balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 18
Текст из файла (страница 18)
резывающую силу. А так как угол поворота соответствует первой производной в' от перемещения, а момент и перерезываюп[ая сила пропорциональны второй и третьей производным, вектор (и)„ представим в виде ( щ,,„,«н,~«н, „,, „~«)т Тогда перемещение в пределах элемента описывается полиномом седьмой степени ы = [1 х х' хв х' хв хв х7[ (я) = [А! (я), где вектор коэффициентов (я ) (я1я Зя зявя«явя7яв) При х = 0 и х = 1 перемещение и и производные от него равны уз- ловым составляющим вектора (и)„: °, ««, «к сп, х 0 и) ы1 ю и/1 ю я~1> ы ы1 / Ф, И «, У/ М Х = 1: Я3 = Ив', и = ю~1 ~6 — 0)2', Я) = ж) Отсюда формируется связь между вектором узловых перемещений и вектором коэффициентов: (и)„= [С] (я), где 1000 0 1 0 0 О 0 2 0 000 6 1'Р 1в 0 1 2Х 3[в в 0 0 21 61 $00О 6 0 0 0 0 0 0 0 0 14 1$ 41в 51в 12[в 201в 241 60Р 0 0 О 0 0 0 0 0 1в Р баев 7гв 3014 421в 120[в 210 1в Перемещение произвольной точки элемента, выраженное через перемещения и их производные в узлах, теперь будет иметь вид = 1А1(С1-' (и)„= 1Ф! (и)„.
Подставляя это соотношение в уравнение равновесия и имея в виду, что выбранная полиномиальная функция в общем случае не является его решением, получим функцию-ошибку Р„= 1ФР~ (и)„— су (х)1(ЕЛ). Согласно методу Галеркина функция-ошибка должна подчиняться соотношению (3.16). В варианте МКЭ оно соответствует следующей зависимости: ( [Ф1 (и) „й„Йх = О. д (и)„.1 Отсюда можно построить матрицу жесткости и вектор внешних сил элемента.
Метод Галеркина в конечно-элементной формулировке дает хорошие результаты для усилий и перемещений даже при небольшом числе элементов, на которые делят деформируемую систему. Поэтому кажущаяся громоздкость вычислений по сравнению с методом, основанным на принципе возможных перемещений, может быть компенсирована высокой точностью, особенно при определении внутренних усилий. Рассмотренные примеры применения МКЭ имеют прежде всего методический смысл.
Практические возможности метода неизмеримо шире. Он применяется при решении весьма сложных задач. Но основные принципы метода, как и последовательность его применения, могут быть усвоены на рассмотренных простых примерах. Более подробное изложение особенностей МКЭ можно найти в книгах 1111, ~19]. ф 3.6. Решение двумерных задач методом конечных элементов Расчет тонкостенных конструкций во многих случаях сводится к решению двумерных задач.
Иногда эти задачи удается свести к «квазиодномерным» вЂ” тогда область интегрирования и граничные условия позволяют воспользоваться методом разделения переменных и привести функционал, зависящий от двух переменных, к одномерному. Этот вариант решения задач часто используется, однако он не всегда возможен. Для нерегулярных, сложных областей необходимо пользоваться двумерными элементами. В практике расчетов широкое распространение получили плоские треугольные и прямоугольные элементы, комбинации которых позволяют достаточно просто прсдставить самые разнообразные конструкции в виде системы элементов. На первом этапе расчета нужно построить матрицы жесткости для этих элементов. Рассмотрим, как строятся матрицы жесткости для двух типов конечных элементов: треугольных — применительно к плоской задаче теории упругости и прямоугольных — применительно к поперечному изгибу пластин.
