balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 10
Текст из файла (страница 10)
где.штрихом обозначено дифференцирование по г; объемная нагрузка рд, изменяется только по радиусу г. Второе уравнение равновесия будет тождественно удовлетворено при рпо = О. Для изотропного тела любая симметрия напряженного состояния означает такую же симметрию деформированного состояния, т. е. в нашем случае и =- и (г), и = О, у,н = О и из формул (2,21) следует е„= и', ев = и~'г. (2.24) Соответствующие эпюры показаны на рис.
2.8. Аналогично определяют перемещение и= и (г) и распределение напряжений и при других граничных условиях в кольцевом диске. В качестве второго примера использования общего решения (2.27) прнведемзадачд./7аме определения напряжений и перемещений в толстостенной трубе, нагруженной постоянным по ее длине внутренним давлением р1 и внешним давлением р2. Вначале примем, что торцы трубы зафиксированы в осевом направлении и е, = О.
т. е. примем, что труба находится в условиях плоского деформированного состояния, рассмотренного в ~ 2.1. Тогда' решение, полученное для плоского напряженного состояния, после замены Е и р на Е и р по формулам (2.13) даст решение рассматриваемой сейчас задачи, Учитывая, что объемные нагрузки отсутствуют, из выражения (2,27) получим и = С1 г+ Сз/г, а из формул (2.25) находим Введя новые произвольные постоянные Е . Е А= — С;А= —, — ь г— 1-Р, 1+1 ' можем записать и = — ~А1 (1 — 2р,) г+ — ~ 1+1~ Г А~ 1 Е 1 г (2.30) и а„= А, — Аз / с'; оа = А1+ А2 / ~'.
(2.3!) Причем из закона Гука и условия е, = 0 следует о,= 2иА,. Постоянные А1 и А2 определяют из силовых граничных условий ог («1) Р1 н ог (га) Р2' А =. Р'" "' Р'; А,= 1 — г~/«~2 1 — «1(г*, где г, и г2 — соответственно внутренний и внешний радиусы трубы. В итоге получаем законы распределения перемещений и напряжений по толщине стенки трубы, причем напряжение о, постоянно и при неподвижных торцах о * Р1 г~~/г~~ — Р « 6~ =2р, 1 †«/г~ Зто решение справедливо и в том случае, если торцы трубы не зафиксированы в осевом направлении, а нагружены постоянным давлением р3 = — о3, где напряжение ое определено последней формулой. Если же постоянное давление на торцах трубы р, = р~ + Лрз, то значения И напряжений о„и аа по-прежнему определя|отся формулами (2.31), а осевое напряжение и радиальное перемещение соответственно равны = оа — Арз', о и= — ~А,(1 — 2р,) г т — ~+ — абраг.
1+р, Аа1 р Е Е В частности, при Лр, = о', получим решение для трубы со свободными торцами. Заметим, что приведенное решение в соответствии с принципом Сен-Венана описывает напряженно-деформированное состояние в длинной трубе с произвольно загруженными торцами, если только нагрузка на торцах статически эквивалентна осевой силе. Вернемся к общим уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки од, и ров равны нулю. В 5 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармоническаго уравнения (2.8); при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод Рис.
2.9 этих соотношений можно повторить и в по- лярных координатах, но делать это не обязательно: достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так: (2.32) Функция напряжений ф в полярной системе координат связана с напряжениями зависимостями 1 д<р 1 даф. д'ф д ( 1 дф~ сгг = — — + — —; ое = — ', т,а = — — ~ — — ~ . (2.33) г дг га два ' дга дг ~ г д6~ При рд, = О и рде = О эти зависимости обеспечивают тождественное удовлетворение уравнений равновесия (2.20). Аналогично преобразуются и граничные условия при переходе к новой системе координат.
Решение бигармонического уравнения (2.8) в полярной системе координат пронллюстрируем одним простейшим примером. Для кольцевой области (рис.2.9) зададим функцию напряжений ф = СО. Нетрудно, проверить, что выбранная функция удовлетворяет.бигармоническому уравнению в полярных координатах. Согласно зависимостям (2.33) этой функции соответствует поле напряжений ог — — О, па =О, тга — — С/г .
