balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 15
Текст из файла (страница 15)
и т. д. Таким образом, рассмотренный метод состоит в непосредственном' интегрировании (и + 1) задач с начальными условиями по всем участкам рассматриваемого интервала. После того как это сделано для всех участков, на их границах задают условия непрерывности векторов, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.
Затем решают эту систему, что позволяет в конце концов найти составляющие вектора состояния во всех точках стыка участков. Отметим некоторые особенности рассмотренного в этом параграфе матричного метода начальных параметров. При применении его для расчета конструкций нет необходимости сводить дифференциальные уравнения к меньшему числу уравнений более высокого порядка. Запись в матричной форме позволяет осуществить интегрирование системы в таком виде, в котором она получена при выводе уравнений.
В отличие от других численных методов здесь удается при интегрировании матричных уравнений следить за размером шага и автоматически выбирать его так, чтобы удовлетворялась требуемая точность решения. Размеры участков, на которые делится весь интервал интегрирования, могут быть разные. Предварительно их определяют, руководствуясь асимптотическими оценками, например при расчете оболочек — длиной краевой зоны. Более точная разбивка интервала может быть осуществлена с помощью повторных расчетов.
Рассмотренный метод был разработан и применен к задачам строительной механики в работе 141. В ней же даны некоторые усовершенствованные его варианты. ф 3.3. Метод конечных разностей Метод конечных разностей (МКР) основан на замене непрерывных функций и их производных в дифференциальных уравнениях дискретными значениями и приведении уравнений к алгебраической системе высокого порядка. Эффективность решения задач в разностной форме зависит от особенностей разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, вида краевых условий и конфигурации области, в которой ищется решение. Ч- ~.Ч-.
ц" Рассмотрим подробнее особенности разностной аппроксимации производных на примере одномерной схех'-г ~1 х1+и мы. На рис. 3.1 изображена некото- з;, ~;+, рая непрерывная функция 1' (х) и от- Рис. 3,1 мечены ее дискретные значения ~;,; ~~ „ /~, ~з+,, ~;+з. Положим, что расстояние по оси хмежду соседними значениями функции одинаково и равно Л. Если / (х) имеет непрерывные производные, то значения /;~, и ~~, могут быть представлены через значения функции / и ее производных в точке 1 с помощью ряда Тейлора: Ь+ /,+д/,+ Л/,+ д/ т д/ +..., (3.41) Л/ 1 Дз~ ~ Дз~ 1 1 Л4Р1 (342) Первую производную в точке / из уравнений (3.41) можно записать так: / = (/; ~~ — ~~) /Л вЂ” Д/," / 2 + ....
При гладкой функции, когда вторая и высшие производные конечны и имеют примерно одинаковый порядок и когда значение д мало, вторым и последующими членами ряда можно пренебречь. Наибольшее из отброшенных слагаемых пропорционально первой степени шага д: (3.43) где О (Л) — величина, определяющая точность аппроксимации функции. Аналогичное соотношение можно получить из ряда (3,42) Д = ® — ~г з) / д + О (Л). (3.44) Зависимости (3.43) и (3.44) показывают, что первая пройзводная в точке /может быть представлена по-разному — через значения функции в этой точке и последующей (правая разность) или в этой точке и предыдущей (левая разность). В том и другом случае точность аппроксимации производной пропорциональна первой степени шага д.
Первую производную можно представить и с более высокой точностью. Для этого из ряда (3.41) нужно вычесть ряд (3.42): ~; = ®„— ~,,) / (2Л) + О (Д ). (3.45) При решении задач часто нужно иметь разностиые уравнения высокой точности, но это связано с увеличением количества точек массива, аппроксимирующего производные. Для первой производной, как видно из соотношений (3.43), (3.44), (3.45), при точности аппроксимации О (Д) необходимы две точки, при точности О (Д') — три. Ббльшая точность требует еще большего числа точек. Получим формулы, аппроксимирующие первую производную с высокой точностью. Для этого к соотношениям (3.41) и (3.42) нужно добавить следующие: 2Л/' 1 2дз~ ~ 4 дзу"' 1 ~ Л4Д4 1 — 2д/,' 1 2Дз/" .~ дз~ ~ 2 Л4~~~ (3Л6) (3.47) Исключая из них вначале ~~, ~,", ~~, затем ~,"', получим 5 = — ф,— 8~,,+8~,+,— ~,.+,)+0(Л').
(3.48) Это так называемая «пятиточечная» центральная разностная схема, аппроксимирующая первую производную с точностью, пропорциональной четвертой степени шага. Используя ряды (3.41), (3.42), (3.46), (3.47), можно представить вторую и другие производные в разностной форме с высокой точностью, например: Л,~, Ч- 21,+1+)+ ( ) Г =- — ( — ~; —,+16~;,— 30~;+16~;+,— ~;„)+0(Ь').
и т. д. При расчетах иногда необходимо иметь формулы для аппроксимации производных только вправо или только влево. Их получают аналогичным путем. Например, для правых разностей Я = ( — 3~; + 4~;~, — ~;~,)1(2К) + О (Л'); (3.49) ~' = (+2~.- = 5~~ -1 + 4~~т» — ~~+ »)Ы' + 0 (Л'). Эти же производные через левые разности имеют вид ~"; = (3~; — 4~; 1 + 7;,)/(2Л) + 0 (Л'); ~7 = ( — 2~; + 5~;, — 4~;, + ~;,)/Л' + О (Л').
