markeev_book (522779), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть движение происходит без скольжения. Тогда скорость точки Р касания тела и плоскости равна нулю. Это приводит к такому векторному уравнению свнзи: (37) е+ыхр=О. Уравнения (34) — (37) с учетом (32), (33) представляют собой полную систему уравнений, позволнющую определить двенадцать неизвестных системе координат Сл;уз компоненты ж, у., з. Уравнение поверхности, ограничивающей тело, в системе координат Слух запишем в виде 232 Глава $'71 Е = — гоа + г(Ть ы) — тЯр и) = сонэк 1 2 1 2 2 (38) Пусть теперь плоскость абсолютно гладкая.
Тогда реакция В ортогональна плоскости: (30) Уравнение связи выражает условие того, что скорость точки Х~ тела направлена горизонтально и имеет вид и (а -ь ы х р) = О. (40) Пусть Хр, 1о, Я, — координаты центра масс в неподвижной системе ОХ1 Х. Соотшнпепне (40) мол ет быть также представлено в форме равенства Го = — и .
(ы х р), (41) которое, ьак нетрудно видеть, является следствием геометрической ,„. г = (ри). Уравнения (34), записанные в системе координат ОХ1'Я, имеют вид Й =-д+Д. (42) Из первых двух уравнений следует, что в случае абсолютно гладкой плоскости проекция центра масс тела на опорную плоскость движется равномерно и прямолинейно. А третье уравнение с учетом соотношений (41) и (36) позволяет найти выражение для величины нормальной реакции: А" = тд — гии (ы х р+ ы х р+ ы х (ы х р)). (43) Уравнения (35), (36) с учетом (32), (33), (39), (43) образуют систему уравнений длн нахождения шести неизвестных р, д, г, к, у, л.
Еогда эти величины найдены, реакция и закон движения центра масс тела по вертикали определяются из (43) и (42) . величии: и, ал, е„р, д, г, к., д, з, Йе, К,„, Л, — компонент векторов о, ы, р, В в подвижной системе координат Скрз. Из теоремы об изменении кинетической энергии следует, что при отсутствии сколыкения полная моханическая энергия тела постонпна, т. е.
з 4. Движение тяжелого твердого тела Отметим, что в случае абсолютно гладкой плоскости помимо интеграла знергии (38) и указанных выше интегралов, связанных с движением проекции центра масс на опорную плоскость, есть еще интеграл„выражающий постоянство проекции кинетического момента тела на вертикаль: 144) Х ° н = соней Этот интеграл следует из теоремы об изменении кинетического момента, так как внешние силы, действующие на тело 1сила тяжести и реакции плоскости), направлены вертикально и пе создают момента относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела. Рассмотрим теперь случай движения тела со скольжением при наличии трения., подчиняющегося законам Кулона.
Пусть оо — о + ы х р скорость точки Р шара и птг ф О. Тогда реакцию плоскости В можно представить в виде (4ое) где Лн — нормальная реакция плоскости, а л — сила трения, которая при заданном козффицненте трения Й определяетсн равенством (46) Уравнение связи, как и в случае абсолютно гладкой плоскости, записывается в виде равенства (41), а величина пормадьной реакции вычисляется по формуле 143). При исследовании движения во всех трех рассмотренных случанх следует иметь в виду, что величина нормальной реакции плоскости должна быть неотрицательной.
В противном случае возможен подскок тела над плоскостью. ~ ЛЛВД У1П Элементы небесной механики В 1. Задача двух тел 115. Уравнения движения. Небесная механика изучает движение небесных объектов, естественных и искусственных, под действием сил гравитационного взаимодействия тел, сил сопротивлений, вызываемых наличием пылевых, газовых и других сред, сил светоного давления и т. и. Важнейшей для приложений задачей небесной механики является задача двух тел, а точнее — задача двух материальных точек. Задача двух тем состоит в следующем. В пустом пространстве движутся две материальные точки, притягивающиеся одна к другой по закону всемирного тяготения Ньютона.