На рис, 3.14 изображен треугольный элемент с тремя узловыми точками ~, 1, й. Обход узлов от точки ~ производится против хода часовой стрелки. Построим поле перемещений в элементе, полагая, что линейные и угловые компоненты деформаций в нем постоянны, Положим ди , до ' ди да е" д а2' Ь д 0з) уху =' д + =у1, (3.99) где а„~„у, — константы. Из первых двух уравнений (3.99) следует и = а~х + Е)~ (у); = Р зу + О, (х).
Подставим эти соотношения в третье уравнение (3.99): дП, (у) д0~ (х) ду дх Рис. 3,14 Здесь О, и В, — две независимые функции. Это уравнение удовлетво- ряется, если д1)1 (х) . д0~ (х) — =аз, 2 ду дх откуда после интегрирования получим И (у) = а.у+ а, 0 (х) = Р х+ р,. Следовательно, перемещения в элементе описываются следующими линейными функциями координат: и = а, + а,х+ а,у; о = р, + ~,х + ~,у. (3.100) Эти зависимости удовлетворяют условию постоянства деформаций.
Константы а,; а,; а,; Р,; Р,; Р, независимы. В матричной форме соотношения (3.100) имеют вид »>) 1> и=(1 х у] а, ', о=-[1 х у) я аз! 1з Представим константы через перемещения и координаты узловых точек элемента 1 х; у; (и ) = и; = 1 х~ у; а,(' (о ) = ид 1 хд у„а,~ о; 1х~у~ ~3, о> 1 х у> р2 > о~ 1х~у~ или (и ) = (Л"1 (а); (о ) = (М (р). 4 з»х. ~,9>л Векторы констант (а) = [М-' (и,„); (р) [Ф]-' (о„). Перемещения в любой точке элемента теперь можно определить мат- ричными соотношениями и=[Ф](и ); и=[Ф](о ), (3.101) где [Ф1= [1 х д][Л']-'.
В развернутом виде м а т р и ц а си я з и пер емеще ни й в элементе с узловыми перемещениями имеет вид [Ф] — — [((х;д~ — хну~) + (у; — у~) х+ (ху, — х;) у) 1 ((х1у~ — х;у~) + (д~ — у;) х + (х~ — х~) д) ((х;у; — х;у;) + (у; — д~) х+ (х~ — х;) у)1, где 2Л = (х; — х;) (у~ — д~) — (х~ — хд) (у; — у~) — удвоенная площадь треугольника. Введем векторы узловых перемещений (и)„ и деформаций (е)„: (и) = (ио~иоиа~)г (е)„= (е,ецущ)г. (3.102) Связь между ними определяется матрицей [В1: (е)„= [В] (и)„. Ее можно найти, имея в виду соотношения (1.17): д — О дх ех д ду (".1 д д ду дх Подставив сюда соотношения (3.101) и имея в виду, что узловые перемещения соответствуют последовательности (3.102), получим д,, О д„, О д,, О [В] О х~ 0 х;р„О хч . (3.103) хц, у,„хд д~ х;; у;, Здесь у,~ — — у; — у~, х~~ = х„— х~ и т.
д. Для плоского напряженного состояния общее соотношение для матрицы жесткости (3.89) принимает вид Щ = Ь ~~ [В]' []~1 [В1 Ыу, (3.104) где й — толщина пластины.. Матрица (1.46) упругих констант для изотропного тела без учета температурного воздействия имеет вид 1 0 Р1=, 1 1 0 (3.105) 0 0[1 — р)2 Подставив выражения [3.103) и [3.105) в соотношение [3.104), по- лучим матрицу жесткости треугольного конечного элемента для тела, находящегося в плоском напряженном состоянии К11 К12 К12 [К1=- К„К„К„, [3.106) Кз1 Кзз Кзз где К„, К„и т.
