balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Отсюда можно сделать вывод, что длина Ьз мала. Коэффициентов уравнении (6.13) можно считать постоянным. Рассмотрим последовательность расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения по моментной теории с разделением напряженного состояния на безмоментное и краевой эффект. Сначала по безмоментной теории определяют силы Т„Т, и перемещения и, в по заданным внешним нагрузкам и граничным условиям для величины Т, или и. (В выражение для перемещений может входить константа интегрирования, соответствующая перемещению оболочки как твердого тела.) Затем, решая однородные уравнения краевого эффекта для каждого торца, находят общие выражения для величин а„б,, М~ и Я, через соответствующис константы интегрирования (по две константы на каждом торце). Наконец, составляют граничные условия для каждого торца оболочки.
Если заданы силовые граничные условия, т. е. величины М~ и Я„то сразу определяют константы интегрирования уравнений краевого эффекта. Если заданы геометрические условия, т. е. величины в, и д„то по значениям перемещений и и ю безмоментного решения определяют величины а.„и дц, (перемещение оболочки как твердого тела в них не войдет) и составляют суммарные выражения для з~ и д, от безмоментного решения и краевого эффекта. Константы ин- тегрирования, входящие в эти выражения, определяют из заданных геометрических граничных условий.
ф 6.2. Расчет пологой сферической оболочки Для пологих оболочек вращения решения, соответствующие краевому эффекту, не справедливы, но и здесь можно применить некоторые упрощения и построить приближенную схему расчета. Рассмотрим пологую сферическую оболочку, нагруженную равномерным внутренним давлением р (рис. 6.1).
Будем считать углы 0 малыми и соз 0 = 1, яп 0 = 1д 0 = О, ~Ь = ЯйО = бг, с1д О = соз О/з1п О = Яlг. В качестве независимой переменной примем радиус г. Для пологой оболочки можно считать, что угол О, поворота касательной к меридиану не зависит от тангенциального перемещения и, тогда согласно уравнению (6.1) д~~ Й~ д,= — = —. Дз Дг (6.16) Рис.
6Л Соответственно из уравнений (6.2), (6.3) следует Уя . ! йщ х = — ' х з ог~ г й (6.19) Эти формулы совпадают с аналогичными формулами в теории осесимметричного изгиба круглых пластин (см. ~2.4). Согласно соотношению (6.5) перерезывающее усилие дМ, 1 Я, =: — '+ — (М,— М,). ог (6.1г) (6.18) Подставляя сюда выражения для моментов М, и М, из формул (6.18) и (6.19), получаем г,1з~ 1 Уцр 1 ~1ц> ~ (6.20) дгз г дг~ г~ йг / Составив проекции всех сил, действующих на часть оболочки, ог- раниченную радиусом г, на направление вертикальной оси симметрии, получим рлЯ' = — 2лг (7~ з1п 0 + Я1 соз О), .— (Т,+Т,) + — + — =р. 1 ЙЬ 0г С учетом (6.21) получим Т,= — — Я— Рй Ю 2 с1г (6.221 -Деформации е1 и е1 согласно уравнениям (6.1) равны йи и~ и и в1= — + —, е,= — + —, с1к Е г Имея в виду выражение (6.4), можно записать йи я 1 — + — = — (Т,— мт,).
й' Я ЕЬ (6.23) — + — - — (Т вЂ” рТ ) а в.. 1 г Я Еа Исключая из этих соотношений перемещение и и подставляя силы Т, и Т, из уравнений (6.21) и (6.22), получаем а~ =: рй' — — — — (Я1) + С„. 1 — 1, 1 1~2 1 2Е6 ЕЬ г й (6.24) Здесь константа С, соответствует перемещению оболочки как твердого тела, Перемещение вдоль касательной к меридиану и = (1 + р) х Х ЯЦ(ЕЦ~ — С,г!К.
Согласно формуле (6.20) г йг ~ йг' ~ йг' ~1 дг1 г' йг 1 Для упрощения записи введем дифференциальный оператор Это — оператор Лапласа в полярных координатах для осесимметричных задач. Теперь формула (6,20) примет вид Я =0 — Д,ю, йг (6.261 а формула (6.25) — вид 1 — 'И1Г)=ВД„Д, . аг (6.27) 151 Отсюда Т1 =- рВ2 — Я1Вт. (6.21) Уравнение равновесия (6,7) в проекции на нормаль будет иметь вид Выражение Ь„Л, есть бигармонический оператор. Его развернутое выражение соответствует многочлену в скобках правой части уравнения (6.25). Дифференциальное уравнение (6.24) теперь можно представить так: д,Л, + = — рг'+С 1~аД 1 — И ЕЛ 2ЕЬ (6.28) Приведем уравнение к безразмерному виду.
Для этого введем параметр $ = гЛ, где 1 — некоторая размерная величина. Уравнение (6.28) теперь можно записать в более дг "'" простом виде: — — 44 1 — И о о 4з ЧУ АЛга+ ти =- — РЯ'+ Со, (6.29) 2ЕЛ ф дг 1 д г с1 г о где Л = — — ~$ — == б х Е 6$ ~ 1$ хю~ г г~о 6' 1 а -г . -~-. -4~ о + ~Р Т $ -о ц — ~ Частное решение уравнения -Ю -4о ч ' (6.29) при постоянном давлении -Ух таково: ю" =.
