balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это предположение, получившее позже название принципа Сен-Венана, было для многих частных задач подтверждено и теоретически, и экспериментальное. Пронллюстрируем использование этого важнейшего принципа несколькими примерами. Рассмотрим удлиненную полосу длиной а и шириной 6 (рис. 2.б, а), нагруженную по торцам нормальными силами р = р„(у), равноденствующая которых Р направлена по оси х.
Согласно принципу Сен-Венана в полосе, за исключением участков, непосредственно прилегающих к торцам, напряженное состояние достаточно точно определяется только значением этой равнодействующей и практически не зависит от конкретного закона распределения нагрузки Р~ (у). Другими словами, если Рис. 2.6 заданную нормальную нагрузку заменить любой другой нагрузкой, равнодействующая которой тоже равна Р, то это скажется на характере напряженного состояния лишь вблизи торцов.
Поэтому при практическом решении прямой задачи можно заданный произвольный закон распределения контурной нагрузки заменить тем законом, который соответствует известному решению обратной задачи (сохранив значение равнодействующей, т. е.
взяв нагрузку, статически эквивалентную заданной). В рассматриваемом случае для этой цели проще всего взять постоянную нормальную нагрузку (см. рис. 2.4, а). Считая, как и раньше, толщину полосы равной единице, для напряженного состояния полосы вдали от торцов получим Р($; ои = О; ти=О, где 5=- 1 о — плошадь поперечного сечения полосы. Если приложенная к торцам удлиненной полосы контурная нагрузка дает кроме направленной по оси х равнодействующей Р еще и изгибающий момент М, то и в этом случае в соответствии с принципом Сен-Венана напряженное состояние вдали от торцов легко найти, заменив заданную нагрузку такой статически эквивалентной нагрузкой, которая вытекает из граничных условий обратной задачи с известным решением.
Комбинируя решения обратных задач, изображенных на * Известны случаи, когда принцип Сен-Венапа не может быть применен (тонкостенные стержни, резко аиизотропные конструкции и т. п.), но дли пло- ской задачи теории упругости применение этого принципа полностью оправдано. еб рис.
2.4, а, в, находим напряженное состояние полосы в сечениях, достаточно удаленных от торцов: ох = Р~~ + Му~7~ ссу = О~ тху = О~ где Х = 1 ° ЬЧ12 — момент инерции поперечного сечения полосы. Рассмотрим еще одну задачу: поперечный изгиб консоли (рис.
2.6, б). К левому торцу удлиненной полосы длиной а и шириной Ь приложена касательная контурная нагрузка с равнодействующей С1, направленной по оси у; правый по рисунку торец полосы неподвижно закреплен. Для определения напряженного состояния такой полосы у нас уже есть решение обратной задачи (см.
рис. 2.5, а). Воспользовавшись этим решением (2.18) и заменив произвольную контурную нагрузку статически эквивалентной касательной нагрузкой, изменяющейся по квадратичному закону р„= (3/2) Я 11 — (2у / Ь)Ч/Я, приходим к формулам ст,= — ~у, ау=О, т= — — 1— где 8 — площадь поперечного сечения полосы.
Эти формулы описывают напряженное состояние во всех сечениях, достаточно удаленных от торппв Но нужно четко сознавать, что из полученного решения абсолютно ничего нельзя узнать о распределении напряжений непосредственно вблизи торцов полосы: для этого необходимо располагать дополнительной информацией о способах приложения нагрузки на левом торце и закрепления правого торца и, имея такую информацию, решать неизмеримо более сложную прямую задачу теории упругости. Это замечание относится ко всем решениям, полученным на основе принципа Сен-Венана.
5 2.3. Плоская задача теории упругости в полярных координатах Уравнения плоской задачи теории упругости в полярной системе координат можно получить, или повторив вывод этих уравнений в новой системе координат, или преобразовав формально окончательные уравнения из ~ 2.1, записанные в прямоугольной системе координат. Для вывода уравнений равновесия и соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями, воспользуемся первым путем.
