markeev_book (522779), страница 36
Текст из файла (страница 36)
й1 (47) Последней формуле можно дать весьма удобную и широко распространенную интерпретацию: скорость конца вектора Ко равна Мсз (теорема Резаля). Пгимпг 1. Центру основания однородного кругового конуса массой т, высотой й и с углом при вершине 2о, вершина О которого закреплена и который может катиться без проскальзывания по неподвижной гориэонтильной плоскости, сообщается горизонтальная скорость о.
Найти равнодействующую (величину, направление и точку пр ложения) реакции плоскости и реакции в неподвижной гаечке, возникающих во время дальнейшего двилсения конуса. Пусть (рис. 106) С - центр масс конуса, Л вЂ”. радиус его основания, а С и А — его моменты инерции относительно оси симметрии и оси, проходящей через вершину и перпендикулярной оси сим.иетрии. Тогда ОС = — 6, С = — тйг, А = — т(Вг -ь 41ьг). 3 3 2 3 4 ' ' Г0 ' 20 Замечая, что в системе координат Охуг вектор шь имеет компонен- ты О, О., шы а вектор шг — — компоненты ыг сйпйо сйпуц огз сйпдо совр, шг сое Уо, можно три формулы (43) — (46) записать в виде одного вектор- ного равенства 'в г. Пвиже>гие вгеердого тела вокруг неподвижной точ>ги 209 Но П = О>5 = Вдйо, поэтому С = — дп1>эдйэ >д> А = — т1>г(4+ 16г гд). 3 2 3 2 ГО ' ' 20 Кроме того, О>К = Ь, в1п о> 14С = — В сов вв 4 Пусть вектор скорости центра основания конуса перпендикулярен плоскости рис.
105 и напрев ген на чита- > те>т. Так как движение происходит без скольжения, то лггновенная ось вращения конуса направлена вдоль его образующей ОХ. Величина угловой скорости най- О а> деток из равенств»с>, = в = и> О>П. Получим о 6гйио Ы> Конус совершает регулярную прецессию; Рис. 105 угловые скорости и>д и и>д собственного вращения и прецессии направлены как показано на рисунке.
Для их величин находим и> о совгд В в1д„ сов, ' и>э =ь>$агд = о 6 сов гд Угол нУтации У (Угол междУ и>д и и>г) Равен к/2+ гд. Прецессия совершается под действием силы в>взнести, реакции плоскости и реакции в неподвижной точке О. Моменпг Мс> этих сил может быть вычислен по основной формуле гироскопии (46). Нспользуя найденные вьгше значения величин А.
С, и>д, и>з и У, найдем модуль этого момента> дую = и>га» сова ~С вЂ” (С вЂ” А) — в1псд~ = — (1+ 5 сов >х). э>э, 1 3 твг 'по ,2 20 Вектор Мг> перпендикулярен плоскости рис. 105 и направлен на читате и. Отсюда. с учетом того, что сила тяжести направлена вертикально, следует, что искомая равнодействующая реакций плоскости и неподвижной точки О >гежит в плоскости рисунка. Пусть равнодействующая приложена в точке Я обр зующсй нонуса ОВ. Разложим сс на вертикальную составляющу>о Ж и составля>тцую Р, направленную по образующей. Величины Тгг и Г найдем, применяя теорему о движении центра инерции (и.
86). Вертикальное ускорение центра пгяжести равно нулю, поэтому >ч = тц; сила же Р вызьгвает нормальное ускорение центра 210 Глава Р11 тлзкести при его деизкении по окружности радиусом ЦСг г,. 2 Е. 3 то 46созст' Далее, сумма лсоментоа сил и', 21Г и тя относительно аси, перпендикулярной пзгоскос ш рисунка и проходящей через точку О, должна равняться )У ОЯ вЂ” гпя ОС = мО. Отсюда получаем расстояние точки 12' от вершины конуса: 2 ОЯ = — Ьсозп+ — '" (1+ бсоз О).
4 ' 20 дсозч О 10'Г. Об элементарной теории гироскопа. У гироскопов, применяемых в современной технике, угловая скорость собственного вращения обычно значительно превосходит угловую скорость прецессии, т. е. ср1 » огз. Если в этом случае пренебречь вторым членом в квадратных скобках в формуле (46), то получим (48) МО = Ссиг х шс. Эта формула лежит в основе элементарной, или приближенной, теории гироскопа и называется приближенной д)ормузсой гироскопии'.
Формула (48) сразу следует из теоремы Ревеля, если сделать основное допущение элементарной теории гироскопа, состонщее в том, что у быстро вращающегося гироскопа в любой момент времени мгновенная угловая скорость и кинетический момент направлены по оси динамической симметрии, причем КО = Сшы (49) Отметим некоторые свойства быстро вращающегося гироскопа. Пусть гироскоп закреплен так, что его центр тяжести совпадает с неподвижной точкой О.
Такой гироскоп называют уравновешенным. Пусть он вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью сит. Так как в данном случае ось симметрии является главной центральной осью инерции, то кинетический момент АО гироскопа направлен по оси симметрии, причем Асз = Сьзс. Последнее равенство является не приближенным, а точным. Если момент внешних сил относительно центра тнжести равен нулю, то вектор ЬО постоянен, и ось гироскопа сохраняет свое начальное направление в неподвижной системе координат.