д. — блоки 2 Х 2, зависящие от координат вершин треугольника, жесткости ЕЬ и коэффициента Пуассона, например: [К111 =, Х ЕИ 4а(~ „2) Узь Уи хь, хь~ РУь хь,, хь, Уь Х з р.хь; у,ь+ у;ь х„, хь; хь;+ — у;ь у;ь Заметим, что для рассматриваемого элемента при получении матри- цы [К1 операция интегрирования упрощается, так как матрица [В1 не является функцией от х и у, а зависит от координат узловых точек. Матрица жесткости [К1 связывает векторы перемещений узлов и узло- у г вых сил [рис.
3.15): [К1 (и)„= (Г), где (Г)=(ГзйГу1Гх~Гу~ГхьГуь)г. (3.107) Если векторы перемещений и сил в каждой узловой точке представить в виде („) („,,„, ь) т. (Г) (Г Г Г~т Рис, 335 где (ы;) = (и; о;)г; (1оз) (и1. и,)г. (ыь) (иь иь)т. Ю) = (Гх~ Гз~) ~ (Гу) = (Гх~ Грд ~ (Гь) = (Гзь Гць) то в матрице [3.106), состоящей из блоков [К„1, [К„1 и т. д., каждая составляющая определяет взаимодействие узловых сил и узловых перемещений в элементе.
Рассмотрим особенности построения общей матрицы жесткости системы, состоящей из нескольких треугольных элементов. На рис. Ряс. 3.16 3.16 представлена трапециевидная пластина, для каждого из трех элементов которой необходимо записать следующее матричное соот- ношение: К11 К1г К13 Кг~ Кгг Кгз Кз1 Кзг Кзз Р1 — Р1 / Рз 1 ! 1 вг Верхние индексы означают, что эта зависимость относится к пластине 1 (рис.
3.16). Такие же уравнения необходимо записать для треугольников П и Ш~ К11 К1г %3 иг . Р,' К,'~ Яг К1 ц),~ Рэ Кг1 Кгг Кгз ~в( = Рг > Кг~1 Кг~г Кг~з е~з — Рз Кз1 Кзг Кзз ~в$ Рг Кз~ Кзг Кзз И Ра Каждый из узлов трех элементов кроме номеров общей системы (1, 2, 8, 4, 5) имеет символы ~, 1, й. Условия равенства перемещений в узлах приводят к следующим соотношениям: (М = (М (М = (М = (М' (М = (М = ('М = — (и'г)' (и~у ) (~5) з (М (и~ю ) (~г~з) В свою очередь суммарные векторы усилий в каждом узле равны (Р') =(Р )' (Рг)+(Р') = (Р )' (Рз)+(Ра+(Рз) =(Р )' (Р') =(Р ); (Р')-+(Р~') = (Р ).
Проведя суммирование составляющих матриц каждого элемента в соответствии с этими равенствами и заменив обозначения векторов узловых перемещений элемента обозначениями векторов перемещений системы, получим общее матричное уравнение плоской трехэлементной пластины: Кгг+ Кгг+ К11 Кгз+ Кг1 Кгз+ К1з К1г Кзз+ Кп К1з О Симм. Кзз+ Кзз Кзг Кгг и~г газ м>з и~6 (3.1ОЗ) лю Матрица жесткости общей системы симметрична, так как для одного и того же элемента (К„! = !К„); )К„) = У(,,) и т.
д. Полученное -уравнение позволяет определить перемещения при заданных силах н силы при известных перемещениях в узлах. Если, например, пластина закреплена так, что в точках 1 и 3 запрещены перемещения, а в точках 2, 4, Б известны силы (рис. 3.16), то в уравнении У (3.108) неизвестными являются векторы ггеремещений (в,), . (а~4), (п~,) и сил (РД, (Р,). !~( 11 Рис. 3.17 Рис. 3.18 Заметим, что в .рассмотренном варианте треугольного элемента напряжения на границе элементов не непрерывны, а меняются скачком. При малом числе элементов расчет может оказаться весьма неточным. Результат можно уточнить, разбивая систему на большее число элементов или применяя элементы повышенной точности — с промежуточными точками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