Заданы начальные положения точек и их скорости. Требуется найти пололсепия точек для любого последующего момента времени. Эта задача явлнетсн основной в пробх Р г леме движения планет Солнечной системы и искусственных спутников Земли, Луны и планет, так как в большинстве случаев силы Р О взаимного притяжения планет, силы притя- л жения спутника Земли планетами„силы со- К противлении космической среды, силы свех тового давления и т.
и. малы по сравнению с силами гравитационного притяжении пла- О, у исты и Солнца или спутника и Земли. Замечательно то, что интегрирование Х дифференциальных уравнений движения в Рис. 120 задаче двух тел сводится к квадратурам. Для получения уравнений движения введем инерциальную систему координат О Ху л; се начало совпадает, например, с центром масс Солнечной системы, а оси направлены на неподвижные звезды. Положения материальных точек Р и О задаются их радиусами-векторами р и М соответственно (рис.
120). С точкой О свяжем поступательно движущуюся систему координат Охйз, оси которой параллельны соответствующим осям системы ОеХРЯ. Положение точки Р относительно точки О задается радиусом-вектором г. 235 З С:5адаза двух тел Пусть М и т — массы точек 0 и Р соответственно, а у — универсальная гравитационная постоянная. Со стороны точки 0 на точку Р действует сила У,определяемая законом всемирного тяготения: Со стороны же точки Р на точку 0 действует сила -Р. Радиусы- векторы р и Л удовлетворяют дифференциальным уравненинм М >дз гз 'у г~ ДЛ >нг »гз гз = у —,г. Так как г = р — Л, то отсюда следует, что — = — у — г — у — г = — у(т+ М) —.
ерг М >и г лев, 3, 3 гз Если ввести обозначение й = у(т + М), то получим >Рг йз гз' Это уравнение определяет движение точки Р относительно точки О. Если вектор-функция г = г(1) найдена, то определение движения относительно системы координат О,ХУУ не представляет труда. Действительно, пусть С вЂ” центр масс точек Р и О. Так как точки Р и О образуют замкнутую систему, то, согласно теореме о движении центра масс, точка С движетсн равномерно и прямолинейно; ее скорость полностью определнется вачальиыми скоростями точек О и Р. Если Во радиус-вектор центра масс, то р = Ле>+ >', 1С = Ле> — г.
М т ги+ М т+М (2) г хо=с. 116. Интеграл площадей. Второй закон Кеплера. Дифференциальное уравнение (1) описывает движение точки Р в подвил>ной системе координат Охух. Это уравнение можно (а для дальнейшего очень удобно) интерпретировать как дифференциальное уравнение движения точки Р относительно неподвижного притягивающего центра 0 под действием центральной силы, раниой — т>ег)гз. Согласно теореме об изменении кинетического момента, момент количества движения точки Р относительно точки 0 остается постоянным.
Отсюда следует, что 236 Глава ЛП са = уз — уз, св — — зт — зж, с, = ту — зу, (3) в которых правые части вычислпются для любого (например, начального) момента времени. Если с = св — — г, = О, то, очевидно, движение точки Р происходит по прямой, проходпщей через точку О. Если же хотя бы одна из величин (3) отлична от нуля, то вектор г во все время движения лежит в одной и той же фиксированной плоскости, которая перпендикулярна вектору с. Уравнение этой плоскости имеет вид с з + сву + с,з = О.
Таким образом, орбита точки Р является плоской кривой. Плоскость орбиты однозначно определпется вектором с, или начальным положением гв и скоростью ев точки Р относительно точки О. Выясним геометрический смысл интеграла площадей. Введем систему координат Отгул, совместив плоскость Олгу с плоскостью орбиты. т.„.;, =., = У . = Рдв-п(.=,Я+.„~',= ~;.~). ПВ- б-- угол, который радиус-вектор г составляет с осью Оз.
