balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для того чтобы система одно:родных линейных уравнений имела отличные от тождественного нуля ':решения, ее определитель должен быть равен нулю, Из этого условия можно найти те значения Р„, при которых существуют отличные от нуля решения, т. е. те значения сжимающей силы, при которых у стержня возможны смежные с начальным новые состояния равновесия. Наименьшее из этих значений равно к р и т и ч е с к о й си л е а~ Запишем три уравнения, выте г кающие из трех первых граничных условий.' А2+А4=0; г — ИА,з1п И вЂ” УА, соя И =.
О, откуда А~= — А „А,= — А~ с1н И, А, = ЙА, с1д И. Следовательно, ,! общее решение (7.7) в рассматрияве5 вг ~ наемом примере можно записать в виде ~а в га г; в = А, ( — с$д И з1п Ах+ + соз йх + йх с1д И вЂ” 1). (7.9) Подчинив эту функцию четвертому граничному условию и полагая А~ у'= О, получаем характеристическое уравнение, которому после несложных преобразований можно придать следующий вид: (ИЯ=И вЂ” 1 И (7.9') где ~ = ~Р/(ЕУ). Найдя и-й корень (И)„этого уравнения, из выражения (7.6) получаем Р„= (И)Д ЕЛ~Я. Из условия (7.8) следует, что Р„р = Р„где Р, соответствует первому корню (И)1. Конкретные значейия (И), для различных значений ~нетрудно найти графически или численным подбором; в частности, при ~ = 0 и ~ = оо получаем соответственно (И)1 = я,/2 м 1,57 и (И), ж 4,49.
Окончательное выражение для критической силы запи шем в таком виде: Р„р — — Сд'ЕУ/Р, (7.10) где С = (И)~/я'. Коэффициент С показывает, во сколько раз критическая сила для рассматриваемого стержня отличается от критической силы для шарнирно опертого стержня той же длиные. На рис. 7.5, б показана зависимость коэффициента С от безразмерной жесткости ~ упругой опоры. Определив корень (И), характеристического уравнения (7.9'), из уравнения (7.9) можно с точностью до масштаба найти форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости. Вместе с изменением безразмерной жесткости т1 изменяется (И), и форма потери устойчивости, причем при непрерывно изменяющемся значении~качественная смена форм потери устойчивости происходит скачкообразно: при )' ~ а' стержень теряет устойчивость по форме 1, а при ~ ~ гР— по форме 2 (рис.
7.5, б). Но при этом необходимо подчеркнуть, что линейное однородное уравнение (7.5) принципиально не может дать никакой информации об увеличении прогиба стержня при Р.=. Р„р. Чтобы найти за- ~вз ".Висимость между нагрузкой и прогибами стержня после потери устой- чивости, необходима нелинейная постановка задачи, о которой будет ;.;сказано ниже.
Аналогично может быть решена и любая другая задача устойчи':вости однопролетного равномерно сжатого стержня постоянной из'тибной жесткости. Окончательное выражение критической силы обыч>но записывают в одном из двух вариантош Ркр = СптЕИ' ил Р„р —— — 2Е,1'1'(РЮ)2, , Здесь р — коэффициент приведенной длины, показывающий, во сколь'.ко раз нужно изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы кри:"тическая сила для него равнялась критической силе для стержня дли- ,а=г С=14 Рис. 7.6 .
ной 1 при рассматриваемых граничных условиях. Зна |ения коэффицентов р и С для некоторых видов закрепления показаны на рис. 7.б. Аналитическое решение общего уравнения (7.5) удается получить не только при постоянных изгибной жесткости Е3 и осевой силе Уо, но и при некоторых конкретных законах их изменения по длине стержня. Однако в общем случае при призвольных законах изменения изгибной жесткости и начальной осевой силы аналитически проинтегрировать уравнение (7.5) не удается. Тогда для определения критических нагрузок и форм потери устойчивости прибегают к приближенным аналитическим или численным методам.
$ У.2. Устойчивость прямоугольных пластин Рассмотрим задачу устойчивости пластины, нагруженной в своей. плоскости распределенными по длине дуги контура силами д„, д, и распределенными по площади срединной плоскости силами О„, р,; поперечные нагрузки отсутствуют. На рис. 7.7 такая пластина представлена в прямоугольной системе координат, причем срединная плоскость пластины совпадает с координатной плоскостью хд.
ф~- 'Е а) 2 Рис. 7.8 Чтобы вывести линеаризованное уравнение, описывающее изгибные состояния равновесия пластины, бесконечно близкие к начальному, воспользуемся приемом фиктивной по~гергчной нагрузки. Основную идею этого приема поясним на примере задачи устойчивости прямого стержня. В ~ 1.5 было получено линейное уравнение (1.67) поперечного изгиба прямого стержня.
Для элемента стержня, изображенного на рис. 7.8, а, оно имеет вид (ЕУв")" — д, = О, 190 Если пластина не имеет начальных неправильностей, а все внешние силы и реакции опор действуют строго в ее срединной плоскости, то всегда возможно равновесное состояние пластины с неискривленной срединной плоскостью. Такое состояние равновесия, которое в дальнейшем будем называть Х н ач ал ьн ым, описывается уравнениями плоской задачи теории упругости (см. Ь ру р. х ~ 2,1), ~Ь При достаточно малой внешней нагрузке начальное У состояние равновесия пласти- ны будет единственным и ч устойчивым. С ростом внешней нагрузки у пластины, Рис 77 как и у прямого стержня, могут появляться новые состояния равновесия с искривленной срединной плоскостью, смежные с начальным состоянием, Наименьшее из тех значений нагрузки, при которых возможны изгибные состояния равновесия пластины, будет критическим, т.
