markeev_book (522779), страница 31
Текст из файла (страница 31)
,7„ьо = ЛХ,. Последнее уравнение не содержит реакций и явлнется дифференциальным Я' уравнением вращения твердого тела воь круг неподвижной оси. Остальные пять А уравнений служат длн нахождения реаки ций. Последняя задача является неопредеРи ~С ленной. Действительно, из третьего уравнения системы (3) видно, что нельзя оттд дельно найти продольные реакции Л и Р1„ Я' а можно определить лищь их сумму. Эта О сумма не зависит от характера враща- У тельного движения тела. Поперечные реакх ции Ре, Рге, Р, Е1ь находятся из перворис. 92 го, второго, четвертого и пятого уравнений системы (3); они зависят от вращения тела. Пгимкг 1.
Равнобедренный прялгоугольный треугольпиик ООзА врищается вокруг вертикальной оси, к которой он подвешен катета к относительно точки О равен нулю. Пусть в связанной с телом системе координат З й Вращение твердого тела вокруг неподвижней оси 00, = а (рис. 92). Какова должна быть угловая скорость вртцвния, чтобы боковое давление на нилгнюю опору 0 равнялось нулюр Треугольник считать тонкой однородной пластинкой. Для решения зидачи воспользуемся уравнениями (3). Н рассматриваемом случае ус = а/3, кс=О, д = О, а для дз получаем а а з =)д.а = — 1 * кргр)з* 2т / а е о а аг/ 4 е Далее, И, = — гард М = — — туо,, Мп — — М, = О. 1, Учшпгквая еще, что по условию задачи Рь = Кз — — О, получаем уравнения (3) в виде — гтау = г1а, 1 3 1 г — — таф = 'с1г, О = — ту+ г', + см, — та ф = — — туа — аХь 1 2 ° 2 1 4 г~ 2- 4 — — та ф=оГ, даф = О.
ю = 2ч/фа. 92. Условия, при которых динамические реакции равны статическим. Если в первом, втором, четвертом и питом уравнениях системы (3) положить ьз = О., ьз = О, то получим систему уравнений для определенин поперечных статических реакций. Если же тело вращаетсн, то либо ~р, либо ~р, либо та и другая из этих величин не будут равными нулю. Поэтому левые части упомннутых уравнений в общем случае ие будут тождественно равными нулю во все время движения и, следовательно, динамические реакции отличекхгсн от статических.
Из последнего уравнения следует. что ф = оз = сопл|, т. е. вращение треугольника происходит с постоянной угловой скоростью. Исключив из второго и четвертого уравнений величину Е~т придем л соотношению, определяющему величину угловой скорости. Окончательно найдем, что 180 глава $71 Найдем условия, при которых динамичоские реакции равны статическим.
Приравнивая нулю левые части первого, второго, четвертого и пятого уравнений системы (3), получим следующие две пары равенств: дсФ+кср =О, 2 2 ,т.„Р-йе,р =О, — дсР -~-всР = О. ,7 е р~ +,У,у = О. (4) (5) Равенства (4) и (5) можно рассматривать ьак однородные системы линейных уравнений соответственно относительно вс, дс и де,, де,. Определители этих систем одинаковы и равны величине рг + р~. Если тело вращается, то эта величина не может быть тождественно равной кулю. Поэтому равенства (4) и (5) удовлетворяются только при выполнении условий д. =д„=О. вс =ус =О, епцо у+ вшьг = О.
,Уе (6) Сравнивая это уравнение с уравнением движения плоского математи- ческого маятника, которое задается равенством (6) и. 57, находим, что физический маятник будет колебаться по такому же закону, что и ма- тематический маятник длиной та' (7) Величину 1, определяемую по формуле (7), называют приведенной длиной физического мантника. 94.
Фазовая плоскость для уравнения движения мантника. Для выяснения общих свойств движения систем с одной степенью Таким образом, динамические реакции при вращении епвердого тела вокруг неподвилгной оси равны статическим тогда и только тогда, когда ось вращения является гливной центральной осто инерции тела. 93.
Уравнение движения физического маятника. Физическим маятником называется твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести. Выберем неподвижную систему координат ОХ1'л таь, чтобы ее ось ОЯ совпадала с осью вращении мантника, а ось 01' была направлена вертикально вниз. Связанную с маятником систему координат Отде выберем так, чтобы пеитр масс маятника лежал на оси Од, а оси Ол и ОЯ совпадали. Тогда если и — расстонние от центра тяжести до оси вращения, то ЛХ„= — гадивши, и из последнего уравнения системы (3) получим дифференциальное уравнение движения физического маятника в виде З Е Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 181 свободы очень удобен метод фазовой плоскости. Рассмотрим его на при- мере анализа дифференциального уравнония х = У(х).
(8) Будем считать, что правая часть этого уравнения удовлетворяет условию существования и единственности его решения. Можно считать, что уравнение (8) описывает движение в системе с одной степенью свободы, в которой х играет роль обобщенной координаты, а кинетическая и потенциальнан знергип определены равенствами Полная механическая энергия Е = Т + П постоянна во все время дви- жения, т.