Условия равновесия элемента с размерами с)г и гс18 (рис. 2.7, а) в проекции на оси х1 и у1 выглядят так: — сг„гс18+(ст,+ —" с1г (г+с(г) с18 — т,еФ+ дг дт,.~ + т,е+ — ' с10 с1г — се сЫО+ рд„гс10с1г=О; уее — ссей'+ сге+ — с18 с1г — ткеМО+ дв + т в + с)г (г+»»г)».»0+ д'гв дг + т,айги(0+равп10дг=О. После упрощений получаем два уравнения: 1 д дтгв ив — — (го,) + ' — — + г дг гд8 г + рог — О» 1 д д.в — — (гт,в) + — + г дг ' гд8 + — "+Ив= О.
г С1 » ди' дг+и ' — йг т дг А 8 С А х,...О О д«и »« . . . О «Й8 О в в ди и + — '49 — в48 д8 д»» гй8+ и+ — 68+ и68 д8 ди »» + — йг д« Используя эту таблицу, легко определить длины отрезков А,С, и А1В1: А,С,=Йг 1+ — +— АВ,=гй0 1+ ~ + " + Относительные удлинения в радиальном и окружном направлениях Здесь рог и ра'в — объемные инерционные нагрузки; остальные обозначения ясны из рисунка. Для вывода соотношений, связывающих компоненты деформаций в полярной системе координат с перемещениями, проследим за смещением трех точек А, В и С в т (рис.
2.7, б). Обозначив перемещения в радиальном и окружном на- Рис. 2.7 правлениях через и и о, составим таблицу координат этих точек до и после деформации в системе коор,. динат с осями х, у„связанной с точкой А: Для определения угла сдвига у,в найдем скалярное произведение векторов А,В1 и А1С, по формуле + + г я А,С, А,В,= А,С, А,В,сов~ — — угв = А,С, Л,В,81пу„в, откуда А1С1 ' А1В1 = Й' (1 + е,) 'дО (1 -1- ев) е1пугв.
С другой стороны, скалярное произведение можно подсчитать и как сумму попарных произведений проекций векторов А,С, и А,В, на оси ,т, и у,: А, С, А, В, = й + —" дг1 ( — ' дΠ— иЮ + дг /~ дО + — дг л10+ — ЙО+идО '. Сравнивая эти два выражения и считая е1пу,в = у,в, можно записать ( + ")( +ев)~' ~ дО д ОО + Окончательно, ограничившись в выражениях для е„, ев и 7,в линей- ными слагаемыми, получим ди . дв и, ди дв в е„= — ', ев= — + —; ага= — + — — —.
(2.21) дг гдО г ' гдО дг г Для изотропного тела закон Гука в любой ортогональной системе координат имеет тот же вид, что и в декартовой системе координат. Например, в случае плоского напряженного состояния, изменив только индексы в формулах (2.2), можно записать Е ог = — (е„+ Рев); 1.~2 ав = — (ее+ Рег); Е (2.22) р2 Е ! — и тгв = Угв ] рЗ Я Аналогично преобразуются и все другие ; "исимости, свызывающие компоненты деформаций с компонентами напряжений в плоской задаче теории упругости. 48 Рассмотрим напряжен~~ состояние, обладающее полярной симметрией' при т,о = О, В этом случае напряжения о„и оо могут изменяться только по радиусу г.
Первое уравнение равновесия (2.20) принимает вид ов — (го„)' — — + рк„= О, Г г (2.23) В ~ 2.2 приведены примеры решения плоской задачи в напряжениях; для рассматриваемой задачи построим решение в перемещениях. Для этого, использовав зависимости (2.22) и (2.24), выразим напряжения через перемещения: о„= — и'+ 1ь— (2.25) Подставив эти выражения в уравнение равновесия (2.23) получим одно уравнение с одной неизвестной функцией и = и (г): Последнее уравнение можно записать и так: с 1,1 1 — рз — (иг)'~ = — — рд,, г После двукратного интегрирования и = С, г+ — ' — — г:" рд„с(гсвг, (2,27) где постоянные С1 и Сз определяются из граничных условий.
После определения перемещения и = и (г) по формулам (2.25) находят значения напряжений. Отметим, что после замены величин Е и 1ь на Е и р, с помощью выражений (2.13) решение, полученное сейчас для плоского напряженного состояния, дает решение для плоского деформированного состояния. * Строго говоря, в общем случае напряженного состояния, обладающего полярной или осевой симметрией, возможно т,о —— т,е (г); пример такого рода напряженного состояния дан в конце параграфа. Однако, когда говорят о полярной или осевой симметрии напряженно-деформированного состояния, обычно имеют в виду рассматриваемый здесь случай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
