balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 23
Текст из файла (страница 23)
5.1, б). Каждой параллели будет соответствовать угол 8 между осью вращения оболочки и нормалью а к срединной поверхности; это как бы широта параллели, отсчитываемая от северного полюса. Положение меридиана на этой поверхности можно определить углом Ч в плоскости параллели. Система координат В, ~р и г определяет положение произвольной точки А, внутри тела оболочки.
Это а) ортогональная криволинейная система координат в пространстве, В точке А срединной поверхности можно построить три взаимно ортогональных вектора единичной длины: вектор касательной к меридиану 1„ вектор касательной к параллели 1, и вектор нормали а к поверхности.
Векторы 1, и 1, лежат в плоскости, касательнойк поверхности. При движении точки А по поверхности трехгранник, образованный векторами 1„1, и й будет перемещаться в пространстве, обкатывая плоскостью 1~1, поверхность. В дифференциальной геометрии этот трехгранник называется т р е хгранником Дарбу. Вместо угловой координаты О можно ввести координату з, отсчитываемую по длине меридиана срединной поверхности.
Точка пересечения О, двух бесконечно близких нормалей в плоскости меридиана будет центром кривизны меридиана. Кривизна меридиана определяется как величина, обратная радиусу кривизны Я,: ае ав 15.1) Яд дЯ Ъ' Если нормалью и, двигаясь по окружности параллели, разрежем оболочку, то в сечении получим поверхность конуса с длиной образующей Ь. Вершина этой конической поверхности будет в точке О, на оси вращения оболочки (ось х на рис.
5.1, б). Отрезок АО, определяет размер второго радиуса кривизны Я, срединной поверхности. Это радиус кривизны в точке А плоской кривой, образованной пересечением срединной поверхности е нормальной плоскостью и 1„в которой лежит. касательная 1, к параллели в точке А. Рассмотрим еще одну характерную точку О, пересечения касательных к меридианам, проведенных из точек одной параллели, В сн- 1Я8 Пусть х — координата, отсчитываемая по оси вращения срединной поверхности.
Тогда х и г можно рассматривать как декартовы коор- динаты в плоскости меридиана. Следовательно, — =ып 9, — =сов 9. 4х . сь. (5.4) й дз Умножая обе части уравнения (5.2) на яп 9 и дифференцируя по 9, получаем — = — (И, яп 9) — ''яп 9+ Я, соз 9. й й Ы, ~о ав йО -' Но согласно формулам (5.1) и (5.4) Ь аг Ь. — = — — =Я, соз 9, 60 йз йз следовательно, — '=(й,— К,) с(д 9. 69 (5.5) Уравнение (5.5) является важным соотношением, связывающим радиусы кривизны Я, и К, срединной поверхности оболочки.
Пусть две точки А и В соответствуют приращению дф угловой координаты д в плоскости параллели. Длина дуги АВ равна где. Угол йр между двумя соседними нормалями АО, и ВО, определится из ра- венства Я,Й~ = гор, т. е. дф = — ~~р =з~п 9 ~~. (5.6) рй Угол ду между двумя отрезками О,А и О,В определяется из равенства адХ = гни, откуда с1К = — сЬр = соз 9 й~р.
(5.7) й Пусть г ледствие каких-либо причин оболочка деформировалась. Обозначим через и, и и ю перемещения точки А срединной поверхности соответственно вдоль меридиана, параллели и внешней нормали 129 з зим. иф лу симметрии точка О, также будет лежать на оси вращения срединной поверхности. Обозначим радиус параллели поверхности через г и длину-отрезка АО, — через а.
Отрезки АО, и АО, образуют в точке А ~(рямой угол. Из рассмотрения треугольников О~АО и О~АО получаем Я, = гlя'и 9; (5.2) а = г7соз 9. (5.3) (рис. 5.2, а). Перемещения в направлении оси х и радиуса «(рис. 5.2, б) будут: и„= из1п0 — и с 0; (5.8) и„= и соя 0 + в з1п О. (5.9) Перемещения и, а, и, и,, и и их производные будем считать достаточно малыми, т. е. можно пренебречь их квадратами и,произведениями. Ы.- '-~ Определим деформации срединной поверхнос т и оболочки. Рассмотрим на этой поверхности элемент АА,В,В (рис. 5.3), образованный пересечением двух близких меридианов и а) Рис. 5.3 Ряс. 5.2 параллелей. Длины дуг ВВ, и АА, равны й = й,с10, длина дуги АВ равна «йср, дуги А,В, — (» + д») д~р. Площадь четырехугольника АА~В,В'с точностью до величин высшего порядка малости равна «ййр.
