balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В соответствии с общей схемой у', дс!! энергетического метода исследова- ~' ' с!с'э ду ния устойчивости, намеченной в 5 1.б, зададим отклонение пластины от начального плоского состояния В , ь .д, перемещеними и = ы (х, у) и вы- .,1 ~ + ~ званное этим отклонением измене- В ние полной потенциальной энергии пластины ЛЗ подсчитываем с точкостью до величин второго порядка малости относительно величины и. Рссс. 7.15 Поскольку внешние нагрузки, лежащие в плоскости пластины, на перемещениях и! работы це совершают, изменение полной потенциальной энергии пластины складывается только из энергии изгиба и изменения начальной энергии деформации пластины в своей плоскости.
Энергия изгиба пластины определяется выражением (2.54), а изменение начальной энергии деформации в своей плоскости равно работе начальных сил Т„, Т„, Я, на удлинениях и углах сдвига второго порядка малости е„е,, уху, вызываемых перемещениями о. Формулы для удлинений второго порядка малости можно получить из общих зависимостей э 1.2, но для большей наглядности выведем эти формулы для данной конкретной задачи. На рис. 7,15 изображено положение элемента срединной плоскости пластины до и после отклонения от начального состояния: точки Л, В, С, Р переходят в — > положение Л,, В,, С,, Р,. Проекции векторов А,В, и А,С, на оси координат равны По определению относительные удлинения в направлениях осей х и у равны 1+ — — 1 =-— Л,Сс — АС + йо 1 дк ~+ Здесь и далее многоточием заменены величины высших порядков малости.
Определим углы сдвига, вызываемые перемещениями ы. Прямой угол между отрезками АВ и АС при изгибе пластины искажается; значение угла между отрезками Л,В1 и А,С, равно гс/2 — 7„д, где у„„— угол сдвига. Скалярное произведение векторов можно подсчитать по формуле А, В, А, С, = А, В, А, С, сов (л/2 — у,„) =- =с(х1/ 1+ — ~~ с(у1/ 1+ — з1пук„=с1хс)у(7 „+...). дк / С другой стороны, скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений их проекций на оси координат: А,В, А,С,=с)х О+О с1у+ — с1х — с(у = — ~ — с(хс)у. дк ду дк дд Сравнивая два последних выражения, находим величину ук„; ограничившись квадратичными членами разложения, окончательно запишем Теперь изменение полной потенциальной энергии пластины прн переходе к новому отклоненному состоянию можно записать в виде ЛЗ = //+ — 7'10 — + ~0 — —" + — 7 ~0 — с(хс(у, (7.29) где с/ — энергия изгиба пластины, определяемая выражением (2.54).
Из энергетического критерия устойчивости 6(ЛЗ) =О, (7.30) во-первых, можно получить основное линеаризованное уравнение (7.16) теории устойчивости пластин и те граничные условия, каким может быть подчинено его решение (см. Приложение 1), а, во-вторых, по этому критерию можно строить различные варианты приближенного решения задачи устойчивости пластины. Лля определенности будем считать, что все действующие па пластину внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру Е. Тогда критическое значение этого параметра можно найти из условия (7.30), воспользовавшись, например, методом Рэлея — Ритца (см. ~ 3.1).
Для этого зададим функцию поперечного проп1ба в виде ряда )Г ге1 = ~' С; ~; (х, у), (7.31) 1 Учитывая структуру исходного выражения для величины ЛЗ, нетрудно установить, что эта зависимость является квадратичной формой от Лг параметров С;. Поэтому условие стационарности о (ЛЗ) = О приводит к системе Ж однородных линейных уравнений с Ж неизвестными с,: =О (с=1, 2, ..., Л'). ос; (7.32) Тривиальное решение полученной системы уравнений С; = — О соответствует начальному состоянию равновесия пластины. Лля существования отличных от нуля решений этой системы, т. е. для существования новых состояний равновесия, отличных от начального, определитель системы (7.32) должен быть равен нулю.
Из этого условия можно найти те значения Р„нагрузки, при которых возможны состояния равновесия пластины, отклоненные от начального. Наименьшее из таких значений приближенно равно критическому: Р„ ,„ = Рви. Иногда вместо условия б (ЛЗ) =- О удобнее пользоваться иной формулировкой энергетического критерия устойчивости, вытекающей нз данного в ~ 1.6 определения критической нагрузки. Положив ЛЗ = — О, приходим к такой зависимости: — Тте — +25е — — -~-Тве — бхбу где Тто = 7"то (х у) 7'ао = 7'ав (х у) Зо = Зо (х, у) — распределение начальных сил в срединной плоскости пластины при Р = 1; величина У определяется выражением (2.54).