— ~ РР+ Со. (6.30) 2Ея Рис. 6.2 Для этого частного решения получим М1 = Ма = 0; Д~ —— — 0; Тто = Тао = РЛФ по = Сог!Ро. (6.31) Но формулы (6.30) и (6.31) соответствуют решению задачи по безмо-. ментной теории. Следовательно, и в теории пологой сферической оболочки напряженное состояние разделяют на безмоментное и смешанное. Только в этом случае смешанное напряженное состояние уже нельзя определять по теории краевого эффекта — его определяют решением однородного уравнения ЛЛи+ 1а = О. (6.32) Общее решение этого уравнения выражается через четыре табулированные функции ~р,($), ф,($), ф, Д), Ф,($): и/ — СДд + Со'ч'о + Сзт'о+ СоФ4 (6.33) Эти функции удовлетворяют системе уравнений М~ то1 Ма 1ь Мз $4 Ма Фо' На рис.
6.2 представлены графики функций ф, ... ф. Перерезывающая сила выражается через производные этих функций: В полюсе Д = 0) функция Ф4-»- — оо, а ее производная ф4-». оо, Из условия ограниченности перемещения в полюсе (~ = 0) получим С = О, а из условия ограниченности перерезывающего усилия 752 получим С, = О. Константа Са уь О только если сферическая оболоька нагружена сосредоточенной силой в вершине. Итак, вид общего решения полного уравнения (6.29) в рассматриваемом случае будет = — ' — и р~ +с,+с,~,+с,~,; 2Ей перерезывающая сила Ей1 / 4ф, й~, '1 ~с,— — с,— ~, й* ~ 151~) тангенциальное перемещение и = (1+ р) — ~~с, — — С, — ~~ — С вЂ”; ~1а ~Ф1 ~ г И ~ ' д$ ' д$ меридиональная сила рД Ей 1 1 дф, (Ь~,~ Т,= — — — — 'С,— 2-С, — '' 2 Р $ ~ Й~ Й5 ) сумма Ей Т, + Т, = рР + — (С, ~~~, + С, ф,); перемещение вдоль радиуса г 1 — и и„= и соз О + в з1п О = и + и — = — Р' рйу ~- Д 2Ей + 1 ~с Ьр +С Ир.+(1+р)с, ~~' — (~+р)с, ~~' 1; дв удлинение параллели е,= — '= рР+ — (С~$,+С,'Ф2)+ С1 — — С, —; и, 1 — и 1 1+И l <1ч.
~11 ~ г 2Ей Л~ ~ 1~ 1~)' угол поворота касательной к меридиану 1 1' дф,, дф,'1 д,= — С, — +С, — ~. д5 . Я )' погонный изгибающий момент в меридиональной плоскости Р Г 1 — р, ( уф, Йф~~ и,- — ~с,~,— с,~,— — ~с,— +с,— ) . я)* Составляющая сил Т, и Я, в направлении оси симметрии оболочки тогда равна Т, з1п О + Я, соз О =- Т,г~й + Щ = рг!2, т. е. полностью определяется безмоментным решением. Смешанное напряженное состояние, соответствующее решению уравнения (Б.ЗЗ), определяет значение погонного момента и, и силы Я„в плоскости параллели Я„= Я,йlг.
Для смешанного напряженного состояния величина 1~„есть проекция погонных сил Т, и 1',з на плоскость параллели. Действительно, при р = О получаем Т, = — Щ, с1д 0 и Я„= Я, Х х з1п 0 — Т, соз 0 = Я,lз1п 0 = (~,Р/г, или через функции ф, и ~р,: Таким образом, схема расчета рассматриваемой пологой оболочки остаетея в принципе такай же, как и для непологой, только уравнение (0.13) краевого эффекта заменяется уравнением (0.32) смешанного напряженного состояния.
В обоих случаях тангенциальное перемещение и, соответетвующее решениям однородных уравнений, т. е. смешанному напряженному состоянию, значительно меньше нормального перемещения в. В формулу для и входит множитель ~ 4 — =УЫИЛ( У 1211 — р') ~1. Чтобы найти константы С, и С„надо задать два граничных условия. Вид этих граничных условий.
определяется способом закрепления или нагружения оболочки на торцовой параллели $ = $,. На этой параллели можно задать силу Я„или удлинение а„момент М, или угол поворота О,. В любом случае при составлении граничных условий для пологой или непологой оболочки надо помнить, что погонная меридиональная сила Т, соответствует силе Т,„ только безмоментного напряженного состояния, а погонная сила Я, и момент М1 соответствуют лишь смешанному напряженному состоянию. Направления сил Т„и Я, не ортогопальны. Расчетная для оболочки сила на торце складывается из безмомент~ой силы Т„и проекции силы 9, на касательную к меридиану.
Величины Я„и М, на торце оболочки служат для опреде'ления констант интегрирования однородных уравнений смешанного напряженного состояния, когда заданы силовые граничные условия. $6.3. Деформация ципиндрических оболочек Для цилиндрических оболочек общая система уравнений, представленная в ~ 5.4, упрощается. Пусть Я вЂ” радиус средней поверхности оболочки, х, ~р —.координаты точек этой поверхности в цилиндрической системе координат. Для круговой цилиндрической поверхности 1Р,=О; 1Я,=1/Я; соз0=0, Рс10=дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
