balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Основная цель настоящей главы — на простых-примерах познакомить читателя с гипотезами Кирхгофа — Лява, используемыми в большинстве остальных разделов книги. Кроме того, в этой главе рассмотрена плоская задача теории упругости и принцип Сен-Веиаиа. $2Л. Плоское напряженное и Плоское деформированное состояния Напряженное состояние тонкостенных конструкций обычно близко к плоскому напряженному состоянию. Например, когда пластина постоянной толщины 6 нагружена контурными силами, равномерно распределенными по толщине (рнс.
2.1, а), на обеих ее наружных поверхностях компоненты напряжений а, = т„, =- тт„—— = О. Естественно предположить, что они равны нулю и по всей. толщине пластины. Для тонкой пластины, кроме того, можно предположить, что компоненты напряжений и,, и,, т,„, параллельные плоскости пластины, постоянны по ее толщине; такое напряженное состояние и называют плоским (рис. 2.1, б). Общие уравнения равновесия (1.32) в случае плоского напряженного состояния сводятся к двум уравнениям (1.33), где Х и г' в данном случае — объемные нагрузки, равномерно распределенные по координате г (объемная нагрузка 2 = 0). Все входящие в уравнения (1.33) величины постоянны и о координате г, поэтому толщина Й слоя, в котором Рис. 2.1 Для изотропного упругого тела при плоском напряженном состоянии нз закона Гука (1.45) имеем 1 ех хх — (΄— рпу); 1 еу (оу Рох)1 2 (1+1~) уху = тхуэ Е (2.1) или, если напряжения выразить через деформации, Е ~х у (ах+ Реу)1 рй о„= — (е„+ це„); Е (2.2) ~~й Е (1 — р) т у 1 — )Р 2 7ху.
При линейной постановке задачи нужные нам компоненты деформаций выражаются через перемещения и, о по формулам (1.17): ди . ду ди ду е =- — ' е =- — ' ~ = — + —. х д У д У д (2.3) Таким образом, получено восемь независимых уравнений (1.33); (2.1); (2.3), содержащих восемь неизвестных функций и; и; е, е„; у„у; о„; ау; т„„. При заданных нагрузках и граничных условиях все эти неизвестнйе функции могут быть найдены.
.' )реализовано плоское напряженное состояние, в дальнейшее решение не входит, и всюду, где это не оговорено, Й = 1. Задача определения а„, оу, т у, в общем случае плоского напряженного состояния остается статйчески неопределимой; для ее решения следует дополнительно учесть зависимости, связывающие эти компоненты напряжений с соответствующими компонентами деформаций, и зависимости, связывающие компоненты, деформаций с перемещениями. Рис.
2.2 На контуре той области, для которой решается рассматриваемая задача, могут быть заданы как геометрические, гак и силовые граничные условия. Так, например, на части з, контура, где запрещены перемещения (рис. 2.2, а), имеем геометрические граничные условия: и = ==О, о= — О. На незакрепленной части з, контура силовые граничные условия выражают условия равновесия прилегающего к контуру злемента (рис. 2.2, 6). Условие равновесия в проекциии на ось х дает о„сЬсозр + т„о дзз1пр = р,Йз+ Х вЂ” (~Ь созр) (дзз1пР), ! где р' — угол между осью х и нормалью п к контуру. Второе слагаемое в правой части равенства должно быть отброшено, как имеющее высший порядок малости.
Условие равновесия в проекции на ось у приводит к аналогичному уравнению. Окончательно, как частный случай силовых граничных условий трехмерной задачи (см. 2 1.3), полу- чаем о„соф + т„„з1п~ = р,; т,„созр + с„ь1пр = р„, (2.4) где Р„, ро — компоненты контурной нагрузки.
