balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Зависимости между напряжениями и деформациями для него можно представить в виде матрицы Л+26 Л Л 000 Л+26 Л 000 Л+2600 0 600 Симм. 60 6 !1.42) 101 = где Л = р Е / ! (1 + р) ( 1 — 2р) 1 — коэффициент Лиме'„Š— модуль Юнга; р — коэффициент Пуассона; 6 = Е! !2 (1 + р) ! — модуль сдвига. Связь деформаций с напряжениями в этом случае имеет вид (1.38), где — р — р, 0 0 Π— о о о 1 0 0 0 2(!+р) О О 2(1+ р) 0 2(1+р) 1С1 =— (!.43) Симы С учетом эффекта теплового расширения соотношения упругости для изотропного линейно-упругого тела принимают вид Я = (С) (о) — (го)> (1.44) ,где вектор (зо) = а (1 — й) (1 1 1 0 0 0)г; й — температура, при которой тепловые деформации считают равными нулю; г = 1(х, у, г) — рассматриваемая температура тела; а — температурный коэффи- циент линейного расширения.
Для тонкостенных конструкций, напряженное состояние которых . 'близко к плоскому, соотношение (1.44) упрощается: е„1 — р, 0 в„ 1 е р, 1 0 ое +~х (1 — /о) 1 (1.45) у„е О О 2 (1 + р) т„„ О Обращенная зависимость имеет вид. (Угг е 1 1$ О ех ое =- —,, р, 1- 0 е„ т„„О О (1 — р,)/2 у„, Однородное изотропное нелинейно-упругое тело имеет одинаковые во всех направлениях упругие свойства. Следовательно, выражение удельной потенциальной энергии через компоненты деформаций е, ее, ..., у,„не должно зависеть от координат х, у, г. Это означает, что в формулу для удельной потенциальной энергии изотропного тела должны входить только инварианты тензора деформаций.
В общем случае потенциальная энергия должна выражаться через три инварианта /1, ./е,,/, или их комбинации. В случае малых деформаций можно считать, что удельная потенциальная энергия изотропного упругого тела зависит только от квадрата первого инварианта тензора деформаций ./г, = (е„+ ее + е,)' и второго инварианта девиатора деформаций (1.20). В дальнейшем вторые инварианты девиаторов напряжений и деформаций будем обозначать соответственно У (о) и / (е): ./(и) = Х, + — /1 = — 1(а,— сг„)е+ (о„— пг)'+ +(о,— а„)'+ 6 (т„'„+ т~,+т,',)1; (1.47) ,/(е) = — (е„— ец)е+(ее — ег)е+ (е, — е„)'+ — (у.',„+ у~„+у' ) . Эти инварианты не зависят от значений среднего напряжения ае = = ./1 (о) /3 и средней деформации ее =,/, (е) /3.
При равномерном гидростатическом- давлении, когда / (а) = / (е) = О, большинство конструкционных материалов деформируется как линейно-упругие тела, вплоть до весьма высоких значений напряжений. Поэтому удельную потенциальную энергию нелинейно-упругого изотропного тела можно представить в следующей общей форме: К = а /1 (е) + / У ( е) 1, (1.48) где и — константа; / У (е) 1 — функция аргумента /.
Так как дl, юг дУ, де, дее дег дГ д1 . д / — = ег — ее1 = Е» — Ее1 =ег (1.49) дУ 1 дУ 1 , дУ 1 дуге 2 дтег 2 дт,„ 2 то, обозначая — = /', получаем: д/ ах = 2а/1 + (е„— ео) /"; тху —— 7ху /'/2; оу — 2а/1 + (еу ео) / г тух = 7уг / /2> 9, =- 2а./, + (е х — ео) /'; т.х = 7,х /'/2. Здесь, как и раньше, е =- (е, + еу + е,) / 3 = /1/3. Складывая уравнения (1.50) для о„, ау, п„получаем ох + оу + а, = ба (е + еу + е,). (1.51) Но е„+ еу + е, есть относительное изменение объема элемента тела. Для гидростатического давления р, когда а„+ пу + а, = — Зр, из формулы (1.51) следует р = — 2а ЛВ'/у". Обозначим через К модуль упругости для объемной деформации.
Тогда р = — К Л1//У; а = К/2. (1.52) Из уравнения (1.51) получаем ао К (ех + еу + ее) — ЗК ео. (1.50) и, следовательно, 2а/, =-- К (е„+ еу + е.) = ао. Теперь уравнения (1.50) можно представить в виде ех — е, еу — ео ех — ео У„у/2 7ух/2 У,„/2 Эти соотношения устанавливают подобие девиаторов напряжений н деформаций.
Если обозначить / = — = 26 (/), уравнения (1.53) можд/ но' представить еще в такой форме: ах — ао = 26(/) (ех — ео); тху = — 6(/) 7ху,' оу — оо = 26 (/) (еу — ео)' 'гу г = 6 (/) 7у х' (1 54) ох ао = 26 (/) (ех ео)1 тгх = 6 ('/) 7гх. Зависимость 6 (/) можно определить по результатам испытаний образцов материала на чистый сдвиг, например испытаниями па кручение тонкостенных труб. Зависимости (1.53) и (1.54) являются общими для всех изотропных материалов, потенциальную энергию которых можно представить уравнением (1.48).