с Если угол нутаиии Уо равен тссз, то форнусса с48) дает не ссриллиженноо, а точнов знечение длл МО независимо от того, выполннетсн неравенство асс )) ест или нот. З М. Движение твердого тела вокруг иеиодвижиоп точки 2!1 аа,' ГЬ,т Оа Сан (50) Так как РЬт - конечнан величина, а Сан - большая, то угол,З будет малым. Отсюда следует, что при кратковременном действии сил ось гироскопа практически сохраняет свое первоначальное положение в пространстве.
При длительном воздействии силы Р указанное свойство гироскопа не будет сохраняться продолжительно. Увеличением кинетического момента гироскопа Сиь можно только увеличить промежуток времени, по истечении которого отклонение оси гироскопа от ее первоначального направления не будет превосходить определенного значения. В технике характерным режимом работы гироскопа является работа в условиях длительно действующих постоянных или медленно менпющихся моментов, которые прн наличии достаточного кинетического момента гироскопа сообщают ему весьма медленную прецесснкь Это медленное изменение положения оси гироскопа является важнейшим Предположим, что к оси гироскопа ирн- а а' ложена сила Р, момент которой относитель- и но точки О равен М (рис.
106). Согласно фор- 17 ~ муле (47), вектор .Кп (а следовательно, и ось симметрии гироскопа, так как их паправления по предположению совпадают) будет отклоняться, но не в сторону действия силы, а Ь в ту сторону, куда направлен вектор М (т. е. перпендикулярно силе). В этом состоит одно О из интереснейших свойств быстро вращающегося гироскопа. М Если действие силы Р прекращается, то и ось гироскопа перестает отклоняться. Это Рнс.
106 тоже очень интересное свойство, так как в обычных условиях тело с прекращением действия силы продолжает свое движение по инерции. Пусть па быстро вращающийся гироскоп в течение малого промежутка времени т действует сила Р, причем величина Рт является конечной. Если плечо втой силы относительно точки О равно Ь, то ЛХ = РЬ. Конец а вектора Ьо приобретает скорость п„ модуль которой, согласно теореме Резвая, равен РЬ.
Точка а за время т переместится на расстояние аа' = пат = ГЬт. Учитывая, что Оа, равняется Сиь, получаем, что ось гироскопа за время т повернется на малый угол 3, определяемый равенством 212 Глава 171 (но не единственным) свойством гироскопа, широко используемым на практике. Рассмотрим гироскоп, вращающийсн вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью ыы Пусть гироскоп совершает прецессию за счет того, что тело, на котором он установлен, вращается с угловой скоростью ыз.
Необходимый для прецессии момент Мы создается силами давления, действующими со стороны тела на гироскоп. Этот момент может быть вычислен по основной формуле гироскопии (46). По третьему закону Ньютона гироскоп давит на тело, па котором оп установлен, с такими же по величине, но противоположно направленными силами. Эти силы создают момент Мг„м воздействующий на тело, вынуждающее гироскоп совершать прецессию.
Этот момент называют гироскопическим молентол. Очевидно. что М„,р — — — Моь В рамках приближенной теории гироскопа имеем (51) Мгир = Ошз х шз ° В заключение, опираясь на зле- 2 ментарную теорию гироскопа, рассмотрим задачу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижпой точки в случае Лагранжа 0 1см. п.
105). Пусть динамически симИз 7 метричное твердое тело весом Р имеет неподвижную точку О (рис. 107). В начальный момент оно расположе- Р но так. что ось симметрии Оз состав54о лает угол д с вертикалью. Пусть тело закручено вокруг осн симметрии с угловой скоростью ьЧ, направленной Рис. 107 как показано на рис. 107. Момент Мо силы тяжести Р при любом направлении оси Ол горизонтален. Следовательно, вертикальная ось ОЯ является осью прецессии.
Ось гироскопа движется по поверхности конуса с углом при вершине, равным 20. Направление движения указано на рис. 107 стрелками. Угловую скорость прецессии найдем из формулы (48). Момент Мз имеет величину Р ОО гйп0. Согласно (48), зта величина должна равняться Сьчи~з зш0. Приравняв вти два значения для Моь получим (52) Углован скорость прецессии не зависит от угла О. эх. Пвизкение твердого тела вокруг неподвижной точки 218 Таким образом, быстро вращающееся тяжелое твердое тело в случае Лагранжа совершает регулнрную прецессию.
Полученный вывод является приближенным. Он получен в предположениях элементарной теории гироскопов. В действительности движение гироскопа отличаетсн от регулярной прецессии. В частности, угол У не обязательно постоянен, он может изменяться в некотором интервале; колебательное движение оси симметрии гироскопа называется нутацией. О Рис. 109 Рис. 108 Пгимкг 1.
Гироскоп состоит из колеси радиусом В = 0,1м, делающего и = 100 оборотов в секунду. Рама гироскопа, не изображенная на рис. 108, свободно вращается вокруг неподвижной точки О, рисстонние которой 00ь от колеса гироскопа равно 0,2 м. Считая колесо однородным диском и пренебрегая массой рамы, определить направление и угловую скорость прецессионного движения, которое начнет совершать гироскоп, есл,и будет предоставлен самому себе при горизонтазььном положении плеча 00~. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с . Момент силы тяжести Мо горизонтален, перпендикулярен 00з и направлен как показано на рис.
108, его величина Мсз = тк ° 00ь, где т — масса колеса. Согласно формуле (46), для укизанного на рисунке направления вращения колеса момент Мо вызовет регу ярную прецессию гироскопа с угловой скоростью прецессии изз, направленной вертикально вверх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
