balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 31
Текст из файла (страница 31)
6.10, б). Когда на диаграмме отсутствует площадка текучести (рис. 6.10,в),за значение предельного напряжения мажно взять предел прочности о, реального материала. А в случае диаграммы без площадки текучести, но с четко выраженным участком упрочнения (рис.
6.10, г) замена реального материала жесткопластнческим телом становится вообще весьма условной. 174 Но для оценочных расчетов по несущей способности такая замена возможна, причем можно, например, значение предельного напряжения гг, жесткопластического тела ориентировочно взять равным половине суммы предела прочности и предела текучести (по точке перелома графика) реального материала.
5) Ир Рис. 6.11 (6. 102) 175 Рассмотрим конструкцию, материал которой схематизирован жесткопластическим телом. Значение нагрузки, при котором такая конструкиия в результате развипгия ггластических деформаций сгггановггпгся кинематически изменяемой (ггревраигается в механизлг), называется п р е д е л ь н о й н а г р у з к о й. Определение предельных нагрузок покажем сначала на простейшем примере поперечного изгиба неразрезной балки (рис. 6.11). При заданной форме поперечного сечения балки, пренебрегая влиянием перерезывающей силы, нетрудно найти максимальное значение момента М,, при котором в сечении балки образуется так называемый пластический шарнир. Так, например, для балки с прямоугольным поперечным сечением (рис.
6.12), очевидно, М, = сг,~г"Ь~4. Известны два основных метода определения предельных нагрузок: статический и кинематический. В ста- в тическом методе рассматривают различные статически возможные состоя- Рггс. 6.12 ния равновесия, при которых изгибающие моменты в сечениях балки нигде не превыигают М,, т. е. когда всюду в балке М ( М,. Нагрузку, соответствующую статически возможному состоянию равновесия, обозначим г„.
В теории предельного анализа конструкций [141 показано, что из всех статически возможных состояний равновесия истинным предельным состоянием будет то, которому соответствует наибольшее значение нагрузки Е„; другими словами, предельная нагрузка Р„, является максимумом всех статически возможных нагрузок г",,-: ррр рст п~ах В приближенных решениях сложных задач, когда задают статически возможное состояние равновесия, величина Р„ дает для предельной нагрузки Ррр оценку снизу.
Если рассматривают несколько статически возможных состояний, то лучшее приближение к точному решению дает то состояние, которому соответствует наибольшее значение Р„. Для рассматриваемой трехопорной балки (см. рис. 6.11, а) статически возможным состояниям равновесия соответствуют значения реакций в опорах А и В (см. рис. 6.11, б): ЛА ~~ 1р1т~(21)1 Лп ~~Мт~1 Первое неравенство должно выполняться, поскольку иначе изгибающий момент над опорой В превысит значение М,. Второе неравенство гарантирует, что в сечении С изгибающий момент не превысит значения М,.
Приравняв нулю сумму моментов относительно очки В, получим Р1 = УА21 + Мо21 .= ЗМ т, откуда находим Рс1 ЗМ т~1 В кинелатическом методе рассматривают различные кинематически возможные варианты превращения в механизм заданной конструкции при заданном конкретном ее нагружении и закреплении.
Рассмотрим тот же пример на рис. 6.11, а. Превращение в механизм трех- опорной балки требует образования минимум двух пластических шарниров, как изображено на рис. 6.11, в, г. Значение нагрузки Р, соответствующее выбранному кинематически возможному состоянию, определяют на основе начала возможных перемещений из условия равенства работ внешних и внутренних сил. По теории предельного анализа конструкций [141 из всех кинетически возможных состояний истинным предельным состоянием будет то, которому соответствует наименьшее значение нагрузки Р„; другими словами, предельная нагрузка Р,р является минимумом всех кинематически возможных значений Р (6.103) В рассматриваемом примере внешняя сила Р совершает работу на перемещении гс, внутренние изгибающие моменты совершают работу только в пластических шарнирах, равную произведению момента М, на соответствующий угол излома, Для кинематически возможного состояния, изображенного на рис.
6.11, в, приравнивая работу силы Г работе, совершаемой в пластических шарнирах, получим, считая перемещения и углы излома малыми, Ргс=МЛ1 ~ М%2=М Ус(2Д1 . И),. ИЛИ Р„„„= — М, (2!11 -';- 1Л)., где (О ( 11 -' 7), Отсюда находим пр Ркин ш1п == ')Мр 1 где (11 = 0 Т~ — — п,Ь = Т„ (6.104) где Й вЂ” толщина оболочки, а, — предел текучести материала. Если сечение оболочки подвержено действию только окружных сил Т~,то получим аналогичное условие текучести: Т2 от~ Тт (6.105) Наконец, если в сечении оболочки действуют только изгибающие мо- менты М~, то условие текучести (аналогичное условию образования пластического шарнира в балке прямоугольного поперечного сечения) будет Л4, =- <т,й'/4 =- М ,.
