balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Однородное уравнение устойчивости полубезмоментпой цилиндрической оболочки можно получить, заменив в осногном разрешающем уравнении (б,бб) поперечную нагрузку р., фиктивной поперечной нагрузкой по формуле (8.10) и положив р, = 0 и р„=- 0: Здесь В, и Р, — соответственно жесткость оболочки на растяжение— сжатие в продольном направлении и изгибная жесткость в окружном направлении. Изменения кривизн подсчитывают по формулам д'ы 1 / д'э х~=; х,= — ~ — +а; дх~ Я~ ~ д~р~ (8.2 1) Однородные граничные условия в задачах устойчивости полубезмоментной оболочки и условия сопряжения формулируются аналогично тому, как это было сделано в ~ 6.4.
Применение уравнения (8.20) оправдано, когда при потере устойчивости оболочки образуется несколько волн в окружном направлении и одна полуволна в осевом направлении. В этом случае для бид'в 1 д'и фуркационных перемещений выполняется условие —, (( „—,, — и полубезмоментная теория достаточно точно описывает деформацию оболочки. Пример такой задачи — потеря устойчивости оболочки при внешнем давлении. Энергетический путь исследования устойчивости оболочек бывает весьма полезен как для получения приближенных решений, так идля .
вывода системы разрешающих уравнений и формулировки граничных и стыковочных условий в сложных задачах, например в задачах устойчивости многослойных анизотропных оболочек. Сейчас без подробных . промежуточных выкладок приведем основные соотношения, необходимые для исследования устойчивости изотропной цилиндрической оболочки при сформулированных в начале параграфа допущениях. Полная потенциальная энергия оболочки 3 = — У+ П, где У— внутренняя энергия деформации оболочки; П вЂ” потенциал внешних сил, действующих на оболочку.
В линейных задачах деформирования оболочек, когда справедливы зависимости (6.34) и (6.35), величина У определяется выражением У= —" ((х,+х,)'+2(1 — р)(хауз — х,х,)1И~рс1х+ 2 + 1 ~(е~~+2р,а,е,+ з~+ " 'у' И~рдх. (8.22) .': Потенциал внешних поверхностных сил (без учета контурных нагрузок) П = — 1" 1" (р„и + р„п + р,в) Мгус1х. (8.23) Для определения критических нагрузок (см. ~ 1.6) необходимо из'„' менение полной потенциальной энергии ЛЗ подсчитать с точностью до ",; квадратов бифуркациониых перемещений, переводящих оболочку в :-':;.
новое состояние равновесия, смежное с начальным. Используя третье ' допущение, сформулированное в начале параграфа, и рассуждая так : же, как при подсчете изменения полной потенциальной энергии пластины (см, ~ 7.3), окончательно получим [11: = (~в+ (Iм+ ~'+ ~И, (8.24) 225 где ) ) ~а!+ И1з2+ат+ 7 ~~[Ч~[х[ (- )11~ 2 Ух= — [ [ [(к, + хя)'+2(1 — р) (хая — х, х,)[ Играх; 2 1,) ~ ~ — %1Т1с+О1От~о+ — б~Тао ИФЖ ГГ1 1 ЛП = — ~ р [и (а, + е,) — ид,--ид,! И~рйх. 1 Р 2 ) Здесь р — внешнее гидростатическое давление; Т„, Т„, 5, — внутренние силы начального безмоментного состояния равновесия оболочки.
Удлинение е„е„7, углы поворота нормали д~, б, и изменения кривизн х1, х„х„, связанные с переходом оболочки в новое сосотяние равновесия, выражаются через бифуркационные перемещения и, о, а~ с помощью линейных зависимостей, приведенных в ~ 6.3. Дальнейшее решение можно вести из условия 6 (ЛЗ) = О либо из условия ЛЗ = О при дополнительном требовании минимума критической нагрузки. На основе того и другого условия можно строить как точные, так и приближенные решения задач устойчивости оболочек. $8.3.
Устойчивость цилиндрической оболонки при осевом сжатии На рис. 8.4 изображена цилиндрическая оболочка длиной 1 и радиусом Л с толщиной стенки Й, сжатая равномерно распределенными силами интенсивностью д. Начальное безмоментное состояние такой оболочки Т1о Ч» Тао Оз ~о (8.25) Найдем критическое значение о„р нагрузки, при превышении которого это начальное безмоментное состояние перестанет быть устойчивым. В рассматриваемой задаче в зависимости от геометрических параметров оболочки и условий закрепления ее торцов потеря устойчивости может происходить по нескольким качественно различным формам.
