величины и и т нельзя в данном случае рассматривать как независимые параметры, ибо два последних выражения устанавливают между ними определенную связь, Окончательный результат можно записать так: Д,зр = -~ 9,3Я вЂ” ' — ' — (8 79) или для изотропной оболочки Для оболочек средней длины (при выполнении условий в = 0 на обоих торцах) этими формулами можно пользоваться в оценочных расчетах, не принимая во внимание остальные граничные условия на торцах оболочки. Влияние поперечного давления на величину т„ можно исследовать тоже с помощью уравнения устойчивости полубсзмоментной оболочки.
Если оболочка с заглушенными торцами помимо сил д, нагружена всесторонним внешним давлением р и ее начальное безмоментное напряженное состояние Т1о = — РЮ2 Тзз = — РК Яо = 7з, то уравнение (8.20) принимает вид + ( ~2 + 1+ ( дхз Яз ~ дфз дфз доз ! Яз ~ дфз ' д,р» 24, 1' дзв дзи ') р д~и + 1~~ 1,дхдфз +дхдфз /+ 2й дфздхз В дзэн Р дззз дзщ дзщ> р дзр дз,з ~ 3 (8.80) д"Р дИ Для очень длинных оболочек естественно считать —, (С что позволяет пренебречь последним слагаемым в уравнении (8.80). Тогда, снова' воспользовавшись функцией (8.75), вместо зависимости (8.76) получим где р Р~ (пп 1)//~к. Минимизируя значения д,„по Х и учитывая, что, как и при р = О, минимуму величины д,„соответствует критическое число волн п„р .— — 2, окончательно приходим к зависимости — + — =1 (8.81) Здесь д,„р и р„р — критическое значения нагрузок, д, и р действующих порознь.
Последней зависимостью можно, конечно, пользоваться и для случая внутреннего давления, изменив знак при р на обратный. Граница области устойчивости, описываемая зависимостью (8.81), показана сплошной линией на рис. 8.9 в безразмерных координатах ф~ = д~/д~ии и /> = Р//2ии. Рис. 8.9 Рис. 8.10 — + =1 где д,ир и рир определяют по формулам (8.79) и (8.84). На рис.
8.9 эта зависимость показана пунктиром. Теперь рассмотрим изображенную на рис. 8.10 оболочку, нагруженную поперечной силой 1~. Если сила передается через достаточно У оболочек средней длины с закрепленными торцами аналитический учет влияния поперечного давления на значение д, „р усложняется, но для оценочных расчетов можно воспользоваться полуэмпирической зависимостью жесткий шпангоут, то начальное напряженное состояние оболочки можно считать безмоментным: Т„=, соз ~р, Т2,=0, 80=- — з1п ~р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
