balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Поэтому приведенное выше определение Р„р эквивалентно следующему определению: Р„р — это нижняя граница тех значений Р, при которых у системы существуют состояния равновесия, смежные с начальным. Изложенный выше энергетический критерий устойчивости иногда записывают в другой форме. Перемещения первого порядка малости, переводящие систему из начального состояния равновесия в новое смежное состояние, можно рассматривать как некоторые вариации 6и, 6о, 6!о. Тогда приращение полной потенциальной энергии можно подсчитать в виде разложения, аналогичного ряду Тейлора: ЛЭ 63 ! 623+ 2! где 6'3 — вторая вариация полной потенциальной энергии. Поскольку начальное состояние равновесно, то 6Э = О и критерий устойчивости (1.69) можно записать в такой форме: 6 (6'3) = О.
(1.70) Важно подчеркнуть, что физический смысл критерия устойчивости остается одним и тем же, независимо от того, в какой форме он записан, Когда изменение полной потенциальной энергии подсчитывают с точностью до квадратов перемещений, отсчитываемых от начального состояния равновесия, условие 6 (ЛЗ) = О приводит к линейным и Согласно г!риведенному определению наименьшее из всех возможных значений Е, даваемых последним выражением, равно критическому значению Р„р. Напомним, что ЛЭ, 11!' и Р являются функционалами, зависящими от перемещений первого порядка малости, переводящих систему в состояние, смежное с начальным состоянием равновесия.
Необходимое условие минимума параметра Р дает 6 — = = — 607 — — 6Ъ' = — (61Р'+ РЬЪ') =О, откуда следует, что при критическом значении параметра нагрузки выполняется условие зн где й, и й, — жесткости упругих шарниров, Подсчитывая с точностью до квадратов углов ~р', и Ч~~ вертикальное смещение ~ точки приложения силы Р, найдем $' = — 11,(1 — созф,) + 1, (1 — созф,)1 = — 2 (1,ф', + 1,~р,').
Таким образом, при отклонениях стержней изменение полной потенциальной энергии определяется выражением лз =, й1(Ч1 Ч'2) + йаЧ (~1(р1 1 ~2 Ч6). ! й ~ 1 2 ~ й 3 2 2 Условие стационарностн (1.69) в рассматриваемом случае приводит к двум уравнениям дЛЗ А1 (Ч)1 Ч)2) Я1 (р1 О (1.7!) д~~ =й(р, Ч)+И~, Н~, О дчн однородным относительно этих перемещений уравнениям (алгебраическим для систем с конечным числом степеней свободы и дифференциальным для систем с распределенными параметрами). Эти уравнения называются л и н е а р и з о в а н н ы м и у р а в н е н и я м и теор и и у стой ч и ности; они дают возможность находить критические значения нагрузок и с точностью до масштаба определять те формы, по которым происходит потеря устойчивости упругой системы. Рассмотрим, например, консервативную систему (рнс.
1.14, а), состоящую из двух жестких стержней, с двумя упругими шарнирами, нагруженных силой Р. До Ф нагружения оси стержней и) " М е=~~ расположены на однои %, % вертикали н сила Р прило- т,=и жена вдоль этон вертика- К ли. Деформацию системы будем задавать углами <р, и ср„ причем в начальном ~ и 6-ю состоянии равновесия при И достаточно малых значепнях силы, Р, очевидно, «р, = О и ср, = О. Найдем критическое значение силы Рир, при превышении ко- Рис. 1.14 торого вертикальное состояние равновесия перестает быть устончивым. Для того чтобы воспользоваться критерием устойчивости (1.69), подсчитаем изменение полной потенциальной энергии системы с точностью до квадратов углов Чд и ~р,.
Энергия деформации упругих шарниров равна 1 2 Ц~= — й (ч — т2) + — ~ та, 2 2 Полученная система линейных однородных уравнений всегда имеет тривиальное решение ~, = О и ~р, = О, соответствующее начальному вертикальному состоянию равновесия. Для существования отличных от нуля решений определитель системы должен быть ранен нулю; это условие приводит к квадратному относительно Р уравнению Положив, например, /, = 1, 1, = 2 /, й, = А, й, = 2Ф, найдем корни уравнения: Р =й/(2/); Р,=-2й//, т. е. значения нагрузки, при которых возможны смежные с начальным состояния равновесия, а наименьшее из них равно критическому значению силы: Р„р — — Р, = й/(21). Таким образом, при Р = — Р~ и Р = Р, у рассматриваемой стерж» евой системы кроме вертикального положения равновесия оказываются возможными смежные с ним другие формы равновесия. Такие точки расщепления решений называют линками ветвмния или точкалш бифгркации.