ф $.$. Принцип минимума полной потенциальной энергии При формулировке условия равновесия в вариациях (1.29) не делалось никаких предположений о законах деформирования тела и характере зависимости внешних сил от перемещений. Поэтому уравнение (1.29) справедливо для любого сплошного тела, нагруженного системой произвольных объемных и поверхностных сил. Для упругого тела, нагруженного консервативными внешними силами, можно ввести понятие и о л н о й п о т е н ц и а л ь н о й э н е р г и и, что приводит к иной трактовке этого уравнения. Ко н сер в а т и в н ы м и вмеханикесчитаютсилы, обладающие 'потенциалом; работа, совершаемая этими силами, не зависит от пути, которым система переводится из одного своего положения в другое.
Полная потенциальная энергия консервативной системы, состоящей из упругого тела и приложенных к нему консервативных сил, определяется суммой Э= Р+П, (1.55) где У вЂ” потенциальная энергия деформации тела; П вЂ” потенциал внешних сил. Величину У находит интегрированием значений удель- ной потенциальной энергии деформации У, по объему тела У: 1-~'1,а. (1.56) У Если при деформации тела числовые значения и направления внеш- них сил не изменяются, то их потенциал и= — ~~хи~-Уи~-ли)ЙУ вЂ” 1(р,и-~-рди-~р,ю)ЙБ.
(157) з~ Здесь первый интеграл берется по объему, а второй — по той части Я, поверхности тела, где приложены внешние поверхностные нагрузки. Знаки а — » перед интегралами соответствуют тому случаю, когда объем- ные Х, У, Л и поверхностные р„, р„, р, нагрузки направлены так же, как и перемещения и, о, в. Следовательно, с ростом перемещений по- тенциал внешних сил уменьшается. При заданных свойствах тела и внешних нагрузках полная потен- циальная энергия Э зависит от конкретного вида функций и, и, в и их производных. Величины, значения которых определяются выбором одной или нсскольких функций, носят название ф у н к ц и о н а л о в.
Свойства функционалов изучаются в разделе математики, называе- мом вариационным исчислением (см. Приложение 1). Покажем, что если упругое тело находится в равновесии, то его полная потенциальная энергия имеет стационарное значение. Для этого найдем первую вариацию полной потенциальной энергии ЬЭ = Ь (У + П) = ЬУ + ЬП. (1.58) Считая, что удельная потенциальная энергия У, выражена через ком- поненты деформаций, запишем ЬЦ= ~ — 'Ьа„+ — 'Ьз„.+...+ — ' Ьу„, <Л1, 1'(д0, д0, д0, ~ ~де, " дед " д7а» У или, учитывая зависимости (1.35), ЬУ = 1 (а~ Ье~ + о~ Ьз„+ ... + тр, Ьу„,) ЙУ, (1.59) Первая вариация потенциала внешних сил ЬП= — ~ (Хби+ Убо+ Лба).дУ вЂ” ~ (р„би+ р„бо+р, Ьш) Ю. 81 (1.60) Сравнивая выражения (1.59) и (1.60) с выражениями (1.25), (1.26) и (1.28) и учитывая уравнение (1.29), приходим к вариационному уравнению 83 =- 6 Я + 17) =- О.
Это уравнение, которое называют в а р и а ц и о н н ы м у р а вн е н и е м Л а г р а н ж а, в отличие от уравнения в вариациях (1.29) справедливо только для консервативных систем. Из уравнения Лагранжа следует, что в положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стаиионарное значение.
Справедливо и обратное утверждение: если полная потенциальная энергия имеет стационарное значение, то система находится в положении равновесия. Можно доказать и более общую теорему [28], которую часто пазываютпринципом минимума полной потенциальн о й э н е р г и и: в положении равновесия полная потенцильная энергия консервативной системы -имеет стационарное значение, причем положение равновесия устойчиво, когда это стационарное значение— минимум.
На вопросах устойчивости равновесия подробнее остановимся в следующем параграфе, а сейчас только подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы, как линейные, так и нелинейные. Нелинейности в консервативных системах могут быть геометрические и физические. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек.
Физические нелинейности проявляются в тех случаях, когда-материал не подчиняется закону Гука, а обладает более сложными упругими свойствами. В классической линейной теории упругости принята такая постановка задачи: материал подчиняется закону Гука, а компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями (1.17). В этом случае задача сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Это решение описывает устойчивое (в рамках линейной теории упругости) положение равновесия, т.
е. соответствует минимуму полной потенциальной энергии. Для доказательства достаточно непосредственно подсчитать вторую вариацию полной потенциальной энергии 3 (см. Приложение Ц. Если удельная потенциальная энергия определена выражением (1,36), то получаем 83 — 8'и = 1[а„(Ье„)'+ а„(бе„)'+ ...+ +2а„бт„,бу„,) Ю. (1.62) (1.63) -"Другими словами, в задачах линейной теории а) „ ,.'-': упругости вторая вариация полной потен',: циальной энергии выражается той же положи,. тельно определенной квадратичной формой, г) и что и удельная потенциальная энергия.
Сле. довательно, б'Э ~ О и всякое положение рав- ~ Я .иовесия линейной упругой системы устойчиво. и Проиллюстрируем использование условия стационарности полной потенциальной энергии двумя простыми примерамй. На рис. 1.11, а Я+дМ изображен прямой стержень с площадью Я =, 5 (х) поперечного сечения, нагруженный распределенной по длине нагрузкой д =- д(х) сил тяжести н растягивающей силой г'; материал стержня подчиняется закону Гука. Считая напряженное состояние стержня одноосным и напряжения 'а„= Е вх равномерно распределенными по поперечным сечениям стержня, из условия 6Э = О получим дифференциальное уравнение и граничные условия, позволяющие найти осевое перемещение и = и (х) и осевую силу У = У (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