Для исследования осесимметричной формы потери устойчивости(рис.8.4, а) воспользуемся уравнением осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки под действием поперечной нагрузки: 0 — + — гв =р,. (8.2б) дх4 Заменив здесь поперечную нагрузку р, фиктивной поперечной нагрузкой по формуле (8.10), получим однородное линейное уравнение; описывающее осесимметричиые формы потери устойчивости цилиндрической оболочки при начальном напряженном состоянии, выражаемом зависимостями (8.25): (8.27) дх' й~ дх' ~) (1 Г ! Рис. 8А Наиболее просто это уравнение решается при граничных условиях свободного опирания, когда на обоих торцах оболочки задано и=О и Йъ~!/дх' = О.
В этом случае решением уравнения (8.27) будут функ- ции а,„=С з1п —, тлх (8.28) гдет=1,2,.... Подставив это решение в уравнение (8.27), получим для каждого числа полуволн т свое независимое уравнение С 0 — "" + — — д„,—" з1п™ =О. Тривиальный случай, когда все коэффициенты С = — О соответствуют начальному безмоментному состоянию равновесия. Чтобы было возможно С 4. -О, необходимо, чтобы обращалось в нуль выражение в квадратных скобках. Из этого условия следует д„=в — " '+ Е" — ' ', (8.29) где т = 1, 2, ....
Подобрав число полуволн т из условия минимума значениями„„найдем критическое значение д„р, какэто делалось при решении задачи устойчивости прямоугольной пластины (см. ~ 7.2). Структура выражения (8.29) характерна для задач устойчивости оболочек: величина д зависит от двух слагаемых, первое из которых пропорционально нзгибной жесткости оболочки О, а второе — жесткости оболочки Ел, на растяжение †сжат, причем первое слагаемое растет с увеличением числа полуволн т, второе — уменьшается.
Тонкие оболочки обычно теряют устойчивость с образованием большого числа полуволп. Обозначив (тлй)' = т1, можно записать д = Вт1+ —— (8.30) д2 и, условно считая параметр и изменяющимся непрерывно, искать минимум этого выражения из условия йд /ф1 = О. После несложных выкладок получим 1 — ! 4 / ЕЬК'" кр НР ц 1~ д (8.31) О„р =- — 1' ЙЕй. (8.32) (Отметим, что выражения (8.31) и (8.32) можно использовать и для ортотропной оболочки, заменив в них величину й изгибной жесткостью оболочки В, в осевом направлении, и величину ЕЬ вЂ” жесткостью оболочки В, на растяжение — сжатие в окружном направлении.) Уравнение (8.2?) нетрудно решить и при других граничных условиях, причем оказывается, что если на обоих торцах задано и = О, то независимо от двух других граничных условий значение величины О„р для достаточно длинных и тонких оболочек практически совпадает со значением д„р, определяемым формулой (8.32). Неосесимметричные формы потери устойч и в о с т и сжатой в осевом направлении изотропной цилиндрической оболочки можно исследовать с помощью системы уравнений (8.19), которая при напряженном состоянии, соответствующем зависимостям (8.25), принимает вид д2~ д2я, — — +БР Р ю+д — =О; 1~ дх2 дх2 (8.33) — ~7 Р— — — =О.
! 2 2 ! д2~и ЕЬ Я дх2 Для оболочек конечной длины эта система уравнений допускает элементарное аналитическое решение только при одной единственной комбинации граничных условий, когда на обоих торцах оболочки за- дано ы = О; М1 = О; о = О; Т, = О. (8.34) 228 Как нетрудно проверить, эти граничные условия эквивалентны таким граничным условиям: (8.35) дх' ' дхх Приведенные граничные условия довольно своеобразны: это не условия шарнирного. закрепления края оболочки, поскольку Т, = О и, следовательно, и ~ О, и не условия свободного опирания, так как а = О и, следовательно, 5 ~ О. Физически эти граничные условия можно трактовать так: край оболочки подкреплен тонким кольцом с не- растяжимой осью, обладающим очень большой изгибной жесткостью в своей плоскости, но совершенно не сопротивляющимся кручению и деформациям из плоскости.
Ре1пением системы уравнений (8.33) при граничных условиях (8.34) будут функции а~„— А„з1п щ Мп —; и их Г„„„= В„,„я'и пгу з1п— где и, т — некоторые целые числа. Подставив эти функции в систему дифференциальных уравнений и сократив общее для всех слагаемых произведение синусов, получим однородную систему алгебраических уравнений:  — + —" — д —" А„— — —" В„„—.О; 1 А + 1 + Из условия равенства нулю определителя последней системы находим д = От~+в Еп 1 (8.37) й'ч' где т1 = — — +— Выражение (8.37) формально совпадает с выражением (8.30) осесимметричной задачи. При большом числе волн в осевом и окружном направлениях„— а в ~ 8.2 отмечалось, что уравнения (8.19) применимы именно в этом случае, — комплекс т1 можно рассматривать как непрерывно изменяющийся параметр. Тогда условие минимума величины д„снова приводит к формуле (8.32), которая для изотропной оболочки принимает вид ЕЬ~ Чкр й УЗ(1 — 1") (8.38) Критическое значение комплекса т1 = — †"" + †""Р = " .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