Минимизируя каким-либо численным методом последнее выражение, находим Р„... = Р„р. По изложенному варианту энергетического метода, когда изменение полной потенциальной энергии выражено в виде (7.29), следует сделать два замечания. Во-первых, необходимо подчеркнуть, что в это выражение входят начальные силы в срединной плоскости пластины, которые необходимо предварительно определить, решая (точно нли приближенно) плоскую задачу теории упругостие. Во-вторых, сле- " Задачи устойчивости можно решать и минуя определение начальных сил, но для этого необходимо использовать иной вариант энергетического метода 111.
где ~; (х, у) — - координатные функции, удовлетворяющие (каждая в отдельности) геометрическим граничным условиям конкретной задачи. Подставив этот ряд в выражение (7,29) и выполнив все необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим ЛЗ =- ЛЗ (Р, фф..., С, ). дует отметить, что критерий устойчивости о (ЛЗ) =- О спрайедлйв независимо от того, какие причины привели к возникновению начальных сил в срединной плоскости пластины.
(Эти силы могли возникнуть под действием контурных илн массовых нагрузок, неравномерного нагрева, структурных превращений в материале пластины и т. д.). В любом случае, после того как начальные силы найдены, выражение (7.29) можно использовать для исследования устойчивости плоского напряженного состояния тонкой упругой пластины. Различие в причинах возникновения начальных напряжений никак не отразится на их критическом значении, но это различие может самым существенным образом повлиять на поведение пластины после потери устойчивости. Рис. 7.16 Как пример рассмотрим следующую задачу, имеющую большое практическое значение: прямоугольная пластина длиной а и шириной Ь с одним свободным краем сжата распределенными контурными нагрузками, изменяющимися по закону (рис. 7.1б, а) д, = д (1+ + тасуй), где и — фиксированный параметр (и -: — 1).
Решение плоской задачи в данном случае очевидно (см. $2.2): т, = — д(1+щи); т, =0; З =О. В соответствии с выражением (7.29) запишем и Ь ЛЭ= С1 — — д 1+~1 —" — ~ йод. о о Если по трем остальным сторонам пластина свободно оперта, то геометрические граничные условия, которые необходимо удовлетворить при решении задачи энергетическим методом, таковы: х=0~ прп ~ ю=-0; прн у=-О г=-0.
х=- и В этом случае функцию поперечного прогиба удобно взять в виде ряда ллх г(х,у) = — э|п '' ~, С; р'. а Если край пластины при у = 0 защемлен, а два других края свободно оперты, то геометрические граничные условия будут такими: х=-0 дга ы=-0; при у==О в==О, — =О. х=а ду ири В этом случае функцию поперечного прогиба можно взять в виде ы (х, у) = Ып — ~ ~ С; у'. !=2 Еще раз подчеркнем, что при решении задачи энергетическим методом все граничные условия не обязательно должны быть удовлетворены (см.
53.1). Оетановимся далее на решении задачи для пластины с тремя свободно опертыми краями, ограничившись для простоты одним членом ряда. Найдем производные, входящие в выражение для ЛЗ; дга / ггп ~г . аах — = — Су~ — ) Ып дхг ~ а ~ а — = С,у — соз %='( —:) аггх дга соя а ' дуг Далее, выполнив нееложные операции интегрирования, получим ЛЭ= С1 — .0 — — +2(1 — 1г) — — ~ — "" Ьг — + — "~ =2С,— Х1 — — ' +2(1 — р.) /г ~ Ч О Чтобы было возможно С, Ф О, должно обращаться в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках; соответствующие значения нагрузки будут ггг Д аг дг/аг, 6 (1 1г)/ггг Чь Ьг 1+ Зг1/4 Поскольку число полуволн и входит только в числитель, наименьшее значение д„получим при и = 1 (рис. 7.16, б).
Следовательно, приближенное критическое значение нагрузки агО Два = Ка где Ьг/а + 6 (1 — 1г)/ г 1 +ЗЧ/4 В данном случае, когда мы ограничились одним членом ряда, условие о (ЛЗ) = О сводится к одному уравнению Взяв большее число членов ряда, можно уточнить полученный результат, но в рассмотренном примере даже первое приближение дает вполне приемлемую для практических целей точность. В"приведенной задаче точное аналитическое решение удается получить только прн ц1 = О, откуда прп а/Ь вЂ” ~- со и р = 0,3 следует К, = = 0,4255. Из полученного приближенного решения тоже имеем при тех же условиях К, = 0,4255.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
