balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 44
Текст из файла (страница 44)
9х Я и й'" лИ (8.83) ф,,р —..— 0,6пЕЙ' —; (8.84) (~, щ — — 2,46ЕЬ.' ~~~, (8.85) Окончательное значение (~„р критической поперечной силы равно меньшему из получаемых по этим формулам. Причем если на оболочку дополнительно действует поперечное давление, то его влияние на значение Я„р можно оценить по его влиянию на величины о„р и т„р подобно тому, как это делалось ранее.
5 8.е. Особенности расчета реальных оболочек на устойчивость В предыдущих параграфах критические нагрузки оболочек были определены при использовании упрощающих допущений, т. е. в них исследовалась устойчивость некоторых упрощенных аналитических моде.лей оболочек. Основные допущения состояли в замене реальной оболочки идеализированной оболочкой совершенной геометрической фор- Задача устойчивости при таком неоднородном начальном напряженном состоянии сводится к уравнению в частных производных с переменными коэффициентами, которое проинтегрировать аналитически не представляется возможным. Для оценки критического значения ~„р поперечной силы воспользуемся элементарным, но довольно эффективным упрощающим приемом. В основу этого приема положены два соображения.
Во-первых, тонкие оболочки средней длины теряют устойчивость с образованием довольно большого числа волн, как было показано в предыдущих параграфах. Поэтому в тех случаях, когда в зоне действия максимальных начальных сил образуется несколько волн, расчет оболочки на устойчивость при переменных величинах 50 = ср (х, ~р) и Т„, == Т„, (х, ~р) можно свести к расчету оболочки с постоянными начальными внутренними силами, равными максималь.ным их значениям.
Во-вторых, при поперечном изгибе цилиндрической оболочки в зоне максимальных осевых сжимающих напряжений (зона А на рис. 8.10) близки к нулю касательные напряжения, а в зоне максимальных ка. сательных напряжений (зона В на рис. 8.10) близки к нулю осевые напряжения. Поэтому расчет такой оболочки на устойчивость можно производить раздельно по осевым сжимающим напряжениям и по касательным напряжениям.
Максимальное сжимающее напряжение в зоне А равно о~ „= = ф/(ЙлЯ'), а максимальное касательное напряжение в зоне В равно т „= Яl(пй). Отсюда, используя формулы (8.46) и (8.79), получаем (при и = 0,3) гаа Р1га Кр. Рис. 8.11 мы, причем до потери устойчивости начальное напряженное состояние такой идеализированной модели оболочки было принято безмоментным, а размеры и форма — неизменными.
В такой постановке (называемой иногда «классической») были найдены критические значения внешних нагрузок, т. е. те значения, при превышении которых начальное напряженное состояние становится не- и) устойчивым. Р Возникает естественный вопрос, на- сколько полно и точно результаты ис"к следования устойчивости идеализирован+- ных моделей отражают поведение тех реальных оболочек, с которыми инженеру приходится иметь дело при расчете и испытаниях реальных конструк~о ций. Ответ на этот вопрос можно получить двумя путями: теоретическим, анализируя более сложные решения, свободные от тех или иных допущений, и экспериментальным, исследуя поведение реальных оболочек при нагружении. Достоверные теоретические решения, свободные от упомянутых упрощающих допущений, удалось получить сравнительно недавно с помощью ЭВМ.
Оста- 10 новимся на тех поправках, которые вносятся в классическое решение, если учитывать моментность начального напряженного состояния и искривление обра- ' 2 Ф б г х) л я зующей цилиндрической оболочки в начальном состоянии. На рис. 8.11, а схематично изобра- жено начальное моментное напряженнодеформироваиное состояние нагруженной равномерным внешним давлением р цилиндрической оболочки длиной 1, радиусом Я и толщиной стенки й со свободно опертыми торцами: изменение вблизи левого торца осесимметричного прогиба ио (х) окружной силы Т, (х) и изгибающего осевого момента М„(х). а' Это напряженно-деформированное состояние описывается уравнением осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки: -1ч Ый у1о Е)га + — а(о —— — р — Р—, о ),о о— (8.8б) решение которого при Тто —— 0 можно представить в виде во — — — — +(С1 з)п Ах+Со соз йх) е «х+(Со з(п йх+Со соз Угх) е~х, (8.87) где-аза — ра7Жса — о*» г г ш, ра ~ «а граничных условий на торцах оболочки.
В рассматриваемом случае граничные условия авободного опнрания имеют вид: тао (0) = 0; вц = 01 а>о (Ю) = 0; и4 (1) = О. В частности, для не слишком коротких оболочек при 1~~ 3 1ЛГ когда граничные условия на одном торце практически не влияют на напряженно-деформировщгпое состояние оболочки в окрестности другого торца, находим Ст = О, Со = раз!(ЕЬ), Сз = Со = О, откуда во= — — (! — е соз йх); ЕЬ Тоо — РЯ (1 — з "сов Йх); (8.88) 1/з м М,о — — Ре х з1п йх, 12 Последние выражения описывают напряженно-деформированное состояние оболочки вблизи левого торца. В силу симметрии задачи точно так же выглядит напряженно-деформированное состояние и вблизи правого торца.
В средней части оболочка находится в безмоментном напряженном состоянии: ~иоб.м. = Ртт~!(Во1 Уооб.м. =- Ртт Мтоб.м. =-О При 1~ 3~/ГЬ осесимметричный изгиб охватывает всю длину оболочки; и в этом случае, используя симметрию задачи, нетрудно найти коэффициенты С; и получить выражения, описывающие начальное напряженно-деформированное состояние оболочки. Линеаризованные уравнения устойчивости, учитывающие момент- ность начального напряженного состояния и искривление образующей оболочки, сложнее, чем те, которые были получены в 88.2, причем следует подчеркнуть, что даже при постоянном внешнем давлении это будут уравнения в частных производных с переменными коэффициентами.