Дальнейшее решение можно вести двумя путями: выбрать в качестве основных неизвестных перемещения (решение в перемещениях) или напряжения (решение в напряжениях). В первом случае, выразив в зависимостях (2.2) компоненты деформаций через перемещения из системы (1.33) получим два уравнения с двумя .неизвестными функциями и = и (х, д) и о = о(х, у): д'и + ! — и д'и + !+и д'о + (1 — ') Х =О' дх' 2 ду~ 2 дхду Е д'о + ! — и д'о + !+и д'и +(1 ~) 1' О (2.5) ду~ 2 дх' 2 дхду Е Силовые граничные условия (2.4) следует тоже выразить через производные функций и и о. Когда задача решается в напряжениях, при постоянных объемных инерционных нагрузках Х = р д'„У' = о ду обычно вводят функцию напряжений «р (функцию Зри) с помощью соотношений д2«р др дз«р «т = — хрд о = — — урд,; т = — —.
(2.6) д з Д у х д д х д Тогда, как нетрудно проверить, уравнения равновесия (1.33) будут тождественно удовлетворены. Из уравнений (2.3) исключим функции и и о. Для этого первое из этих уравнений продифференцируем дважды по у, второе — дважды по х, третье — один раз по х и один раз по д. Вычитая из суммы двух первых уравнений третье, получим условие совместности дефорлса«(ий (2.7) Используя закон Гука (2,1) н соотношения (2.6), можно выразить это условие совместности деформаций через функцию напряжений «р: (2.8) Итак, мы получили одно уравнение относительно одной неизвестной функции напряжений ср = ср (х, ц). Полученное уравнение называется бигармоническим; обычно оно записывается в такой компактной форме: Рсфср = О,' (2.8') где использован дифференциальный оператор Лапласа д (*) д' (') дха ду' При решении уравнения (2.8) заданные на контуре граничные условия следует выразить через функцию напряжений ср.
(2.9) Рассмотренное сейчас плоское напряженное состояние в телах конечной толщины может быть точна реализовано только в ряде частных случаев. Например, если пластина постоянной толщины (рис. 2.!, а) нагружена в своей плоскости постоянным гидростатическим давлением р, то независимо от толщины пластины в ней действительно реализуется плоское напряженное состояние: о„= — р; ау — — — р;ту — — О; «г = О; т„х = О; тух = О ех — — — (1 — !с) р!Е; еу — — — (! — !«) р«Е; уху — — О; ех —— 2РР«Е! тхх — О» туг = О. В данном случае рещение, полученное по уравнениям теории плоского напряженного состояния, полностью совпадает с точным решением трехмерной задачи теории упругости.
Однако в общем случае зто не так. Можно показать, что в пластине постоянной толщины, нагруженной произвольно изменяющимися по контуру нагрузками, напряженное состояние тем больше будет отличаться от плоского напряженного состояния, чем толще пластина и чем резче изменяется напряженное состояние в плоскости пластины 1251. йсли толщина пластины перемеина, то, «ак легко видеть, напряженное состояние в ней.тоже не будет плоским; Но для тонких пластин, в том числе и для пластин с плавно изменяющейся толщиной, теория плоского напряженного состояния дает, как правило, достаточно точные для практики результаты. Рассмотрим теперь изотропное цилиндрическое тело произвольного поперечного сечения (рис. 2.3, а).
Будем считать, что на торцах запрещены перемещения и, ио не стеснены перемещения и и о. Нагрузки на боковой поверхности удовлетворяют следующим требованиям: р, =- 0; р, и ря произвольны, но одинаковы в каждом поперечном се- Рис. 2,3 чеиии. Аналогичным требованиям удовлетворяют и объемные нагрузки: Я = О, Х = Х (х, у), У = 1' (х, у).
Кроме того, внешние нагрузки предполагаются самоуравновешенными. Поскольку по условиям задачи торцовые поперечные сечения остаются плоскими и не смещаются в продольном направлении, то в силу симметрии среднее поперечное сечение тоже останется плоским и неподвижным. Из тех же соображений симметрии следует, что поперечные сечения, делящие пополам каждую из половин цилиндра, тоже остаются плоскими и не смещаются в продольном направлении, и т. д.