е. при его превышении начальное состояние равновесия перестанет быть устойчивым и пластина перейдет в новое состояние равновесия с искривленной соединной плоскостью. где д.— поперечная погонная нагрузка, Физический смысл этого уравнения — условие равновесия недефораираванного элемента стержня в проекции на ось г. В задаче устойчивости прямого стержня поперечная нагрузка отсутствует, но однородное линеаризованное уравнение (7,5), где Ф,— начальная осевая сила, тоже результат проекции па ось г всех снл, действующих на элемент стержня. Только теперь условия равновесия составляются для сфор.яированцого, искривленного элемента стержня и в проекции на ось г появляется слагаемое (Ж,4) = — (Ж,ы )', зависящее от начальной осевой силы в стержне (рис. 7.8, б).
Это позволяет ввести понятие фиктивной поперечной нагрузки Ч.Ф = (Фоп~')' Введение величины д,~ помогает сократить вывод линеаризованного уравнения устойчивости, если известно соответствующее линейное уравнение поперечного изгиба. Например, уравнение поперечного изгиба балки, связанной с упругим основанием, имеет вид (ЕЛи")" + м,ы — ц, = О, где к0 — коэффициент жесткости упругого основания.
Чтобы получить линеаризованпое уравнение устойчивости такой балки, нагруженной продольными силами, достаточно положить в этом уравнении д,.= д,~ —— (М,в')', где М, — начальная осевая сила в балке. Тогда получим однородное линеаризованное уравнение (ЕУг")" + ХОМ вЂ” (Мои')' = О. Лналогично прием фиктивной нагрузки выглядит и в других задачах устойчивости стержней, пластин и оболочек. Если для соответствующей задачи известно линейное уравнение поперечного изгиба Е[ыЛ вЂ” р,=О, (7.12) где Ь Ы вЂ” некоторое дифференциальное выражение относительно поперечного прогиба и (или любой другой искомой функции), то, чтобы получить однородное линеаризованное уравнение задачи устойчивости, достаточно, рассмотрев деформированное состояние элемента, найти фиктивную поперечную нагрузку р,~ и заменить ею поперечную нагрузку р, в исходном уравнении.
В линейном уравнении (2.58') поперечного изгиба пластины поперечную нагрузку обозначим р,: 07'7~о — р = О (7.13) где 0 = ЕЧI(12 (1 — 1Р)); й — толщина пластины. Как уже говорилось, до потери устойчивости в пластине реализуется плоское напряженное состояние, описываемое уравнениями плоской задачи теории упругости. Будем считать, что соответствующая плоская задача решена и распределение начальных нормальных и касательных напряжений о 0 = про (х у) про= — ода (х у) тх~о = т„д„(х, у) в пластине найдено. Эти напряжения, постоянные по толщйне пластины, приводят к начальным нормальным и касательным — с'х д Тто дх силам* в срединной плоско сти пластины (рис.
7,9); Т1 0 ~охи Тза — !тгг«о 5а = ~т.ио, которые удовлетво Ряют уравнениям равнове сия, как в 52.1: дт„дЮ, + — '+р,=О, дх ду д ) д«о дЯ,, ~т,„(7 1'1) ' + '" +Рд=-о. ду ~4 дх дУ д5«й о+ дх На контуре пластины силы Т„, Т„, Я, удовлетво+ дх ряют заданным граничным условиям задачи. Для ' определения фиктивТта ной "., поперечной нагрузки рассмотрим элемент пласти,х ны в искривленном состоянии Е и с точностью до величин первого порядка малости относительно ",поперечного прогиба и найдем сумму проекций сил на ось г. Чтобы не загромождать д Ф"" д '4'и рисунка, изгибающие моменЮс д «'+ ' "~~х «ь дх ты и поперечные силы, возо -~ 1 никающие при искривлении пластины, на рис.
7.9 вообще не показаны, а начальные нормальные и касательные силы изображены порознь. Рис. 7.9 Определив проекции на ось г сил Тт, и Тто+ (дТу!дх) г(х и учитывая при этом изменение угла наклона касательной ф„ (рис. 7.9, б), получим Г„Ф,,Ф+~~Т,«+ — ~х~ ~~~1„+ — 'г(х1Ф=- (Т Ч, )дым!. Лналогично получим результирующую сил Т„и Т„+ (дТао!ду)г)у в проекции на ось г: „- (Т,атр,) йхг(у. Касательные силы Яо и Я„+ + (дЗ,Iдх) с1х (рис. 7.8, в) дадут в проекции на ось г ~о ~Ф«с(К 1 ~Зо + — с1 х) ~'Фи + — « '(х) Ф = — (Зо Ф ) с1хс1у. В З 2.1 объемные и контурные нагрузки имеют другие размерности н обозначения; здесь объемные нагрузки отнесены к площади, контурные — к длине дуги, !92 5«+ — иу' дауд дД и Юп Я, + — «Ь' Пх У О- АнаЛогично находиМ результирующую сил 5, и 5„+ (д5„'ду) ф в проекции на ось г: д дчРОФ ) ~ т1у Объединив эти результаты, подслив нх сумму на площадь г(кг)д элемента пластины и учитывая, что фх = дЫдк, ф, = дива, найдем фиктивную поперечную нагрузку ' -+('5' '.
~'- — ')'+('Ж ' И' — .'.) (7.15) Заменив в уравнении (7.13) поперечную нагрузку р„на р,.ф, получим однородное линеаризоеанное уравнение устойчивости пластины В1127~ге — р ф —— О (7. 16) Если пластина нагружена только контурными внешними силами а„, ду (в силовых ракетных конструкциях обычно собственным весом пластины можно пренебречь), то выражение (7.15) упрощается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