Результаты численного решения этих уравнений ~121 можно представить в виде графика, показанного на рис. 8.11, б, где у.4г — о 1 ИГР,. Ран ==~т1 — р — ~; Р.,= Ран б,м Здесь Ра — кРитическое давление, подсчитанное с Учетом момент- ности начального состояния и искривления образующей, а р„б „вЂ” критическое давление, подсчитанное без такого учета по формулам 8 8.4. Как видим, моментность начального напряженно-деформированного состояния и искривление образующей оказывает заметное влияние на значение критического внешнего давления только для коротких оболочек.
Аналогично влияет на значение р„р учет начального осесимметричного изгиба оболочки и при других граничных условиях на ее торцах, в том числе и в случае подкрепления торцов упругими шпангоутами (121. Учет начального", осесимметричного изгиба сильнее влияет на результат при расчете равномерно сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки длиной 1 и радиусом Я (рис. 8.12, а).
Дело.в том, что осевые сжимающие силы при приближении их значенийУк~критическим принципиально изменяют характер начальногоосесймметричного изгиба оболочки (рис. 8.12,гб). ние колеблется от нуля до 20%. Аналогичные результаты получены и для других задач устойчивости тонких оболочек 112). К значительно более серьезным последствиям приводит основное допущение, на котором базируется классическое решение: пренебрежение начальными геометрическими неправильностями формы реаль.ных оболочек.
Поведение реальных стержней и пластин с начальными геометрическими неправильностями рассматривалось в 5 7.4. Напомним, что малые начальные неправильности при нагрузках меньше критических приводят к появлению малых дополнительных прогибов реальных стержней и пластин; с приближением нагрузки к критическому значению эти дополнительные прогибы начинают сильно расти. Рис. 8.13 Важно подчеркнуть, что при плавном нарастании нагрузки упругие . стержни и пластины в зоне критических значений нагрузки деформируются тоже плавно, все время проходя только через статически устойчивые состояния равновесия.
Аналогично ведет себя под нагрузкой и тонкая упругая оболочка, :. если закрепления ее торцов допускают чисто изгибную деформацию . срединной поверхности без растяжений и сдвигов: начальные непра.вильности с самого начала нагружения приводят к появлению дополнительных прогибов, которые монотонно увеличиваются по мере роста нагрузки. С приближением нагрузки к критическому значению дополнительные прогибы растут столь интенсивно, что критическое значение нагрузки, найденное для оболочки идеальной формы, будет практически предельным для всякой реальной оболочки (как и в случае сжатого упругого стержня). Например, так деформируются реальные длинные цилиндрические оболочки под действием внешнего давления.
Но если закрепления краев оболочки исключают возможность чисто изгибной деформации, как это обычно и бывает в реальных конструкциях, поведение тонких упругих оболочек при потере устойчивости становится качественно иным. Рассмотрим, как ведет себя тонкая упругая оболочка, нагруженная внешним давлением р (рис. 8.13, а), и построим диаграмму ее деформирования в координатах р, ы„„(рис. 8.13, б), где р — внешнее давление; ы„„— перемещение точки, расположенной на гребне волны дополнительного прогиба, направленной внутрь оболочки 245 (рис.
8.13, а). Для идеально правильной оболочки с помощью липеаризованных уравнений устойчивости может быть найдено критическое значение давления (точка бифуркации В, на рис. 8,13, б). Чтобы выяснить, как будет вести себя оболочка после потери устойчивости, необходимо рассмотреть задачу в нелинейной постановке, как это было проделано в ~ 7.4 при исследовании закритического деформирования стержней и пластин. Для оболочки идеально правильной формы полученная в результате решения нелинейной задачи зависимость нагрузка — прогиб имеет вид кривой В,В,В.
(Такое решение, конечно, удается получить только с помощью того или иного приближенного метода.) Эта зависимость качественно отличается отзависимостейнагрузка — прогиб, полученных в 5 7.4 для сжатых стержней и пластин. Во-первых, у оболочки в окрестности критической точки бифуркации В, нет новых устойчивых статических состояний равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия удалены (участок В,В) от начального устойчивого состояния (участок ОВ,) на конечные расстояния. Поэтому переход оболочки в новое состояние равновесия не может произойти плавно; такой переход неизбежно должен носить скачкообразный характер, происходить в виде хлопка~. Во-вторых, новые состояния равновесия становятся возможными еще до достижения критического значения давления, найденного с помощью линеаризованных уравнений устойчивости. Эти новые состояния равновесия отделены от начального некоторым энергетическим барьером, уменьшающимся по мере приближения нагрузки к критическому значению.
Всякая реальная оболочка из-за геометрических несовершенств сразу же после приложения нагрузки начинает отклоняться от своей начальной формы (кривая ОС, на рис. 8.13, б). При достижении некоторого значения нагрузки оболочка теряет устойчивость, переходя хлопком в новое состояние равновесия (из точки С, на кривую С,С). Если такой хлопбк сопровождается только упругими деформациями оболочки, то при последующем уменьшении внешнего давления происходит обратный хлопбк (из точки С, на кривую ОС,). В задаче устойчивости цилиндрической оболочки, сжатой в осевом направлении (рис. 8.14, а), диаграмму деформирования (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
