Главная » Просмотр файлов » balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani

balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 6

Файл №523124 balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (Л.И. Балабух, Н.А. Алфутов, В.И. Усюкин - Строительная механика ракет) 6 страницаbalabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124) страница 62013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Поэтому приведенное выше определение Р„р эквивалентно следующему определению: Р„р — это нижняя граница тех значений Р, при которых у системы существуют состояния равновесия, смежные с начальным. Изложенный выше энергетический критерий устойчивости иногда записывают в другой форме. Перемещения первого порядка малости, переводящие систему из начального состояния равновесия в новое смежное состояние, можно рассматривать как некоторые вариации 6и, 6о, 6!о. Тогда приращение полной потенциальной энергии можно подсчитать в виде разложения, аналогичного ряду Тейлора: ЛЭ 63 ! 623+ 2! где 6'3 — вторая вариация полной потенциальной энергии. Поскольку начальное состояние равновесно, то 6Э = О и критерий устойчивости (1.69) можно записать в такой форме: 6 (6'3) = О.

(1.70) Важно подчеркнуть, что физический смысл критерия устойчивости остается одним и тем же, независимо от того, в какой форме он записан, Когда изменение полной потенциальной энергии подсчитывают с точностью до квадратов перемещений, отсчитываемых от начального состояния равновесия, условие 6 (ЛЗ) = О приводит к линейным и Согласно г!риведенному определению наименьшее из всех возможных значений Е, даваемых последним выражением, равно критическому значению Р„р. Напомним, что ЛЭ, 11!' и Р являются функционалами, зависящими от перемещений первого порядка малости, переводящих систему в состояние, смежное с начальным состоянием равновесия.

Необходимое условие минимума параметра Р дает 6 — = = — 607 — — 6Ъ' = — (61Р'+ РЬЪ') =О, откуда следует, что при критическом значении параметра нагрузки выполняется условие зн где й, и й, — жесткости упругих шарниров, Подсчитывая с точностью до квадратов углов ~р', и Ч~~ вертикальное смещение ~ точки приложения силы Р, найдем $' = — 11,(1 — созф,) + 1, (1 — созф,)1 = — 2 (1,ф', + 1,~р,').

Таким образом, при отклонениях стержней изменение полной потенциальной энергии определяется выражением лз =, й1(Ч1 Ч'2) + йаЧ (~1(р1 1 ~2 Ч6). ! й ~ 1 2 ~ й 3 2 2 Условие стационарностн (1.69) в рассматриваемом случае приводит к двум уравнениям дЛЗ А1 (Ч)1 Ч)2) Я1 (р1 О (1.7!) д~~ =й(р, Ч)+И~, Н~, О дчн однородным относительно этих перемещений уравнениям (алгебраическим для систем с конечным числом степеней свободы и дифференциальным для систем с распределенными параметрами). Эти уравнения называются л и н е а р и з о в а н н ы м и у р а в н е н и я м и теор и и у стой ч и ности; они дают возможность находить критические значения нагрузок и с точностью до масштаба определять те формы, по которым происходит потеря устойчивости упругой системы. Рассмотрим, например, консервативную систему (рнс.

1.14, а), состоящую из двух жестких стержней, с двумя упругими шарнирами, нагруженных силой Р. До Ф нагружения оси стержней и) " М е=~~ расположены на однои %, % вертикали н сила Р прило- т,=и жена вдоль этон вертика- К ли. Деформацию системы будем задавать углами <р, и ср„ причем в начальном ~ и 6-ю состоянии равновесия при И достаточно малых значепнях силы, Р, очевидно, «р, = О и ср, = О. Найдем критическое значение силы Рир, при превышении ко- Рис. 1.14 торого вертикальное состояние равновесия перестает быть устончивым. Для того чтобы воспользоваться критерием устойчивости (1.69), подсчитаем изменение полной потенциальной энергии системы с точностью до квадратов углов Чд и ~р,.

Энергия деформации упругих шарниров равна 1 2 Ц~= — й (ч — т2) + — ~ та, 2 2 Полученная система линейных однородных уравнений всегда имеет тривиальное решение ~, = О и ~р, = О, соответствующее начальному вертикальному состоянию равновесия. Для существования отличных от нуля решений определитель системы должен быть ранен нулю; это условие приводит к квадратному относительно Р уравнению Положив, например, /, = 1, 1, = 2 /, й, = А, й, = 2Ф, найдем корни уравнения: Р =й/(2/); Р,=-2й//, т. е. значения нагрузки, при которых возможны смежные с начальным состояния равновесия, а наименьшее из них равно критическому значению силы: Р„р — — Р, = й/(21). Таким образом, при Р = — Р~ и Р = Р, у рассматриваемой стерж» евой системы кроме вертикального положения равновесия оказываются возможными смежные с ним другие формы равновесия. Такие точки расщепления решений называют линками ветвмния или точкалш бифгркации.

