balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Деформация элемента средней поверхности ди 1 / ди ~ дсс до е,= —; с,= — ( — +ы); у= 1- —; (б.34) дк Я ~ д~р ) Яд<р дк углы поворота -нормали дв 1 / дв 0а= 1Р ~др дг, т+ — 'а'ж д рис. 6А Рис. б:3 В этих формулах и — перемещение точек средней поверхности в направлении возрастания координаты х; и — перемещение в направлении возрастания угла 1р; и — перемещение в направлении внешней нормали (рис. 6,3). Согласно формулам (5,55) ...
(5.57) параметры х„х„х „изменения кривизн средней поверхности можно представить следующим образом: (6.35) 1 дд1 дд2 1 д2ги 1 ди 12 + 2 1, Кд(р дх Я дхд(р 2Я дх Уравнение равновесия -элемента цилиндрической оболочки в соответствии с формулами (5,65) ... (5.69) можно представить в таком виде: Р == — + —; дМ1 дМ,2 дх Яд<р (6.36) ~2 + дМ2 дМ,2 Яда дх (6,37) дТ, дЯ' + +р„=0; дх йд~р (6.38) дТ, д5 + -~-р О, Яд(р дх й (6.39) — + — '+ — =-Р Т дед дЯ2 Я дх Рддр (6.40) ЕЬ ЕЬ Т, = — (е, + ре2); Т (е, + ре1); 5 Ойдо; (6,41) 112 1 112 где р„, р,р и р„— составляющие внешних поверхностных нагрузок в направлении перемещений и, о и и (рис, 6.3) Т,, Т, и Я вЂ” погонные тангенциальные силы (рис.
6.4): 9„92 — погонные перерезывающие силы; ̄̄̄— погонные моменты (рис. 6.5): М1=0 (х, + рх ); М,=В (х, + рх,); М,=П (1 — р) х,. (6.42) Частное решение системы уравнений (6.34) ... (6.42) соответствует безмоментной теории. Силы и перемещения в этом случае могут быть дО~ определены последовательным ц+ — 'пХ интегрированием уравнений д равновесия и геометрических — ' аа; соотношений. При произвольных поверхностных нагрузках дх р,-,, рр, р,„уравнения равновесия элемента безмоментной оболочки, отнесенные к коор8Ир ( дннатам х и ~р, будут иметь +3у т вид дТ1 д5 дх Яд(р Р~ „— '+ = р„; (6.43) д0~ дТ дЯ ()~ и + =- Р' 2 и~ Рд~р дх Рис.
6.5 ~2 РЛ (6.44) (6.45) Из уравнений (6.44) и (6.45) получаем дЯ др„ — = — Р—— дх д~р Следовательно, сдвигающая сила равна где Ф, (~р) — произвольная функция интегрирования. Подставляя найденное значение силы сдвига в уравнение (6.43), получаем х 0 Интегрируя, найдем силу, действующую вдоль образующей: х Т1 Ф2 0р) х дФ1 М) 1 Яд~р Я,) Ь р„— — "+ — р" дх о где Ф, (~р) — вторая произвольная функция интегрирования. 156 Обозначим где 5*, Т1 — частные решения уравнений (6.43) ... (6.45). Это известные функции, определяемые внешними поверхностными нагрузками. При этих обозначениях ~ = Ф Ь) + ~"' Т, = Ф, (ср) — х + Т1.
д~11 (ф) Яс1ф Перемещения и, о и ы определяют с помощью следующих уравнений: до ' 1 до ди 5 — = — (Т,— ) Т,); — = — — + дк ЕН ' дх йдф бй Интегрируя первые два уравнения„ получаем и=Фа(ф)+ 1 ЕЬ где Ф, (гр) и Ф4 (ф) — новые произвольные функции интегрирования. Ей [ Х х Ч1 — — — 1 Р„йх — ~ — Йх, ) дф о 1в = — — + — (Т вЂ” рТ ).
до дф еь к хФ, (<р) — — х' , дф,(ф) Г „. +~ Т~с1х 2 Ядф — р — р„дх, Я ЕЬ, 'о о = Ф,(~р) — х да (ф) Яоф х х хо дФ~(ф) хэ ооФ~(ф) (' (' дТ~ 2 Ядф Я~2 дф' ,),) Рдф а о х хФ, (ср) + Л* дх о Обозначим х х и = — "Т»с)х — »» — ~ р Йх; г . й Г Ей,) ЕЬ,) о о х х Ж о о о Используя эти обозначения, выражения для перемещений и и и мо.кно записать так: и = Фа (ф) + — 1 хФа (ср) — — ' ~ + и*; 1 Г ха с(Ф» (ср) 1 Ей ~ 2 Иф .! ха сРФ» (ср) дФа (»Р) 1 ( ха дФа (ф) Яйр 'Ей ~ 2 Ф1ф + — хФ, (ср) + э'. »сй бра йр'-' Функции и* и и* имеют смысл частных решений. Нормальное перемещение с(Ф» (ср) сРФа (ср) 1 ха сРФ (ср) ха сР Ф, (ср) +х )~с(ф Ей 2 ~Уфа а~ с) а с(ос' 1' дФ» (ср) 1» дФ, (ср) — — — — х + — х йр ссй дср Ей дср — Р— Ф (ср)+ — — )» р„У т*,р Ей Ей Ей И8 Таким образом, решение уравнений безмомептпой теории содержит четыре произвольных функции интегрирования.