Будем считать перемещения и, а, ы~, и, и и„функциями независимых переменных 0 (или з) и с~. В результате перемещения и элемент АА, (рис. 5.4) длиной й получит относительное удлинение ди 1 ди дз Я, дО Перемещения о перпендикулярны плоскости меридиана и при принятом предположении об их малости они, не вызывут его удлинения. Относительное удлинение элемента АА, от перемещения ы~ можно найти как относительное удлинение в/К, дуги окружности радиуса Р,. Полное относительное удлинение элемента АЛ, равно г = — ( — + и . (5.10) Д,~ дВ Выражение (5.10) определяет деформацию срединной поверхности в плоскости меридиана.
Относительное удлинение элемента АВ параллели легко получить, повторяя соответствующие ра:суждения. Так как малые перемещения и, не вызовут удлинений элемента АВ, то достаточно рассмотреть перемещения только в плоскости параллели. 130 дч — дВ ав Рис. 5.4 . Поскольку началыгая длина элемента АВ равна гс1гр, получим для относительного удлинения а2 выражение (5.11) г ~ д<р или с учетом формул (5.9) и (5.2) а, = — — — + — соз 8+ — .
- (5.12) 1 дц и Ы г дср г . Формулой (5.12) выражается деформация срединной поверхности в направлении параллели. Сложнее вычислить деформацию сдвига, т. е. изменение первоначального прямого угла-ВАА„элемента АА,В1В. Перемещение ы при принятом предположении о его малости не влияет на значение деформации сдвига. Поэтому вместо элемента поверхности АА,В,В можно рассмотреть сго проекцию на плоскость, проходящую через точки А, А„В1 и В. Вычислим уменьшение угла ВАА, отде льно от перемещения и и от перемещения о. Перемещения точек А и В вдоль касательных к меридианам будут соответственно и и и + (ди/йр) йр (рис, 5.5) Уменьшение угла ВАА, от перемещения и равно 0~ уг — — и+ — с1 ~р — и / с 1 ди р+, а'р ( 1ч) = г д~р Перемещения точек А иф вдоль касательных к параллелям будут о и о + (до)д0) ЙО.
Но разl ность этих перемещений уже не будет полностью определять изменение угла ВАА1, так как вращение элемента АА,В,В как тверРяс. 5.5 Е/+— дй др~ 13! дого тела вокруг точки О, влияет на эту разность. Вез деформации сдвига перемещению и отрезка АВ будет соответствовать перемеще- ние отрезка А,В„выражаемое соотношением ОЗА~ а+до ( юг ~ У е'-' — = 0 =и ~1+ — ~. ОзА а г )* Следовательно, сдвиг определится как и+ — 40 — а ~1+ — ~'=- — дΠ— о —.
й~ г дг 1, да ~1г д0 ~ г ~ дО г * Окончательно уменьшение угла ВАА, вследствие только перемещений о равно ;Ф' ди Й8 о дг 1 ди а 7~— соз О. дО дв г й Я, дО Суммарное уменьшение угла ВАА„ т. е. деформация сдвига элемента срединной поверхности оболочки, 1 ди 1 ди и 7 72 г7 ~ + созО.
(5.13) д~р й, дО г Если смотреть па касательную плоскость со стороны внешней нормали, то углы 7, и 7, будут углами поворота векторов 1, и 1, вокруг нормали по часовой стрелке (см. рис. 5.1, б). Формулы (5.10), (5.12) и (5.13) определяют деформации срединной поверхности оболочки в касательной (тангенциальной) плоскости.
Их часто называют тангенциальными деформациями. И з г и б н ы е д е ф о р м а ц и и срединной поверхности оболочки определяются через углы поворота нормали. В меридиональной плоскости вследствие перемещений и и ж векторы р, и и повернутся на угол (5.!4) по движению часовой стрелки, если смотреть в направлении век- Э -э тора 1,. Б плоскости АО,В векторы 1, и и повернутся на угол 1 1' ды '1 дв и б,= — — — д = — —— ар ~ д~) ) гд(р (5.15) против движения часовой стрелки, если смотреть в направлении вектора 1,.
Углы 7,, 72, д, и д, полностью определяют повороты векторов 1„1„п при малых перемещениях и, о, ю. При переходе от угловой координаты О к линейной з, отсчитываемой вдоль меридиана от какой- либо условной параллели, следует пользоваться простой зависимостью Дд118 = Й, (5.16) 1 ( до '1 ди до г= — ~ — +ы у= +— , д~р ~ Яд~р дх да ды ди о р 71= у '01= ~ 0т=- дх ' дх Яд~р Д ди 8,=— дх (5.17) ди ф 5.2.
Уравнения безмомеитной теории Безмоментную оболочку можно рассматривать как приближенную модель реальной оболочки; если в последней не учи- тывать изгибающие и крутящие моменты; безмоментная теория обо- лочек — это приближенная теория расчета, не учитывающая изги- бающих и крутящих моментов; замена реальной оболочки безмомент- ной недопустима, если ее срединная поверхность при заданном способе закрепления может изгибаться без растяжений и сдвигов. Обозначим аа — меридиональные напряжения, о,р — кольцевые напряжения и т — напряжения сдвига.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
