balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(1.29) Это условие должно быть справедливо для любых возможных пь ремещений. Из него можно получить дифференциальные уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и граничные условия на поверхности. Для этого нужно воспользоваться формулой интегрирования по частям тройного интеграла: ср — с(х с(у й = срф/с15 — $ — ~ с1х с1у с(г.
(1.30) Здесь тройные интегралы берутся по объему тела, ограниченному поверхностью Б, а двойной — по этой поверхности. Величина 1 — косинус угла, образованного внешней нормалью к поверхности и осью х. При этом 1 с(Я = с15„, — проекция площадки с15 поверхности на плоскость уг. Аналогичные зависимости имеют место, если в левой части уравнения вместо дф/дх стоят производные дф/ду или дскб/дг. Тогда вместо 1 в формулу подставляют величину т или и, а вместо дс~/дх — величину дср/ду или дср/дг. Формула (1М) позволяет преобразовать выражения для ЬЛ. Интегрируя по частям и группируя слагаемые с одинаковыми множителями, получаем уравнение ЬА = ) ) 1(о„1+тд„т+т„п) би+(т„,1+ ад т+т„п) бо+ + 1+ + б оо да дт „дх,„ =Ьй,+Щ. (1.31) Составляющие работы внешних сил М, и Ыг выражаются формулами (1.25) и (1.26), Так как вариации би, би, бы внутри объема тела произвольны, то из уравнения (1.31) следует, что должны быть равны соответствующие множители при Ьи, бо и бы в ыражениях, стоящих под знаками тройных интегралов в левой н правой частях этого уравнения.
Следовательно„ дх дд дх — "" + — "+ — '" +У=О; (1.32) дх ду дх — "* + — "* + ~' +Я+О. дх ду дх Это — дифференциальные уравнения равновесия элемента тела. Приравнивая соответствующие множители при би, бо, бы в двойных интегралах выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения (1.31), получим силовые граничные условия на поверхности тела: о„1+ т„„т+ т,„п = р,; т„„1+ а„т + т,„п = р„; тх*1+ ту Р~ + о Ф = Рх На участках поверхности, где приложены силы реакций неподвижных опорных связей, могут иметь место или геометрические граничные условия (и = и = а = О), если опорные связи полностью запрещают перемещения, или смешанные граничные условия, если опорные связи препятствуют перемещениям только в одном или двух направлениях. В каждом частном случае эти граничные условия нетрудно составить. Всего в каждой точке поверхности тела должно быть три граничных условия.
Если, например, опорные связи препятствуют только перемещениям в направлении оси г, то соответствующие граничные условия можно записать так: и~= О; а„.1+т „т+т,„п= р„; т„.ц1+ацт+т,цп= р„. На поверхности илн на ее части могут быть также заданы перемещения и„о„, ы„. В этом случае натой же части поверхности би = би =- бы =- = О. -'"-'-д~ ду хф дх ах — сх аб ах Мд Ю д б+— да- да гт: ~, Ьу Рас.
1.8 Рас. 1.9 приложены напряжения с приращениями. Возьмем проекции всех сил, соответствующих напряжениям, а также проекции объемных сил Х, 1' и Л (рис. 1.9) на ось х: — п„дуда+ и„+ — "дх дуда — т„„дгдх+ дх + т„,.+ "' ду)дгдх — т,„дудх+Ь,„+ д™ дг дудх+ дд / дх +Хдхдудг=О. Разделив каждое слагаемое этого уравнения на объем, получим дх ду дх Это — первое из уравнений равновесия (1.32). Таким же путем получаются второе и третье уравнения. Они соответствуют проекциям сил на оси у и г.
Граничные условия можно также получить, рассматривая равновесие элемента тела. Представим поверхность„ наклоненную к осям х, у, г (см. рис. 1.3), граничной, на которой заданы поверхностные нагрузки р„р„, р,. Составим уравнение проекции суммы сил, действующих на элемейт, на ось х. Очевидно, что полученное уравнение будет соответствовать первому уравнению системы (1.2), ' где Х„= р„. Второе и третье уравнения получаются, если проделать ту же операцию с силами для осей у и г при У„= рд,, Л„= р,. Уравнения (1.32) могут быть получены иначе.
