balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Требование полноты системы функций связано с приближением решения к точному. Практически задачи решаются при ограниченном числе аппроксимирующих функций и во многих случаях достаточно взять две-три из них для того, чтобы получить вполне удовлетворительный результат. В качестве примера применения метода Рэлея — Ритца рассмотрим задачу об изгибе шарнирно опертой балки, имеющей постоянную жссткость Е1, длину 1 и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой д. Полная потенциальная энергия балки определяется соотношением (1.66): Учитывая условие (3.2) найдем коэффициенты С„для нечетных и (если п четное, С„= О): С„= — — —. Окончательное уравнение упругой 4 ! Ч!~ л~,~~ Д/ линии балки, определенное с помощью метода Рэлея — Ритца, имеет вид 4дИ т~ 1 плх Я~= — Д, — Б1П л' Е /, а' и-!,З,Ь...
(3 7) Интегрируя уравнение (3.5), при тех же граничных условиях получаем такое выражение для прогиба: Приближенное решение (3.7) хорошо аппроксимирует перемещение ю на всем диапазоне 0 = . х ~ /. Например, прогиб при х = 1/4, подсчитанный по первому члену ряда (3.7), имеет значение ю =- = 0,0092758 дР / (ЕЯ), что всего на 0,015 % отличается от значения, полученного по формуле (3.7'): сы = (),0092773 дР / (Е,/). Методом Рэлея — Ритца можно найти не только перемещения, но и внутренние силы и соответствующие им напряжения. Для этого необходимо использовать связь между усилиями и перемещениями.
В рассматриваемом примере изгибающий момент в сечении балки (!2цу 4Ч!2 ~~ ! М = — Е./ — = — — ~, — з1п — . ,!~з ~р дз л= 1,3,5... (3.8) з' Очевидно, чтоточностьрешения при определении напряжений меньше, чем при нахождении перемещений в связи с тем, что при дифференцировании приближенных функций их производные оказываются еще более приближенными.
При х = //4, если и = 1, метод Рэлея — Ритца дает М = — 2 )Г2 л' дР, что на 2,8 % отличается от М = — (3/32) цР, ' соответствующего решению по формуле (3.7'). 'Однако и здесь, если использовать большее число членов ряда (3.8), можно близко подойти к точному решению. Широко используется метод Рэлея — Ритца при решении задач устойчивости деформируемых тел.
Особенность его применения состоит в том, что здесь необходимо использовать выражение для изменения полной потенциальной энергии относительно некоторого исходного состояния. Задача при этом сводится к линейной системе алгебраических однородных уравнений. Рассмотрим пример определения критического состояния неодно.родного шарнирно опертого стержня, нагруженного осевой сжимающей силой на торце, Момент инерции стержня меняется вдоль оси: ас, ' ас, что приводит к системе однородных уравнений / 8 ~ Р1а 1 48 2 ~ — + л) л — — ~ Са — — лСз =0; !,3 ) Е.1а~ ' 5 — лСа+ 2 ~ ~ +81л) л — 9 — Сз =0 48 ! Г 5832 ~ Р1а 5 ~~ 35 ) ЕУо (3.11) Отличное от нуля решение этих уравнений находится с помощью определителя, составленного из сомножителей при С, и С,. Прирав- няв определитель нулю, получим характеристическое уравнение — — 165 — +2660 =О, позволяющее найти два значения силы Р: Ра = 18а06 ЕЗз~Р~ Ра = 147 Е,1 о~ 1а Минимальное значение силы, при превышении которой стержень теряет устойчивость, называется критическим', Р„, = Р,.
Форма потери устойчивости, определяемая уравнением (3.10), при Р = Р, имеет вид !4а = С, яп — + 0,0126 з!и— (3.12) Коэффициент при втором слагаемом здесь найден с помощью одного из соотношений (3.11). 1 =- У,11+ яп(л хЛ)). Изменение потенциальной энергии стержня при действии силы Л!, = — Р по формуле (1.72) равно 1 о Рассмотрим формы потери устойчивости, симметричные относительно середины стержня.
Ограничимся только двумя членами ряда; ы = С, яп (лхЯ) -',— Сз яп (ЗлхЛ). (3.10) Каждая из функций здесь удовлетворяет граничным условиям задачи. Подставив выражение для !а! в формулу (3.9) и проведя интегрирование, получим ! 1ла 8 ла! ! а ! ла 48 ЬЭ= — Е.1, !! — + — — ) — С' — — И,— — — С,С,+ 2 !, 1а 3 1а ) 2 2 1а 5 2 ! ( 5832 ! ла 1 , ! л' + — Е3о ~ + 81л) — — Сз — — Р— — (С! + 9Сз) ° 2 ~ 35 ) 1а 2 2 1а 2 Равновесное состояние, соответствующее изгибу стержня, определяется из условия Зависимость (3.12) показывает, что второе слагаемое дает незначительную поправку и усилию Р -== Р„р практически соответствует форма потери устойчивости с одной полуволной синусоиды вдоль оси.
Если вообще не учитывать второго слагаемого в уравнении (3.10), то критическое усилие может быть определено из первого уравнения системы (3.11) при С, = О: Ркро = 18 23 ЕЛоl)'. Обратим внимание на то, что Р„р„~ Р„р„и увеличение числа членов ряда ведет к некоторому, часто незначительному уменьшению критической нагрузки. Ее значение приближается к определенному предельному значению Р„сверху. Это характерно для метода Рэлея— Ритца.
