markeev_book (522779), страница 33
Текст из файла (страница 33)
96): Ар = Ко чгл й л1п ~рч Лу = Ко тйпд соз р, Сч' = Ко сову. (11) 192 1'лава Ь'11 Из последнего уравнения системы (6) при А = В следует, что 112) г = го = сопв$, т. е, проекция угловой скорости теле на ось его динамической симметрии постоннна. Из (12) и третьего из равенств (11) получаем сову = Сто/Кы = сопл|, т. е.
угол нутации постонпен. При В = Во = сопвь, г = ге = сопв1 кинематические уравнения Эйлера (5) запишутся в виде Р = гРв1пуав1пВг, У = гРвпзВосовьг, го — — гйсовуо+ Вг (14) Подставив выражение для р из (14) в первое из равенств (11), получим (15) ф = Ко/Л = ыг = сопвж Величина ыз называется угловой скаростые прецессии. Последнее из равенств (14) позволяет теперь найти величину аг. Получаем., воспользовавшись формулами (! 3) и (15), ~р = ге — фсовуо — — го — совуо = Ко А (16) С А — С, = го — — го —— Л Л го = из = сопвь. 0 Величина ыз называется угловой скоростью собственного вращения.
Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, состоящее из его вращения вокруг оси, неизменно связанной с телом, и движении, при котором эта ось вращаетсн вокруг пересекающей ее оси, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называют прецесрис. 9 сией. Прецессия называется регулярной, если вращение тела вокруг неизменно связанной с ним оси и вращение самой втой оси происходят с постоянными по модулю угловыми скоростями.
Таким образом, динамически симметричное тело в случае Эйлера совершает регулярную прецессию. В втой процессии ось симметрии тела описывает круговой конус с осью Хо и углом при вершине 2Ве, движение оси симметрии вокруг Хр происходит с постоянной угловой скоростью агз, одновременно тело вращается с постоянной угловой скоростью агз вокруг оси симметрии. 2 У. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 193 тг р2 з-у2 /р2 ~ 2 Сг Л Аъ/рГ+ Ч2 < О., е1пд = 1— Ко КО 2 д = А чгр'+ у < О С то созВ = — < О, ьйпВ то созд = Сто О Поэтому 1К)4 = У1Кд.
Здесь у = С/А. По условию задачи С > А, и так как моменты инерции всегда удовлетворяют неравенству А + В > С (см. и. 79), из которого при А = В следует, что 2А > С, то величина у удовлетворяет условию 1 < 7 < 2. Теперь несложно получить следующую цепочку соотношений: 1Кд-2КП 1Кд — и'- П) -1+ гКдгКР - ('- ~)1+ 7182 дв — 2,Т7~2кд~ 1 ( 1 ~ 1 ( 1 ~,г2 (;, 1 (л 1= 2Ч/7 1+ ( С„д)2 2 ~ /7гг 2 ~ ит2гг 4 ' Отсюда следует, что угол О между образующей и осью неподвижного аксоида удовлетворяет неравенству сь < агсьК(~/2/4) = 19'28'.
101. Геометрнческан интерпретация Пуансо. Пуансо дал замечательную геометрическую интерпретацию движения твердого тела в случае Эйлера. Эта интерпретации очень наглядна и позволяет довольно просто выявить качественный характер движения твердого тела в Пгимнг 1. Покажем, что при движении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции при условии А = В < С угол между образующей и осью неподвилтого аксоида не может быть больше >9'28'. Из соотношений (1;Ц, (16) и (16) следует, что при А < С постоянный угол между угловыми скоростями собственного вращения и прецессии шг и изз тупой (рис.
97). Пусть Π— угол лгежду угловой скоростью тела и2 и вектором шз,. он равен углу между образующей и осью нелодвшкного аксоида. Пуквой З обозначим угол между векторами и2 и и22. Из того, что нри регулярной прецессии угол иутации д и модули угловых скоростей, ш, и шг постоянны, следует, что величины из, сг и В также посгпоянны. Имеют место соотношения Глава д11 случае Эйлера.
Поэтому само движение тела в этом случае называют двнгкениелг Эйлера †!!уансо. Пусть Р— точка пересечения мгновенной оси вращения с поверхностью эллипсоида инерции тела для точки О (рис. 98) Ахг + Вдг + Сг~ = 1. Обозначим я плоскость, касательную к эллипсоиду инерции в точке Р. Ее называнп плоскостью Ыуансп. Отметим следующие свойства (рис. 98) рассмат- О риваемого движения.
I 1. Величина угловой скорости ы пропорциональна длине радиуса-вектора точки Р относительно О. 'Я Действительно, так как векторы ОР и аг коллинеарны, то ОР = Лы, и надо только показать, что Л вЂ” посто- К яннан величина, Подставив координаты точки Р: хр = Лр. др = Лу, г~ = Лг Рнс. 98 в уравнение эллипсоида инерции и воспользовавшись интегралом (9), получим Лг( 1дг + Вг1г + Сгг) Л = = сопят. ъ'2Т 2Ахр 2Вдр = 2Л 2Сгр Ар Ву Сг = 2ЛКо. 3.
Проекция ОО радиуса-вектора ОР на направление кинетического момента Ко есть величина постоянная. В самом деле, воспользовавшись формулой (19) и. 84 и интегралом (8). получим Ко О!' Л Ко ы Л 2Т ъ'2Т = соиа$. Ко Ко Ко Ко 2. Плоскость я перпендикуллрна кинетическому моменту Ксг, Для доказательства достаточно заметить, что вектор Ж, равный градиенту функции Ахг + Вдг + Сгг, вычисленному в точке Р, направлен по нормали к плоскости к.