Тогда у = та1пд, з = гсоад, :г, = гсовд — 0гз1пд, у = гв1пд+дгсоад. Отсюда и из выражения для с; получаем полярную форму интеграла плошадей: 2 ЦВ а1 (5) Пусть теперь Р и Р' (рис. 121) — положения, которые занимает точка Р в моменты д и 1+ Ы, где Ы вЂ” малая величина. Для площади криволинейного треугольника ОРР' с точностью до величин первого порядка малости включительно относительно Ьд имеем выражение 3Я= 1 Ьд.
2 Разделив обе части этого равенства на 21 и устремив Ы к нулю, по- лучим НЬ' 1 зад — = — г 02 2 Ф' (6) Это соотношение носит название интегр ла площадей. В нем и = г— скорость точки Р относительно точки О, с — векторная константа интеграла плошадей. Проекции вектора с на оси системы координат Ощуз определяются по формулам 237 Гз 1. Задача двух тел Производная 83781 в механике называется секторной скоростью. Из (5) и (6) для нее получаем выражение дЯ 1 су. Фг 2' Таким образом, секторная скорость точки Р постоннна.
В этом состоит геометрический смысл интеграла плошадей. Отсюда следует второй закон Кеплера: площади, заметенные радиусом-вектором, иду- у щим от Солнца, к планете, пропорциональны промезкуткам времени, в которые они были за кете- 117. Интеграл энергии в задаче двух тел, Кинетическая и потенциальная энергия точки Р в ее движении относительно притягивающего центра О определяются равенствами т Т = — пго 1 г 2 Рнс. 121 Так как других сил, помимо потенциальных, нет и потенциал П не зави- сит от времени, то полная механическая энергия Е = Т+ П постоннна. Таким образом, в задаче двух тел существует интеграл энергии, кото- рый запишем в виде — —" = 6 (6 = совке).
г 26 (7) Константа энергии 6 определяетсн начальным положением и скоростью точки Р: г 26 6=в о сх г= — — (гхг) хт. 6 тз (8) Но таь как с х т = — (с х е) й а'1 Из интеграла (7) следует, что при удалении точки Р от точки 0 ее скорость убывает, а при приближении к точке Π— возрастает. Если 6 > О. то точка Р может уйти от точки 0 на сколь угодно большое расстонние. Если же 6 < О, то, как следует из (7), расстояние т мелчду точками Р и 0 не может превзойти величину 2ЙД6~, т. е. движение точки Р происходит в ограниченной части пространства.
118. Интеграл Лапласа. Из (!) и (2) следует равенство Глава у111 (г х г) х г = г(г ° г) — г(г ° г) = ггз — ггг = гз = 㙠— (г) равенство (8) можно представить в виде — (с х е) = — Й вЂ” ( —,) . Отсюда следует., что схе+Й вЂ”, и г (9) с 1=0, (10) т.е. вектор Лапласа ортогонален векторной константе площадей и, следовательно, лежит в плоскости орбиты. Модуль вектора Лапласа можно выразить через величину Й и постоянные 6, с интегралов энергии и площадей. В самом деле, учитывая ортогональность векторов с и е, из (9) имеем 2 =Й вЂ” +се + — (схе) г. Используя свойства смешанного произведения векторов и равенст- во (2), получаем (с х е) г = -(и х е) с = -с с = -сз. Отсюда и из (7) следует, что соотношение (11) может быть записано в виде (12) 119. Уравнение орбиты.
Первый закон Кеплера. При помощи интеграла Лапласа и интеграла площадей можно получить уравнение орбиты точки Р. Из (9) сразу следует, что при с = 0 орбита точки будет прямолинейной: г = — йу. Пусть с ф О, Умножим обе части интеграла Лапласа (9) й скалнрно на г. Получим равенство г( й Соотношение (9) называется интегралом Лапласа, а вектор у" вектором Лапласа. Знак минус в правой части (9) введен для удобства дальнейшего использования интеграла (9). Из соотношения (9) сразу следует, что 5 6 Задача двух тел Но., так как г (с х в) = — сг, это равенство можно записать в виде — с + 6г = — /гсови, ,г (13) где и — угол между радиусом-вектором г точки Р и вектором Лапласа у" (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