Они должны определяться из четырех граничных условий на торцах оболочки. Расчет по безмоментной теории цилиндрических оболочек чрезвычайно прост и достаточно надежен, если внешние нагрузки изменяются по координатам х и ф не слишком резко. К таким нагрузкам относятся, как правило, гидростатические и аэродинамические нагрузки. Найти в аналитической форме решение уравнений (6.34) ...
(6.42) моментной цилиндрической оболочки для различных граничных условий при произвольных нагрузках затруднительно. Относительно простой результат в двойных тригонометрических рядах можно получить для практически важного случая, когда оболочка свободно шарнирно опирается на торцах. Под свободным шарнирным опиранием понимаются следующие граничные условия: а~ =-- =и=О; Т,=О; М»=0. Представим уравнения в перемещениях. Для этого подставим перерезывающие силы Д, и 9, из уравнений (6,36) и (6.37) в формулы (6.39), (6.40).
Далее выразим их через деформации и изменения кривизн с помощью зависимостей (6.41), (6.42). Окончательные уравнения в перемещениях получаются с использованием выражений (6.34) и (6.35): д'и + 1 — !х д'и 1 1+!з дзи ~ 1з дв 1 — !" (6 46) дхз 2 Язд~рз 2 дед(р Я дх ЕМ 1 + !з дзи , 1 — р, дзи дзи дзи 2Я д~рдх 2 дхз Яз дф Язд~р Ьз ( ! — ! дзи ! д.= дзх, дз+ ( — — + 12йз 1, 2 дхз Рз дзрз дхз д~р Яз д<рз / рз = — Рз ЕЬ !з ди ди, ы Бз / дзи ! дзи дх Яз ду Яз 12Яз 1, дхз д~р йз д~рз дзй дзй ! дзУ 1 1 Рз дхз дхз доз Яз доз / Е/з Слагаемые в скобках в последних двух уравнениях соответствуют моментным членам. Перед ними стоит сомножитель пз/(12йз), являю- щийся малым параметром. Казалось бы, при рассмотрении тонких оболочек можно не учитывать этих членов в скобках. Отметим, однако, что производные от перемещений и и ю здесь имеют высокий порядок.
Как уже отмечалось ранее, в некоторых задачах теории ооолочек перемещения гораздо меныпе по значению, чем их производные. Имен- но поэтому малый параметр /зз/(12йз), умноженный на производные высокого порядка, дает величины, соизмеримые с теми, которые соот- ветствуют безмоментной теории, Это подтверждается., в частности, для осесимметричного случая, Общий вид уравнений при этом упрощается: сР и и с1ти 1 — !зз + — — = — Р—; дхз Я дх Е/з зз~ 1з ди зз дззз + + — — — Р дх4 а (6.48) Исключая касательное перемещение и учитывая, что постоянная интегрирования первого уравнения С = (р„.х + Т) (1 — 1зз)/(Ей), получаем д'и 12(1 — вз) 12(! — 1з') рт, 12(1 — !з 1 (6 49) йхз 1~з Ьз Е!зз И ЕЬз Это известное уравнение осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки.
Оно соответствует рассмотренному ранее уравнению крае-, вого эффекта моментной оболочки вращения, и общие интегралы их одинаковы. Получим решение уравнений (6.46) ... (6.48) в двойных тригонометрических рядах. Положим, что оболочка нагружена нормальным к поверхности распределенным усилием р„= Р, симметричным отно- сительно плоскости ф = О. Разложим величину р в двойной ряд Фу- рье: тах р= ~~Г ~~' р,„„з1п — соза!р, т=!п=о где 1 — длина оболочки. Коэффициенты ряда в силу ортогональности тригонометрических функций определяются формулами: для осесимметричного случая (а = О) при произвольном т р, = — ~ ! р(х, ф) з1п — Йх!1ф; ж !г тлх 'о о при а = 1, 2, ...
и произвольном т ! и 41 ГР тах Р„п = — 1 ) Р (х, ф) з!и — соз аф дх й~. Решение уравнений (6.46) ... (6.48) будем искать в форме ~п ЯВ СО ФО ~1 Ч1 тах и= ~~~ '~ Л „соз созаф; о= '~ у В „з!и — з1паф; 1 Л,2 т=! л=! ОО Ю и!= ~ )~ С „з!и — "" созаф. Еа~ ма! т=!п 0 Каждый из членов этого ряда удовлетворяет граничным условиям на торцах оболочки (х =. О, х = 1). Подставив выражения (6.50) в уравнения (6.46) ... (6.48), получим алгебраическую систему уравнений ОтНОСИтЕЛЬНО ИСКОМЫХ КОЭффИИИЕНтон Ащп> Втпь Сап: с 1+И тл п 1А Г по 1 — 1! т'~г' л~ "" ~ я Ати+ . + 21~. р п2 т'~' и!'" ай ~йо — + 2 — а'+ ~Л 1М ~ (6.51) Коэффициенты А„,„, В,„„, С„„„соответствуют амплитудным значениям перемещений и, о, ы.