Линеаризоваиные уравнения позволяют с точностью до масштаба определять формы равновесных конфигураций системы в окрестностях точек бифуркации. Так, нз уравнений (1.71) следует, что при Р =- Р~ углы «р, и ср, связаны соотношением ср, = 2~р„а при Р = Р, соотношением ~р, =- — <р,. Соответствующие равновесные конфигурации изображены на рис. 1.14, б, причем первая из них описывает ту форму, по которой система теряет устойчивость. В качестве примера использования энергетического критерия устойчивости для систем с распределенными параметрами рассмотрим прямой стержень, нагруженный продольными силами, значения н направления которых ие изменяются при деформациях'стержня (рис.
1.15, а). Задачу определения начального напряженно-деформированного состояния такого стержня будем считать решенной и закон распределения по длинестержня начальных сил У = У,(х) известным. При достаточно малых значениях этих сил начальное состояние равновесия стержня с прямолинейной осью является единственным и устойчивым.
Найдем условия, при которых это начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Переход стержня в новое состояние с искривленной осью зададим поперечными перемещениями первого порядка малости в = и (х) и изменение полной потенциальной энергии ЛЭ подсчитаем с точностью до квадратов этих перемещений. Энергия деформации стержня изменится, во-первых, за счет появления энергии изгиба, определяемой выражением (1.65): ! ЛЦ, = — ' Г~(ш )~ ~х, о во-вторых, в результате изменения энергии растяжения-сжатия, поскольку начальные силы У, совершат работу на удлинениях второго порядка малости, возникающих вследствие перемещений а~. Как следует из рис. 1.15, б, удлинения равны л,в,— лв ! '! 8— — — 1 —,, — 1 — — (в')'. АВ сок в' ! — (в')з/2+ ...
2 Следовательно, изменение энергии деформации стержня вследствиЕ этих удлинений определяется выражением 1 ьи,= — '~к,~и'РИ . 2, Ъ Внешние продольные силы на поперечных перемещениях ы работы не совершают, поэтому при переходе в новое состояние потенциал внешних сил не изменяется: ЛП = О.
Итак, при переходе стержня в новое состояние, смежное с начальным, изменение полной потенциальной энергии составит ЛЭ =АУ,+ ЛУ2 = — [Е.Т (в") + Уо (ш )'! с)х. (1.72) а Из этого выражения, используя энергетический критерий устойчивости о (ЛЭ) = О, можно получить линеаризованное уравнение устойчивости прямого стержня и те граничные условия, каким оно может быть подчинено. Повторив преобразования и рассуждения, использованные во втором примере ~ 1.5, получим однородное дифференциальное уравнение (Е7м~") — (-Чо® ) =- 0 (1.73) со следующими однородными граничными условиями на торцах стерж.
ня: 1) Е7а"' =- О (т, е. М = 0), либор' = 0; 2) (ЕЛИ')' — Уов' = 0 (т. е. Я вЂ” У,ы' = 0), либо и = О. (1.74) Линейное однородное уравнение четвертого порядка (1.73) является основным уравнением теории устойчивости прямых стержней. Оно применимо при любых законах изменения жесткости Е,7 = ЕУ (х), при любых нагрузках и условиях закрепления стержня. Примеры решения этого уравнения рассмотрены во П части книги.
Зак, /УМ 33 Глава 2 ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Современная теория упругости представляет собой весьма обширную и наиболее полно разработанную область механики твердого деформируемого тела. Теорию упругости иногда подразделяют на математическую и прикладную. «Демаркационная линия» между математической и прикладной теориями упругости довольно условна. Обычно, когда говорят о математической теории упругости, имеют в виду общую н математически строгую постановку задач, опирающуюся только на допущения о сплошности и упругости тела, и точное решение этих задач, не использующее никаких дополнительных упрощающих допущений и приближенных приемов.
Однако число практически важных задач, допускающих такую постановку и решение, крайне ограничено. Всякую сколько-нибудь сложную практическую задачу удается довести до окончательного результата только с помощью целого ряда дополнительных упрощающих допущений. Постановку и решение типичных задач при небольшом числе четко сформулированных дополнительных упрощающих допущений (гнпотез) обычно относят к прикладной теории упругости. Например, в задачах расчета тонкостенных конструкций, схематизируемых набором оболочек и пластин, чрезвычайно важную роль играют гипотезы Кирхгофа — Лява: именно на этих гипотезах построены классические теории пластин и оболочек.