Следовательно, все поперечные сечения оказываются в одинаковых условиях и в каждом из них перемещения в = О, и = и (х, у) и и = и (х, у). Поэтому во всем рассматриваемом теле выполняются условия, вытекающие из формул (1.17): 6 =8 (х, д); 8~ =аз (х, у); у я~у~я(х,у1; аь = 0» ухг 01 7уг — О. (2.10) Деформированное состояние, подчиненное этим условиям, называют плоским деформированным состоянием. Для дальнейшего исследования плоского деформированного состояния достаточно рассмотреть один слой единичной толщины, выделенный из тела двумя поперечными сечениями (рис.
2.3, а). Из закона Гука и условий (2.10) следует о„= о„(х, у); и„=- а„(х, у); т„, =- т,„(х, у); и =р,(о„+оп); т„=О; ти =О. Это напряженное состояние, соответствующее плоскому деформиро- ванному состоянию, показано на рис. 2.3, б. Общие уравнения равновесия (1.32) в случае плоского деформиро- ванного состояния тоже сводятся к двум уравнениям (1.33). Закон Гука в случае плоского деформированного состояния дает 1 ! рй/ а = — (а — ро — ра)= — ~а — — а 1 х Е х У е Е ~ 1 У ау = — (а„— ра,— ра,) = — ~ау — — а„; (2.11) 1 — р, 2 (1+р) 7ху ~ . тху и о,= (1 — р) Е ( р.
Ъ+ ау (1+р) (1 — 2р) (, 1 — р (2.12) (1+р) (1 — 2р) ~ 1 — р, Е 2 (1+р) Необходимые для решения компоненты деформаций, как и в случае плоского напряженного состояния, выражаются через перемещения по зависимостям (2.3). Итак, для решения задачи о плоском деформированномсостоянии мы получили. снова восемь уравнений (1.33), (2.3), (2.11) с восемью не- известными функциями.
Граничные условия для этой системы уравне- ний формулируются аналогично тому', как это было сделано для плос- кого напряженного состояния. 'Покажем, что при постоянных объемных нагрузках Х = рд', и У = = руу решение задачи о плоском деформированном состоянии в на- пряжениях сводится к решению того же бигармонического уравнения (2.8), к которому была сведена задача о плоском напряженном состоя- нии. Действительно, уравнения равновесия и зависимости, связываю- щие компоненты деформаций а„, еу, 'у„у 'с перемещениями и и а, в этих двух задачах полностью совпадают; различие между ними заклю- чается только в зависимостях закона Гука, связывающих компоненты деформаций с компонентами напряжений. Преобразуем формулы (2.11) и (2.12), введя новые обозначения: Е = Е / (1 — р'); р = р / (1 — р). (2.13) Тогда, как легко проверить, получим а,== (о,— рау)', Е 1 ау = = (ау рах) Е 2 (1+ р) уху тху Е (2.14) Сравнивая эти зависимости с зависимостями (2.1) и (2.2), видим, что задачу о плоском деформированном состоянии можно трактовать и как задачу о плоском напряженном состоянии, но для материала с другими упругими свойствами: модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона р.
Так как в уравнение(2.8) упругие свойства материала не входят, то оно остается справедливым и для плоского деформированного состояния. Если задачу о плоском деформированном состоянии решать в перемещениях, то мы снова придем к системе уравнений (2.5), ио только вместо величин Е и р, в ней будут фигурировать Е и р, Полная аналогия уравнений задач о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях позволяет при построении общих решений объединить их в одну плоскую задачу теории упругости. в 2.2. Обратная задача теории упругости. Принцип Сен-Венана В теории упругости различают прямую и обратную задачи.
П р ям о й называется задача, в которой при известных форме, размерах и упругих свойствах тела требуется по заданным нагрузкам и условиям закрепления определить напряженно-деформированное состояние. В о б р а т н о й задаче, наоборот, при известных форме, размерах и упругих свойствах тела требуется найти нагрузки и условия закрепления, соответствующие заданному напряженно-деформирован-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