Все эти соотношения показывают, что хотя производные могут быть представлены в разностной форме с весьма высокой точностью, разностные схемы при этом становятся громоздкими и не всегда удобными для практических расчетов. Поясним применение метода на примере расчета шарнирно опер- того стержня переменной жесткости ЕУ, нагруженного осевой сжи- мающей силой Р и попе- Я речной нагрузкой д х (рис. 3.2). Изгиб стержня -в.
— описывается соотношением — — Е3 — ~+ Ра =~ (~ йх» 2 (3.50) Построим решение методом конечных разностей при граничных условиях: при х = 0 ж = 0; при х = — 1 в = О. В разностной форме с помощью зависимости (3.49) уравнение прогиба стержня можно представить в виде в. +(Ая Л» 2) в,.+ в$ — (х1 — 1Х1) (3 51) оа» 2 (ЕХ)~ 7В где Й; = И(ЕУ);1; х; = Й, Л = Йп', и — число участков, на которые делится весь интеграл интегрирования, По существу выражение (3.51) — система уравнений.
В развернутом виде ее можно записать: 1 = 1) ы + фЛР— 2) ю + ю = дЛ4(1 — п)Л2 (ЕУ),); К = 2) си~ + (АЗЛ' — 2) и>з + а(з = 4дЛз(2 — п)Л2 (ЕУ),1; 1 = 3) абаз+ (йззА~ 2) из+ аг, = 9лЛ'(3 — п)Л2 (ЕУ)з)' (3 52) и — 1) юи-з + (11л — 1~1 — 2) ~Из т + ~Од —. = - --(и — 1)дЛЧ2 (Е5)„Я В первой и последней строке имеются значения перемещений, которые известны (соответствуют граничным условиям) и, = в„= О. Таким образом, количество полученных разностных уравнений соответствует числу (и — 1) искомых значений функций в;.
Решение системы (3.52) может быть получено различными путями. Весьма эффективным для уравнений такого вида оказывается метод, называемый м е т о д о м п р о г о н к и. Он является вариантом метода Гаусса решения системы алгебраических уравнений высокого порядка. Для линейных уравнений (3.51) связь между значениями и в соседних точках может быть представлена в виде в~ — — и~ + ~;ы,+,.' (3.53) Величины а; и ~1,, называемые коэффициентами прогонки, в каждой 1-й точке пока неизвестны. Для предыдущей точки имеет место аналогичное соотношение а~;,=а,,+ ~;, и;. (3.54) Исключим из выражений (3.51) и (3.54) величину в,,: — ~;,+ча' хА2 Ж11;1 1 (3 55) Р. 1 (зЗ аа 2) . Р.
1 (ДЗ У 2) '+~' Сравнивая это соотношение с выражением (3.53), получим рекуррентные формулы для коэффициентов прогонки й; — "' '+ча~ "'("' 11112 (~11'1 р — 1, (3.56) т+(й~з аз — 2) . ' ~1~ +(йз Ьз — 2) связывающие значения коэффициентов в соседних точках. Расчет с использованием метода прогонки состоит из двух этапов: на первом с помощью рекуррентных формул (3.56) определяются коэффициенты прогонки, на втором — из соотношений (3.53) последовательно находятся значения величины и в каждой точке. Для того чтобы начать расчет, нужно найти начальные значения коэффициентов а; и р;.
Воспользуемся первым уравнением системы (3.52) и, учитывая, что ы„== О, получаем дЛ4 1 — п 1 2(ЕУ1~ Ц Л' — 2 А' М вЂ” 2 Коэффициенты и„~„а„~, и т, д. находят последовательно по формулам (3.56). Особенность расчета методом прогонки состоит в том, что при определении коэффициентов при прямом ходе (рис. З.З) необходимо их «запоминать», чтобы впоследствии по формуле (3.53) найти значение а;. Для граничного условия на правом конце а~„ =- 0 при 1 = и — 1 получаем и„ 1 = а„ ,. Величина ы„ , = а„ , + р„ , Х Х в„ ,.
Обратный ход позволяет определить все значения щ, В рассмотренном примере гранич.*Полиоо. ход ные условия заданы относительно определете и; р; искомой функции. Решение задачи, когда на границе задана производная, имеет некоторые особенности. 0 ~ 2 о-Л и-~ о Положим, что имеют место условия: аале а хн опреоеоение ы; при х=0 Аа'+Ва =С и при х = — 1 Ры'+ Еи = Е. (3.57) Запишем эти соотношения в разностной форме, представив производную с той же точностью, что и в дифференциальном -уравнении. Это можно сделать, использован, например, центральные разности (3.45), (3.48), но тогда необходимо рассматривать законтурные точки (~ = — 1; ~ = и+ 1), При этом уравнения (3.57) примут вид А (а~1 — а~-1)!(2Л) + Выо = С' Р (а~„+1 — в„—,)/(2Л) + Ещ, = Р. (3.58) Увеличим длину стержня на размер Л влево и вправо и добавим к системе (3,52) еще два уравнения: ж, + (й0Л' — 2) а), + в1 = 0; Значения ы, и в„+, теперь могут быть исключены с помощью соотношений (3.58).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