Рассмотрим параллелепипед, вырезанный из тела (рис. 1.8). Размеры параллелепипеда вдоль осей координат х, у, г обозначим дх, ду, дг. В плоскости, совпадающей с координатными осями х и у, действуют напряжения о„ т,„, т,„, в плоскости хг — напряжения и„, тд„, т„„в плоскости уг— о,, т,„, т„. К остальным граням параллелепйпеда, видным на рисунке, Система уравнений (1.32) для трехмерного тела упрощается, если о, = =т,„=т,г=ОиЕ=О, т.е.
при условии равновесия тела в д в у хосном напряженном состоянии: — "+ — "* +Х=О; дх да — "" + — '" +'г'=О.. дх ду Уравнения равновесия элемента тела в цилиндрической системе ко- Рис. 1.10 ординат получают, как и для элемента в прямоугольной системе, основываясь на принципе возможных перемещений или суммируя все силы, действующие на элемент, иа три взаимно перпендикулярных направления (рис.
1 ° 10): дт 1 да - дт 2т ~' + + ~'+ ~'+)го О' дг г да дг г (1.34) д г,„1 д'г~о дг г дв дг г где Х„, )га, Е,— объемные составляющие нагрузки по радиусу, по касательной и вдоль осн цилиндра. 5 1.4. Упругое поведение деформируемых теп дУе дУо дУо и = — 0'- = — т = — э Ж > О Э'''1 ЕХ дах дну дую Для деформирования твердого тела всегда необходимо затратйть некоторую энергию. Поэтому функция Уо = Уо (е„, е„, ..., у, ) является положительно определенной, т.е.
при,л1пбых не равных нулю величинах в, ег, ,, у,„ выполняется услбщщ7Й'-:5И% -. ,~ Р т У т" --, е .р.,: Отличительной особенностью упругих тел является обратимость процессов деформирования. Считается, что в упругой области полностью отсутствуют остаточные деформации, т.
е. работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации. Так как деформации е, ег, ... у,„являются обобщенными перемещениями для напряжений а„, од, ..., т,, то в соответствии с определением потенциальной энергии в механике назовем удел ь н о й потев ц и ал ьн о й э н е р г и е й дефо р м а ц и и упругого тела такуюфункцию Уо =По (е„е„, ..., у,„), которая обладает свойством ЕСе)и ФУНКЦИЯ «)6 ~рЯМо НЕ йаннент От КООРДИНат М, и, Ег тО УНРУГОЕ тело называется о д и о р о д н ы м. Зависимость напряжений от деформаций в таком теле будет одинаковой для всех точек тела. Соотношения (1.35) можно рассматривать как математическую формулировку свойства упругости.
Зависимости между напряжениями и деформациями, определяемыми этими формулами, могут быть нелинейными. Однако в упругих телах при малых деформациях, можно, как правило, ограничиваться рассмотрением линейных зависимостей между напряжениями и деформациями. Тела, для которых справедлива линейная связь между напряжениями и деформациями, называются л и н е й н о - у п р у г и м и телами или телами Гука.
ля линейно- и гого тела ельна иаланая энергия выра. жается в фо ме одно одного ква атичного полинома независимых пе нных — де рмаций в е В общем виде ез учета температурных деформаций удельную.потенциальную энергию линейно-упругого тела можно записать в форме 1 Уо = 2 (ам аь + азз еу + аз,е, + а447 у + аьь7„» + + а667»х + 2а12 ех еу -'Г. 2а1з ех е» + 2аььех 7ху +2а«ь ах7у»+ + 2а«ье 7 х + 2азз еу е + 2азьеу 7 у + 2йзьеу 7у + + 2азьау 7*х+ 2аз4 з»7ху ) 2азь е»7у + 2азь а»7» + + 2а4,7„„7у»+ 2а4,7ху 7,х+ 2аьь 72,7,х), (1.36) где ам, а,з, ..., аьь — коэффициенты, зависящие от упругих свойств тела.