Линеаризоваиные уравнения позволяют с точностью до масштаба определять формы равновесных конфигураций системы в окрестностях точек бифуркации. Так, нз уравнений (1.71) следует, что при Р =- Р~ углы «р, и ср, связаны соотношением ср, = 2~р„а при Р = Р, соотношением ~р, =- — <р,. Соответствующие равновесные конфигурации изображены на рис. 1.14, б, причем первая из них описывает ту форму, по которой система теряет устойчивость. В качестве примера использования энергетического критерия устойчивости для систем с распределенными параметрами рассмотрим прямой стержень, нагруженный продольными силами, значения н направления которых ие изменяются при деформациях'стержня (рис.

1.15, а). Задачу определения начального напряженно-деформированного состояния такого стержня будем считать решенной и закон распределения по длинестержня начальных сил У = У,(х) известным. При достаточно малых значениях этих сил начальное состояние равновесия стержня с прямолинейной осью является единственным и устойчивым.

Найдем условия, при которых это начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Переход стержня в новое состояние с искривленной осью зададим поперечными перемещениями первого порядка малости в = и (х) и изменение полной потенциальной энергии ЛЭ подсчитаем с точностью до квадратов этих перемещений. Энергия деформации стержня изменится, во-первых, за счет появления энергии изгиба, определяемой выражением (1.65): ! ЛЦ, = — ' Г~(ш )~ ~х, о во-вторых, в результате изменения энергии растяжения-сжатия, поскольку начальные силы У, совершат работу на удлинениях второго порядка малости, возникающих вследствие перемещений а~. Как следует из рис. 1.15, б, удлинения равны л,в,— лв ! '! 8— — — 1 —,, — 1 — — (в')'. АВ сок в' ! — (в')з/2+ ...

2 Следовательно, изменение энергии деформации стержня вследствиЕ этих удлинений определяется выражением 1 ьи,= — '~к,~и'РИ . 2, Ъ Внешние продольные силы на поперечных перемещениях ы работы не совершают, поэтому при переходе в новое состояние потенциал внешних сил не изменяется: ЛП = О.

Итак, при переходе стержня в новое состояние, смежное с начальным, изменение полной потенциальной энергии составит ЛЭ =АУ,+ ЛУ2 = — [Е.Т (в") + Уо (ш )'! с)х. (1.72) а Из этого выражения, используя энергетический критерий устойчивости о (ЛЭ) = О, можно получить линеаризованное уравнение устойчивости прямого стержня и те граничные условия, каким оно может быть подчинено. Повторив преобразования и рассуждения, использованные во втором примере ~ 1.5, получим однородное дифференциальное уравнение (Е7м~") — (-Чо® ) =- 0 (1.73) со следующими однородными граничными условиями на торцах стерж.

ня: 1) Е7а"' =- О (т, е. М = 0), либор' = 0; 2) (ЕЛИ')' — Уов' = 0 (т. е. Я вЂ” У,ы' = 0), либо и = О. (1.74) Линейное однородное уравнение четвертого порядка (1.73) является основным уравнением теории устойчивости прямых стержней. Оно применимо при любых законах изменения жесткости Е,7 = ЕУ (х), при любых нагрузках и условиях закрепления стержня. Примеры решения этого уравнения рассмотрены во П части книги.

Зак, /УМ 33 Глава 2 ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Современная теория упругости представляет собой весьма обширную и наиболее полно разработанную область механики твердого деформируемого тела. Теорию упругости иногда подразделяют на математическую и прикладную. «Демаркационная линия» между математической и прикладной теориями упругости довольно условна. Обычно, когда говорят о математической теории упругости, имеют в виду общую н математически строгую постановку задач, опирающуюся только на допущения о сплошности и упругости тела, и точное решение этих задач, не использующее никаких дополнительных упрощающих допущений и приближенных приемов.

Однако число практически важных задач, допускающих такую постановку и решение, крайне ограничено. Всякую сколько-нибудь сложную практическую задачу удается довести до окончательного результата только с помощью целого ряда дополнительных упрощающих допущений. Постановку и решение типичных задач при небольшом числе четко сформулированных дополнительных упрощающих допущений (гнпотез) обычно относят к прикладной теории упругости. Например, в задачах расчета тонкостенных конструкций, схематизируемых набором оболочек и пластин, чрезвычайно важную роль играют гипотезы Кирхгофа — Лява: именно на этих гипотезах построены классические теории пластин и оболочек.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
19 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее