markeev_book (522779), страница 37
Текст из файла (страница 37)
,7ля подсчета величины угловой скорости прецессии можно восвользоваться либо основной формулой гироскопии (46), либо формузгой (48) приближенной теории гироскопа (у нас У = к/2, и поэтому эти формулы совпадают). Получим Сщььог = ту 00ы 214 Глава УН Учитывия, что С = 1/2тйз, находим отсюда тд 00ь тд' 00ь 2 шз Сшг 1/2тНз 2кп И рамках приб щженной теории гироскопа У = сопзь и точка Оз будет описывать горизонтальную окружность в направлении, указанном сгпрелкой. При этом величина угловой скорости плеча 00з равна — —. 21 ко' Союз гир— р М,„г — — Сшь х шз, Гироскопический момент М, р горизонтален. Гироскопические же давления вертикальны, и при направлении вращения пропеллера, указанном на рис.
169, гироскопические давления при повороте авиамодели влево от курса стремятся поднять ее носовую часть вверх. 8 3. Движение свободного твердого тела 108. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Пусть требуетсн найти движение свободного твердого тела относительно неподвижной системы координат О,ХУл.
Согласно теореме П1аля (и. 21), любое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произволыюй точки тела (полюса), н движения тела вокруг этой точки как неподвижной. При описании движения полюс желательно выбрать так, чтобы его движение определялось наиболее просто. Из основных теорем динамики следует, что за полюс удобно взять центр масс. Действительно, согласно теореме о движении центра масс, последний движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы системы, а теоремы об изменении кинетического момента н кинетической энергии для движения вокруг центра масс (см.
определение этого понятия в и. 81) формулируются точно так же, как и для движения вокруг неподвижной точки. Пгимкг 2. Модель аэроплана, летящая со скоростью о, совершает поворот по горизонтальной окружности радиусом р. Момент инерции проке лера и мотора относительно их общей оси вращения равен С. Пропеллер и мотор вращаются с угловой скоростью шы Найти момент гироскопических давлений. Угловая скорость гьрецессии вертикальна и по величине равна о(р, угол нутации В равен к/2. Согласно (46), находим 21о З У. Движение свободного твердого теле Пусть М вЂ” масса тела, ос — - скорость центра масс, Ьс кинетический момент тела в его движении относительно центра масс, т.
е. (см. и. 81) относительно системы координат, которая имеет начало в центре масс тела и движетси поступательно. Если В(" и М ' — глав(е! (в) ный вектор и главный момент внешних сил относительно точки С, то из теоремы о движении центра инерции (и. 86) и теоремы об изменении кинетического момента (п. 87) имеем два векторных дифференциальных уравнении 41гс М(е) с . М г(нс ~(е) г1( МД 1'с У(2 азу гР Хс у(2 Пусть СХУЯ вЂ” поступательно движущаяся кенигова система координат, а Слуг . система координат, жестко связанная с движущимся телом. Если р, д, т — - проекции угловой скорости тела на оси Сш, Су, Сг, а Мг, Мо, М, --- компоненты вектора М в системе координат Слуг, (е) то второе уравнение из (1) запишетсн в виде уравнений (3) п.
97: Л вЂ” ( — Л „д — Уе, 1( + (А — А,)тУ'+ 1„,(т — Ч )+ " Д( -(-р(.1. „т — Д д) = М,, — Яео — -(-,Уо — — .1и„— + (Д вЂ” Дг) тр )- Уе,(р — т )-)- г(р г(Ч е(т, 2,,2 е" Д( оа 'о" г1( * ' " (3) +д(уо,р — Д,„т) = Мо, — 1е* 1( — Ли.—,,( + 1' — „'+ (Уо — 1.)т+ ~е (9 — р )+ +т(Я гУ вЂ”,Уо Р) = М . Зпесь,1е..Уо,,У„,Уео, Уе .,Ре, — компоненты тензоРа инеРции тела для центра масс в системе координат Свуг. Если оси Св.. Су, Сг главные оси инерции тела для центра масс, то уравнения (3) упрощаются и принимают вид динамических уравнений Эйлера (4) и.
97. Если Хс, Ус, гс —.- координаты центра масс тела в неподвижной системе координат ОоХУЯ, а В„Во, В, - проекции вектора В(") на оси О„Х, О,У, О,Я, то первое уравнение из (1) запишется в виде следующих скалярных уравнений: Глава И1 В уравнениях (3) величины р, В, г можно заменить па их выражения, задаваемые кинематическими уравнениями Эйлера р = йз!пдз1пю+ деваю, о = фг1пдсоаю — дашю, г = у) саад + ф. (4) Углы Эйлера, задающие взаимную ориептаци1о систем координат Схух и СХУ7. вводится обычным образом.
Уравнения (2) — (4) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающую движение свободного твердого тела. В общем случае правые части уравнений (2), (3) зависят от величин Хю, Ус, Ею, ф, д, р, их первых производных и времени, и в этом случае систему уравнений (2) -(4) надо решать совместно.
Но в простых случаях возможно раздельное интегрирование систем (2) и (3) — (4). Например, пусть свободное твердое тело движется в однородном поле тяжести. Единственной внешней силой, действующей на тело, является сила тяжести, приложенная в центре масс и направленная по вертикали вниз. Если ось О,Я направить по вертикали вверх, то уравнения (2) примут вид дРУ Рг„, йгг ' йгг йгХс 1 дгз где л ускорение свободного падения. Отсюда следует, что прн произвольных начальных условиях центр масс тела будет двигаться по параболе.
А так как момент Мю силы тнжести относительно центра масс равен нулю, то движение тела вокруг центра масс будет движением Эйлера — Пуансо. Если твердое тело несвободно, то величины Хю, Ус, Яо, дь д, р и. может быть, их производные связаны некоторыми соотношениями. Уравнения движения по-прежнему имеют вид (2) — (4), но в правые части уравнений (2) и (3) войдут реакции связей.
Пгимвг 1. В момент метания диска его плоскость занимает горизонтальное положение, а центр диска находится на высоте й над поверхностью Земли. Вентру диска сообгцена горизонтальная скорость ао, а сам диск закручен с угловой скоростью ьзо, составляюгцей угол 6 = к/4 с его плоскостью. Векторы оо и соо лежат в неподвижной вертикальной плоскости О,Уг (рис. 110). Считая диск тонкой однородной пластинкой, найти его двизкение. Влиянием воздуха пренебречь. В неподвижной системе координит О„ХУЯ, плоскость ОьХУ которой совпадает с горизонтальной поверхностью Зем ш, а ось О,Е вер- 217 З 3. Движение свободного твердого тела Рис.
110 Рис. 111 тикальна, центр ласс диска С двизкется по параболе Хс(1) — О, 1'с(1) — ~ой+ 1'с(0), ~с(1) — й — 2 а~' Движение диска относительно кениговой системы координат СХ«гЯ, оси которой параллельны соответствующим осям системы координат О,ХУУ, является регулярной прецессией. Оси жестко связанной с диском системы координат Схуг, образованной главныли центральными осями инерции диски, направим так, чтобы в момент метания диски 1 = О ось Сх совпадала с осью СУ, ось Су совпадала с осью СХ, а ниправление оси Сг было бы противополонсно направлению оси С7 кениговой системы координат (см. рис. 110 и 111). ,7ля главных центральных моментов инерции диска имеем: д, = = 2д = 2дз — — 1)2тйз (т ласса диска,  — — его радиус).
Так как,У, ),Уг, то Угол У междУ вектоРами ьоз и агз, согласно и. 100, тупой (рис. 111). Па рис. 111 показана ориентация вектора со относительно диски при 1 = 0; имеем: р = юо сов д, д = О, е = хо = — юа в!пд. Поэтому для неизменного модуля кинетпического момента диска .Кс получаем: ис= 21Е Глава РП Формулы (13), (15) и (16) и. 100 дают: соеу = — =— дзге 2з1пб чг~ за ю' ,7е — д, шз = ' га — азо ззп б. ьзз = — =шо 1ч-3з|п б, Хс 2 Уе с от б 2 ззпб чт+эйР3 Й+зыб) Подставив в полученные выражения заданное значение угла б, рав- ное к/4, получим, что в кекиговой системе координагп диск совершает регулярную прецессию: /ГО .,/2 зр=ьзг = 2 шо зз = ьзз = ьзс' 2 0 = и — вгссоз —, 2 ъ'5 ось прецессии определяется векторол е' = (О, 1/ч/5, 2/ч/5).
109. Плоское движение тела. Пусть все точки тела движутся параллельно плоскости О,ХУ. Получим дифференциальные уравнения, описывающие это плоское двизкение тела. Без ограничения общности можно считать, что центр масс тела движется в плоскости ОьХУ, поэтому Яс = О. Также можно считать, что оси Сю, Су связанной с телом системы координат Слуг движутся в плоскости О„ХУ, т. е. ось Сг перпендикулярна этой плоскости. Тогда, полагая 0 = О, ф : — О, из кинематических уравнений Эйлера (4) имеем ЧьнО, г=~р. (5) Подставив гс = 0 в уравнения ~2), а выражения (5) для р, у, г в урав- нения (3), получим М =Л», М, =Л„Ли=О.
дХс 0~с 01~ П1з (О) 2 2 (7) Вектор Хю задает ось прецессии. Он имеет неиз кенное направление в пространстве: лежит в и ьоскости СУХ и составляет с горизонтальной осью СУ постоянный угол, равкый 0 — к/2. Для единичного вектора е, направленного вдоль Хсз, получаел в системе координат СХУЯз 219 З Уь Движение сволодного твердого тпела Последнее уравнение из (6) и первьье два уравнения из (7) налагают ограничения на геометрию масс тела, внешние силы и частично на начальные условия, при выполнении которых плоское движение тела возможно.
Остальные три уравнении 3 йзХс Л Мз Мд 1'с Фз являются дифференциальными уравнениями плоского движении твер- дого тела. Пгимкг 1. Тело совершает плоское движение под действием постоян- ной во величине и направлению силы х'. Линия действия силы лежит в плоскостц проходящей через центр масс тела и параллеггьной плоскос- ти его движения (рис. 112). Определить движение тела. УА Рис. 113 Рис. 112 Пусть т — масса тела, и — расстояние от центра масс до точки приложения силы, Л момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскости движения. Напишем уравнения движения тела (8).
Напривление оси О„Х выберем так, чтобы оно совпадало с направлением силы К (рис. 112). Тогда тХс = Г, тУс = О, Яр = — Гааоььз. Хс(1) = + Хс(О)1+ Хс(О), Ус(1) Ус(О)1+1с(О); Из первых двух уравнений следует, что центр масс тела будет (при Ус(0) ф- 0) двигаться по параболе 220 Слава МП если 1'э(0) = О, то центр масс движется с постоянным ускорением Гьпг вдоль прямой, параллельной оси ОьХ, и за время 1 пройдет Гяг путь я = ' + Хс(0)1 2т.
Одновременно тело вращается относительно центра масс; это вращение описььвается третьим из написанных уривнений двиксения тела. Сравнивая это уравнение с уравнением движения математического маятника (уравненпе (6) п. ос7), видим, что относительно центра масс тело движется как математический маятник длиной 1 = д'К/(™). ту = Хв — ту, — та ф = — — Мл а соя ьр + — Цьв и яйп ьр.
1 2 1 1 12 2 2 72гх = ьчл, Но х = — аяшьр, у = — псояьр; 1, 1 2 ' 2'г х = П(соя ьр ф — яшьрфг), у = — П(яшьр ьр'+ сояьр фг). Поэтому из первых двух уравгьений движения стержня имеем л 2та(сояяг ф — я1ггуг ° ф ), ьггв ту 2гпа(я1ггьр Ф+сояуг 9 1, ° э . 1,, - 2 Подставив эти выражения для ьггл и Лгв в третье, из уравнений движения стержня и учтя, что прая = 0 ьр = ец ьр = О, получим, что при 1= 0 3у, ф = — чгпы 2а" Следовательно, искомые начальные значения величин ьчл и Юв будут такими: ьчл = — гщ ягпыыыясг, =3 4 ьчв = ту ~1 — — ьгп ы), ь 3, э 4 Пгигявг 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