Определенные с помощью этого метода критические силы несколько больше истинных. М е т о д Ь у б и о в а — Г а л с р к и и а, вообще говоря, не требует применения энергетических соотношений. Его можно рассматривать как один из приближенных методов решения дифференциальных уравнений, которыми описываются краевые задачи математической физики. Пусть нужно найти решение уравнения Е,(со) = О, где 1.
— дифференциальный оператор; з — функция, зависящая от двух переменных х, у. Граничные условия задачи однородные. Пред- ставим решение в виде ы= '~ ~С„т~„(х, у). (3.14) и=1 Каждая из функций п„(х, у) удовлетворяет всем граничным условиям задачи, а ф— произвольные коэффициенты. Подставим выражение (3.14) в уравнение (3.13), и так как это выражение в общем случае не является решением уравнения (3.13), то левая часть его не равна нулю, а соответствует функции й, которую называют функция-ошибка: Е ~ ~~ С„т1„(х, у) =К(С„, х, у).
~ л=1 (3.15) Потребуем выполнения условия ортогональности функции-ошибки к каждой функции и„. Это условие сводится к т следующих уравнений: 1"1 Р (С, х, у) т~~ (х, у) с(х йу = О. (3.16) Они и позволяют найти все значения С„. Индекс 1 у функции и показывает, что иможетбыть не равно1(1 = 1, 2, 3, ..., т). Требование выполнения условия (3.1б) может следовать и из общих вариационных соотношений. Поясним это на примере задачи об изгибе балки. Уравнение (3.4) соответствует минимуму полной потенцию альной энергии системы. Если решение и =,'~', С,„п„(х) выбрано так„ п=1 что оно удовлетворяет не только геометрическим, пои силовым гранич- нь1м условиям, то второе слагаемое в формуле (3.4) равно нулю, и оста- ется соотношение ! 63 = Е3 — д бюдх=О.
о Если в это вариациопное уравнение вместо вариации перемещений подставить выражение бы~ — - ~ 6 С„11„(х) и учесть,. что вариаппн коэффициентов произвольны, то придем к формуле ~! ЕУС„" ч" ' — д ц,(х) дх =О, а которая и является выражением метода Бубнова — Галеркина для балки, а в более общем виде определяется уравнениями (3.18). Таким образом, все коэффициенты С„в функции (3.14) находят из уравнений (3.16).
Число уравнений и соответствует числу искомых коэффициентов. Один из наиболее сложных вопросов при применении метода Бубнова — Галеркина — выбор системы функций ~1, удовлетворяющей как геометрическим, так и силовым граничным условиям.
Представим вариант метода, позволяющий облегчить этот выбор. Положим, что дифференциальное уравнение (3.13) имеет одну переменную и разрешено относительно старшей производной Е (и) =- ю" (х) + А (ю) + В (х). (3.17) Представим в виде ряда не саму функцию, а ее старшую производную т ы". (х) = '~ С„т~„(х).
(3.18) и=-1 Интегрируя это соотношение, получим перемещение ш, выраженное через А новых констант. Они могут быть определены и связаны с параметрами С„через граничные условия. Таким образом получается новая система функций в (х), удовлетворяющая требованиям метода Бубнова — Галеркина и имеющая т неизвестных параметров. Дальнейшие операции проводятся в обычной для метода последовательности. $32. Матричный метод начальных параметров Метод начальных параметров широко используется при построении решений одномерных линейных и нелинейных задач строительной механики. Он известен также как метод стрельбы, баллисаический, метод комбинации решений и основан на сведении краевой задачи к ряду задач для той же системы уравнений, но с начальными, а не граничными условиями.
Рещение для двухточечной задачи (когда граничные условия заданы в начале и конце интервала интегрирования) находят следующим образом. На левом конце из граничных условий известна только часть значений искомых функций. Для того чтобы начать интегрирование„ необходимо задать некоторые начальные параметры, число которых равно количеству граничных условий на правом конце.
Ин'тегрирование ведется несколько раз, пока не будут удовлетворены граничные условия в конце интервала интегрирования. Процедура поиска решения в этом случае может быть довольно трудоемкой, особенно при высоком порядке дифференциальных уравнений. Существуют методы, позволяющие упростить процесс нахождения решения. Рассмотрим последовательность решения методом начальных параметров. Одномерные задачи расчета конструкций могут быть сведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка — (у)+ [А) (у) =(Ц. (3.19) Вектор (д) = (д,д, ...у„)г, называемый в е к т о р о м с осто я и и я, и в е к т о р н а г р у з к и (Е) имеют размер п, [А) — квадратная матрица и Хп. Условия на границах интервала интегрирования имеют вид [~), (д), = (1~)„[~1, (д), = (~)„ (3.20) где векторы (О), и (П), имеют размер и!2, а матрицы [810 и [81, прямоугольные размером и/2 Х и.
Общее решение матричного уравнения (3.19) складывается из частного решения неоднородного уравнения (г) и решения уравнения без правой части: (д) - ()+[И (С), (3.21) где (С) †, вектор констант, число которых соответствует порядку системы. Матрица [Л общих решений однородного уравнения — квадратная размером п Х п. Решение (3.21) может быть также записано в виде (д) с1 (д1) + С2 (д2) + ' + (г) Векторы (д,); (д,) и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