(6,106) В дальнейшем будут использоваться безразмерные величины для выражения меридиональной и окружной сил и мерндионального изгибающего момента: и,= Т,~Т,; и;=- Т:~Т,; т, = Л4,6И,, (6. 107) Нетрудно убедиться, что к тому же результату можно прийти, рассмотрев кинематически возмо кное состояние, изображенное на рпс. 6,11, г. В рассмотренном примере и статический и кинематический методы дали один и тот же точньш результат Г,р == ЗМ,Д, Интересно отметить, что расчет по предельным нагрузкам статически неопределимых систем прппцппиальпо ничуть пе сложнее расчета статически определимых: в расчете по предельным нагрузкам раскрытие статической неопределимостп пе производят, а сразу рассматривают состояние равновесия системы, превратившейся в механизм.
Правда, при атом распределение напряжений в системе до ее превращения в механизм' остается полностью неизвестным. Расчет балок по предельным нагрузкам при поперечном изгибе несложен, потому что условие возникновения течения в балке (условие образования пластического шарнира) определяется значением одного единственного внутреннего силового фактора — изгибающего момента.
Так же просто подсчитать предельные нагрузки и в стержневых системах, отдельные стержни которых работают только на растяжение или сжатие. Для пластин и особенно для оболочек вся техника вычисления предельных нагрузок существенно усложняется, поскольку условие течения в них определяется комбинацией значений нескольких внутренних силовых факторов.
Но сам подход к определению предельных нагрузок и сущность статического и кинематического методов остаются теми же. Рассмотрим, например, условия течения для цилиндрической оболочки из жесткопластического материала при осесимметричном деформировании. Основные внутренние силовые факторы для рассматриваемого случая — это окруженные и меридиональные силы Т, и Т~ и меридиональные изгибающие моменты М . Если в сечении оболочки действуют только меридиопальные силы Т„то условием текучести будет равенство А з, гпах (//г,~, /п,~, ~/гг, — /г~~) =- 1. (6.108) Другими словами, нужно, чтобы либо одна из сил, либо абсолютное значение их разности равнялись бы предельному значению Т,. Сечение поверхности текучести плоскостью и, = 0 можно построить, учитывая следующее.' если в сечении оболочки окружная сила равна нулю, то 'напряженное состояние в этом сечении одноосно и условием текучести тогда будет равенство ~ о,~ = о,.
Пример такого распределения напряжений, когда наружные волокна сжаты, показан на рис. 6.13, а, В этом случае +Л/2 +й!2 7', = ~ агс1г =7,,(2$ — 1); М„= ) о ай =4М (1 — ~)$, — й(2 — й/2 или и,:-- '2~ — 1; пг,==-4$ (1 — $). (6. 109) Исключив из соотношений (6.109) параметр $, можно найти связь между и, и тг, соответствующую условию текучести: тг = 1 — и1* (6.110) Если рассмотреть случай растянутых наружных волокон, то совершенно аналогично можно получить — т= 1 — п1. 178 Величины п„п,, т, в предельном анализе конструкций носят название обобщенных безразмерных сил.
Теперь задачу определения условий текучести можно сформулировать так: для заданного закона текучести (например, условия Треска или Мизеса 114/) выразить условие текучести оболочки через обобщенные силы п„п2, т,. Можно доказать, что в трехмерном пространстве п„п„пг, условию текучести будет соответствовать невогнутая поверхность — так назы- ваемая поверхность текучем 1 сти. Поскольку полное поз/ м, Й /,, строение поверхности текуче- сти связано с довольно дли- У '-.
тельными и громоздкими рас- четами, то сейчас мы ограни- — чимся построением - только 8 =.~ трех сечений этой поверхности координатными плоскостями и, = О, и, = 0; пг = 0 8 -l для условия текучести Треска Рггс. 6.13 и/ах (! ог ~, ~ а, [, /о, — о2/) = о,. Сечение поверхности текучести плоскостью тг — — 0 очевидно: если изгибающий момент равен нулю, то и окружные, и меридиональпые напряжения постоянны по толщине оболочки и условия текучести бу- дут Полный вид сечения поверхности текучести плоскостью а. =- 0 показан на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