б2 Из закона Гука как для плоского напряженного, так и для плоского деформированного состояний имеем 2(!+р) С , = о., = о, гВ Е Тогда для определения перемещений из формул (2.21) получим уравнения ди и 1 до 1 ди до о 2 (1+и) С вЂ” =-О, — + — — =О, + дг ' г г дО ' г дО дг г Е га Отсюда, положив для определенности о (г,) = О, придем к такому результату; и= О; На рис. 2.9 этот результат изображен графически $2А. Осесимметричный изгиб круглых пластин г В основе технической теории пластин и оболочек, используемой при ;;:.' расчете тонкостенных элементов конструкций, лежат два важных упрощающих допущения — гипотезы Кирхгофа. С этими допущениями !' мы познакомимся на примере задачи об осесимметричном изгибе круг- 1 лой пластины постоянной толщины — одной из самых простых задач ;.'-„теории пластин.
Отнесем тонкую круглую пластину к цилиндрической системе координат, направив ось г по оси вращения и поместив начало координат посредине толщины й (рис. 2.10). Пластина нагружена поперечными силами, приложенными симметрично относительно оси и; закрепление контура пластины также осесимметрично. Для исследования напряженно-деформированного состояния пластины, вызванного ее поперечным изгибом, используем упрощающие допущения теории пластин и оболочек. Первое допущение, илп г и и о т е з а н е и з м е н н о с т и н о рм а л е й, носит кинематический характер: все материальные элементы пластины, до деформации перпендикулярные ее срединной плоскости, после деформации остаются прямолинейными и перпендикулярными искривленной срединной плоскости, а длины их не меняются. Второе допущение, или гипотеза непадавливания с л о е в, относится к напряженному состоянию пластины: нормальные наприаения о, в площадках, параллельных срединной плоскости, пренебрекимо малы по сравнению с нормальными напряэюениями в площадках, перпендикулярных срединной плоскости.
Задачу изгиба пластины рассмотрим в линейной постановке, т. е. прогибы пластины будем считать малыми по сравнению с ее толщиной, уравнения равновесия составим для недеформированного элемента пластины, а в выражениях для относительных удлинений ограничимся линейными слагаемыми. При такой постановке задачи можно считать, чтоточки срединной плоскости пластины получают только перемещения гг = ги (г) в направлении оси и, а срединную плоскость принять нерастяжимой. Геометрические соотношения, описывающие деформацию пластины, нетрудно получить,.опираясь на первое допущение.
В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть деформацию одного радиального сечения пластины (рис. 2.11, а). Проследим за перемещением материаль- ногоэлементаАВ, додеформации перпендикулярного срединной плоскости пластины. После деформации (рис. 2.11, б) этот элемент, оставаясь в плоскости сечения, повернется иа угол д и займет положение а) Рис.
2.11 Рис. 2.10 А,В~. Поперечные перемещения в (и) малы, поэтому угол наклона касательной к искривленной срединной плоскости можно принять равным ы'. Тогда из первого допущения следует (2.34) (2.35) Воспользовавшись зависимостями (2.24), находим величины относительных удлинений: с з„= и = — г~г, ии = и ! г =- — где. (2.36) Заметим еще, что гипотеза неизменности нормалей эквивалентна допущению, что углы сдвига у„, = О по всей толщине пластины. Формально это следует из выражений (1.17), (2.34) и (2.35): дги ди у = — + — =в — д — О. г* дг дг (2.37) где штрихом обозначено дифференцирование по г. Поскольку в соответствии с первым допущением длина элемента АВ не изменяется и угол 6 мал, точка В перемещается в радиальном направлении на величину (.вязь между внутреннимй силовыми факторами в пластине и пеемещениями точек ее срединной плоскости устанавливают с помоью второго основного допущения.
Считая материал пластины изотропм и подчиняющимся закону Гука и положив на основании гипотезы иенадавливания слоев О, = О, найдем связь между напряжениями „ав и относительными удлинениями в„, вв по формулам (2.22) для ' лоского напряженного состояния. С учетом зависимостей (2.36) олучим бр= г — ~д +~2— 1 — рЯ 1, г)' (2.38) пв= — г — ~ — +Ф' . 1 — ф~г '3 силу симметрии задачи т,в =- О. Нормальные напряжения, линейно распределенные по толщине, 'статически эквивалентны изгибающим моментам в сечениях пласти'ны.
В теории пластин и оболочек пользуются значением интенсив- ::ности этих моментов, т. е. отношением момента к длине сечения (обыч;но интенсивности моментов называют просто моментами). В окружном ,.аеченин (рис. 2.12) изгибающий момент + Л/2 + Л/2 М~ — — — о, гйг = — ~б'+ р, — ) г2 Й = рЯ г Л/2 — Л/2 ~: За положительное направление момента М„выбрано направление, ~ соответствующее положительным значениям величин д и б'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