Но )) 3. Движение твердого тело вокруг келодвижкол точки 195 рг [(2ТС вЂ” Коз) В(С вЂ” В)уз), гз = 1 [(Коз 2ТЛ) В(В А)уг1 (17) Опроделяемые отсюда значения р и г подставим во второе уравнение системы [6). Получим дифференциальное уравнение для у с разделяю- щимисн переменными йЧ 1 В ч'АС (18) х [[2ТС вЂ” К~) — В(С вЂ” В)г7д) [[Ко — 2ТА) — В[ — А)дь). По винстический момент Кн имеет неизменное направление и, согласно второму свойству, порпенднкулярен плоскости и. Поэтому плоскость и, ввиду постоянства ее расстояния от неподвижной точки О, сохраняет неизменное положение в пространстве. Таким образом, приходим к следующей, полученной Пуансо, геометрической интерпретации движения твердого тела в случае Эйлера: эллипсоид инерции длл неподвижной точки катится йеэ скольжения по плоскости, неподвижной в пространстве; эта плоскость перпендикулярна кииетическолу лолеиту; угловая пгорость тела пропорциональна длине радиуса-вектора точки касания, а по направлению с кил совпадает.
Движение зллипсоида по плоскости ог происходит без скольженин, так как точка Р лежит на мгновенной оси вращения, и поэтому ее скорость равна нулю. При движении тела точка Р на зллипсоиде инерции вычерчивает кривую, которая называется полодией. Ооответствугошая кривая на плоскости к называется герполодией. Так как точка Р лежит на мгновенной оси вращения, то ясно, что полодия служит направляющей подвигкного аксоида, в герполодин направлнющей неподвижного аксоида для движения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. и. 26). 102. Интегрирование уравнений Эйлера. В и. 99 и 100 уравнения Эйлера (6) рассматривались в частных предположениях о движении тела или ого геометрии масс.
Получим теперь аналитическое решение уравнений (6) в общем случае. Будем для определенности считать, что А > В > С. Из первых интегралов [8) и (9) выразим величины р' и гг через уз, А, В, С и постоянные Т, Кок 196 Глава РВ К~~ — 2ТС В( — С) и введем положительный параметр Йз < 1 согласно формуле г ('1 В) (Ко — 2ТС) ( — С) (2ТЛ вЂ” К' ) В новых переменных уравнение (18) запишетсн в виде — 1 — й вш Л. 4Л Йт (! 9) Пусть при 1 = О 9 = О. Тогда из (19), согласно п. 9о, получаем Л = агпт. Решение уравнений Эйлера (6) в рассматриваемом случае записывается через эллиптические функции Якоби в виде Ког 2ТС Ког — 2ТС р=~ си(т, Й), 9=~ вп(т, й) Ко г = С(А С) Йп(т, Й). (20) Если это уравнение проинтегрировано, то функции р и г найдутся из равенств (17).
При этом при навлечении квадратных корней перед раз дикаламн возможны два знака: плюс 1 или минус. Конкретный выбор этих и знаков делается при помощи уравнений (6). Рассмотрим три случаи, соотРис. 99 ветствуюших различным соотноше- ниям между постоянными Т и Ко. 1. 2ТВ > Крг > 2ТС. В этом случае величина г всегда отлична от нули и полодии заключают в себе наибольшую ось Ог эллипсоида инорции. Все полодии расположены на эллипсоиде инерции в областях, обозначенных па рис. 99 цифрами 1 и П. Для интегрирования уравнения (18) сделаем замену переменных у у 1М. Движение твердого тема вокруг неподвижной тонки 197 2ТА Ког д=т ппЛ, г= Тогда, если ввести параметр н~ ( 1 по формуле ( — С) (2ТА — Ко) (А В) (Коз 2ТС) ' то уравнение (18) примет вид (19), и если принять, что при 1 = 0 9 = О, то решение уравнений (6), соответствующее полодинм из области П1 на рис.
99, будет иметь вид Ког 2ТС 2ТА Ког р = с1п(г, Й)г о = + вп(г, Й)г А(А — С) ' ' В(А — В) ' 2ТА Ког С(А — С) ( ' ) (21) Здесь одновременно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки. Чтобы получить решения уравнений (6), соответствующие полодиям, расположенным в области 1У на рис. 99. нужно величину 9 оставить такой же, как и в (21), а у р и г одновременно изменить знаки. Если Ко — — 2ТА, то полодии вырождаются в точки., лежащие на г оси От и отвечающие стационарным вращениям тела вокруг оси От. Заметим, что в двух рассмотренных случанх величины р, дг г периодические функции времени, поэтому полоции представляют собой замкнутые кривые. Отметим также, что картина расположения Здесь одновременно берутся либо только верхние.
либо только нижние знаки. Решение (20) соответствует полодиям, расположенным на рис. 99 в области 1. Для получения решения, соответствующего полодиям, расположенным в области П, надо в формулах (20) величину 9 оставить без изменения, а у р и г одновременно изменить знаки. Направление движения по полодиям показано нв рис. 99 стрелками. Если Ко — — 2ТС, то полодни вырождаются в две точки, совпадающие с г вершинами эллипсоида, лежащими на оси Ог, Они соответствуют стационарным вращениям твердого тела вокруг осн Ог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