Из соотношений (6.51) следует, что если нагрузка Р (х, <р) изменяется достаточно плавно и при ее разложении в двойной ряд Фурье можно ограничиться несколькими первыми членами (т = 1, 2, 3, п =-- О, 1, 2, 3), то можно не учитывать слагаемые в скобках из выражений (6.46) ... (6.48), и решение будет соответствовать расчету по безмоментной теории. При нагрузках, быстро изменяющихся по координатам х и ср, определить перемещения по формулам (6,51) весьма сложно пз-за медленной сходимости двойных рядов. Еще медленней будут сходиться ряды при определении усилий. Расчеты оболочек в этих случаях целесообразно проводить с помощью методов, изложенных в гл. 5.
$6.4. Полубезмоментная теория цилиндрических оболочек 1. ~ — дх ат ! дх мента Ид и % + — дх дх1 ениям 5+ (1~р дд дф (6.52) (6.53) Т, Е д„, (6.54) . Цг 3~~ (6.56) б Зак о~а Наиболее простой приближенной теорией, позволяющей проводить расчеты конструкций при нагрузках, быстро меняющихся вдоль окружной координаты, является полубезмоментная теория. Она строится с использованием трех видов гипотез: стати ч е с к и х, предполагающих равенство нулю меридиональных изгибающих и крутящих моментов, а также перерезывающих сил в продольном направлении (М1 = М;г =- О, Я, = 0); к и н е м а т и ч е с к и х, считающих, что окружная деформация и деформация сдвига оказывают незначительное влияние на деформированное состояние оболочки и их можно считать равными нулю (з, = О, у = 0); ф и з и ч е с к и х не учитывающих при построении уравнений значение коэффициента Пуассона (р, =.
0). При М =М, =0 и Я1=0 уравнения равновесия эле юг оболочки в координатах х 5 (рис. 6.6) согласно выраж 1Ря рх (6.36) ... (6.40) имеют вид дт, дЗ вЂ” + — = Р РУ „4 дх 1сд~р 6 + — — *+Р,=О; дТ, дЯ 5 Т Яд~р дх Я Т~ дед — + — =Рю Ядф д!Ия (6.55) Рис. 6.5 Рд(р При окружной деформации е, =-- О изменение кривизны в окружном 1 (д2в да направлении х = — ~ — +сг~, так как — + ы =- О, а момент ~ д~ф дф М, выражается через перемещения следующим образом: Здесь Π— погонная жесткость на изгиб оболочки в плоскости параллели. Для изотропной оболочки при р =- 00 =- ЕЧ~12. Из уравнения (6.55) следует а из уравнения (6,54) (6.58) Дифференцируя выражения (6.52) по х, а выражение (6.53) — по ~р и исключая сдвигающую силу 5, получаем д~Т, д~Т,, дауд дР,р др, ' — — '+ — ' — — + —" =О. дх' Фд<р~ Я' дв Кд~р дх (6.59) Подставляя выражения Т, и Я, из соотношений (6.57), (6.58) в уравнение (6.59), получаем первое основное уравнение полубезмоментной теории: д2 Т Д / ~в~о д4а дгв ~ дЯр дР~ до„ вЂ” '+ — ~ — + 2 + ) — " — — + —" — О.
(6.60) дх~ Я" дф д<р4 д~р~ ) Ядах Яд~р дх Второе уравнение получаем из условия е, = у =- О и зависимости Т,= —, ди дх (6.61) где  — погонная жесткость оболочки на растяжение в направлении образующей; В -- ЕЬ„где Ь, — приведенная толщина оболочки с учетом продольного подкрепления (при отсутствии продольного под- крепления В = Ей). Из условия р = О имеем ди ди — + — =О. Яд<р дх (6.62) Дифференцируя это уравнение по х и выражая производную да/дх через Т, согласно соотношению (6.61), получаем — + — =О. д7', д-"г Ядф ' дх' (6.63) Согласно условию е, = О имеем ди — = — п~ д<р (6.64) — ' — ВЯ вЂ” „=О, д'Т, д'м ,;дф' дх" (6.65) Исключая отсюда и из уравнения (6,63) перемещение и, получаем второе основов уравнение полубезмоментпой теории Дифференцируя выражение (6.60) два раза по ~р, а (6.65).
по х и исключая Т,, получаем уравнение в частных производных для перемещения ик (6.68) Дх' 2. Неподвижное закрепление края оболочки. В этом случае запрещены все перемещения края оболочки (д =- и = О). Граничными условиями будут ы=-О; — =О. Дх 3. Свободный край оболочки. В этом случае Т, = 5 ные условия Д»ц, Дз~ =О; — =О Дх' Дхз (6.69) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