Для однородного тела это константы. В. общем случае число коэффициентов упругости равно 21. На основании формул (1.35) получим в матричной записи (о) = = «Н (е), или в развернутом виде 1::! а 21 а«заьь а«4аьз аиз «122 а22 а24 азь а2 азз ««64 азь азь а'44а46 а46 Симм . а„аьь 66— а пх илу о» тху ту» ~»х ) Симметрия матрицы коээффициентов а«ь вытекает из условия существования потенциальной функции «.)6 1см.
выражения (1.35); (1.36)1. Следовательно, для любого линейно-упругого тела связь меядд напряяениями и деформациями долина выраматься симметричными формулами или, точнее, с помощью симметричной матрицы коэффициентов. Такое тело называется л и ней н о- у и р у г им ан из о т р о п н ы м. Существует соотношение между деформациями и напряжениями для анизотропного тела: (е) = Ы1-' (о) = (С1 (а). (1,38) Развернутая форма этой зависимости имеет вид СМ Сгз Сзз С44 С14 С\в Сзз Сзз Сзв Сзз Сзв Сзз Сзв Сзз Сзв С44 Свв Свв СИММ.
Свз Свв свв Зз ЯУ зх 7зУ 7Уз 7~х (1.39) тху ~Уг тлх Когда аннзотропное тело обладает упругими свойствами, симметрнчнымн относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, оно называется о р т о г о н а л ь н о - а н и з о т р о п н'ы м или о р т о т р о п н ы м. Пусть координатные оси х, у, г направлены по линиям пересечения плоскостей симметрии упругих свойств. Тогда симметричнымн относительно координатных плоскостей будут компоненты тензоров напряжений и деформаций а„, ау, о„е„, еу, е„кососимметричными — касательные напряжения т,у, ту „т,„и соответствующие им деформации сдвига 7,у, 7у„7„. Следовательно, для ортотропного тела при принятой системе координат в формулах (1.37), (1.39) коэффициенты, связывающие нормальные напряжения с деформациями сдвига и касательные напряжения с деформациями удлинения, обращаются в нуль.
В силу симметрии упругих свойств тела относительно координатных плоскостей должны также отсутствовать коэффициенты, связывающие деформации сдвига в одной координатной плоскости с касательными напряжениями, действующими в других координатных плоскостях. Таким образом, для ортотропного тела закон Гука имеет форму ох оу оз т.~у ~Уз гзз 1 азза„а1з 0 0 0 аззаззазз 0 0 0 аз1аззазз 0 0 0 О 0 Оа4400 0 0 0 ОаввО О О О О Оавв (1.40) 7зУ 7Уз Ьз 3 Прн этом и,1 = а,з, 'азз — — азз; а„= аз,; Отсюда видно, что закон Гука для линейно-упругого ортотропного тела содержит девять независимых констант упругости.
Эти константы можно определить по результатам испытаний на растяжение и сдвиг элементов упругого тела. Для плоского напрхюгнного соспгояная соотношение (1,40) упрощаютСя. КОГда Оз = т, = т,у — — О, МатрИЧНая ЗаПИСЬ (О) = Ю)(Е) В развернутом виде выглядит так: а„д,з И,з 0 е„ о„= язв 4(зз 0 еу т„у 0 0 авв 7„у Число независимых констант здесь сокращается до четырех: а4, а12= = дм, а1,; а22, которые зависят от коэффициентов а1 ... а„. Матрица констант может быть выражена через технические характеристики материала; модули упругости Е, и Е2 вдоль осей х и у, коэффициенты Пуассона р,~, р„и модуль сдвига 6,2.' 0 р12 Рм 0 ! — Рм Рм Е1 р12 РЗ1 рз, Е~ (1.41) 1Х)) = Ри Рм Коэффиценты р,~ и р2, определяют по результатам испытаний на растяжение образцов, вырезанных вдоль осей х и у, и соответствуют поперечному укорочению сечения. Изотропное линейно-упругое тело обладает одинаковыми механическими свойствами во всех направлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