е. уравнение (8) имеет первый интеграл (9) Е(х, х) = — х, + П(х) = 6 = сонэк Уравнение (8) эквивалентно системе двух уравнений (10) х=д, д= р(х). Плоскость с координатами х, 9 называетсн гразовой плоскостью уравнения (8). Точки фазовой плоскости называются фазовыми тачками. В каждой точке плоскости, где определена функция г(х), система (10) задает вектор с компонентами г:, у; этот вектор называетсн фиговой скоростью. Решение системы (10) задает движение фазовой точки по фазовой плоскости, причем скорость движении фазовой точки равна фазовой скорости в том месте плоскости, где в данный момент находится точка. Кривая, которую описывает фазован точка, называется фаговой кривой.
В частных случаях фазовая кривая может состоять из одной точки. Такие точки называются положениями равновесия. Вектор фазовой скорости в положении равновесия равен нулю. Интеграл (9) позволяет легко находить фазовые кривые. На каждой фазовой кривой значение полной механической энергии Е постоянно, поэтому каждая фазовая кривая целиком принадлежит одному уровню энергии Е(х, х) = 6,. Запишем интеграл (9) в виде т.' = 2(6 — П(х)). (11) Совокупность фазовых кривых обладает следующими свойствами, ко- торые полезно иметь в виду при анализе уравнения (8), 182 l'лава ГЛ !. При данном 6 фазовые кривые могут располагаться только в той части фазовой плоскости, где выполняется неравенство П(т) ( 6,.
Эту часть плоскости называют областью воэможности да ксения. Неравенство П(ж) ( 6 следует из того, что длн реальных движений правая часть формулы (1Ц нс может быть отрицательной, так как ее левая часть есть квадрат вещественной величины. 2. Как видно из системы (10), положении равновесия лежат на оси т фазовой плоскости, причем в положении равновесия к = з„, где х„— критическая точка потенциальной энергии, т.
е. такан точка, в которой сй!Як = О. 3. Если к = к„является точкой локального минимума функции П(т), причем ЫзП/4т~ > 0 при к = к„то точка (т,„., 0) на фазовой плоскости будет особой точкой типа центр для системы (10). Если жо т = к, — точка локального максимума и н ней НзП/г!тз < О, то (к„, 0) — особая точка типа седло.
4. Совокупность фазовых кривых симметрична относительно оси т. Это свойство вытекает из формулы (11) ввиду четности входящих в нее величин относительно зь 5. В точках оси к, отличных от положений равновесии, фазовые кривые ортогональны оси зь Это свойство сразу видно из системы (10), так как в зтих точках т = О, у = 1(к) ф О. Перечисленные свойства поз- П(гс) воляют по виду графика функ- ции П(к) сразу делать выводы о л, 6, характере движения, описываемого уравнением (8). На рис. 93 для 6, примере показаны график потен- циальной энергии и соответствуюх щие фазовые кривые. Направления ' 6, движения фазовой точки показаны стрелками.
При 6 = 6з есть л, положение равновесия типа центр. л, Это положение равновесия окружено замкнутыми фазовыми кривыми. При 6 > 6з фазовые кривые разомкнуты. На уровне знерРнс. 93 гни 6 = 6з есть положение равновесия типа седло. На уровне 6 = 6з расположена также фазовая крнван, начинающаяся вблизи седловой точки и при ! — > ос входящая в эту точку. Эта кривая отделяет область, где расположены замкнутые кривые, окружающие точку типа центр, от разомкнутых фазовых кривых., соответствующих значенинм 6, большим 6з.
Такие кривые, которые раз- З 1. Вращение теердого тела вокруг ненодеиггной оси 183 деляют области с различным характером поведения фазовых кривых, называют сепаратрисалги. Построим фазовую плоскость длн дифференциального уравнь ния (6), описывающего движение маитника. Длн кинетической и потенциальной энергии мантника имеем выражения П = — пг8а сов ~р. Если положить огоз = 8~1, П* Т + П = сопа1 запишетсн в виде -иго сезар, то интеграл энергии 2 2 — зо + П' = 6 = сопя1.
(12) ~р еог' Ь=- ог,г Рис. 94 График функции П*(~р) и фазовые кривые представлены на рис. 94. КаРтина фазовых кРивых пеРиодична по ео с пеРиодом 2гг. ПРи 1г < — ыоз движение невозможно. При 6 = — игоз маятник находитсн в положении равновесия, когда его центр масс занимает самое низкое из возможных положений.
На фазовой плоскости ео,,о этому положении> равновесии соответствуют точки, в которых ео = 2йк (к = О, т1, т2, ... ), а ф = О. Это точки типа центр. Они окружены замкнутыми фазовыми кривыми, соответствующими колебаниям маитника. Колебательным движениям маятника соответствуют значения бо удовлетворяющие неравенству — ыо < Д < ыо. При 6 = ог~ возможны два типа движений.
Один соответствует положению равновесии маятника, когда его центр масс занимает наивысшее возможное положение. Этому равновесию на фазовой плоскости соответствуют точки ~р = и+ 2Ьг (к = О, т1. т2, ...), р = О. Это точки типа седло.
Для другого типа двигкений при 6 = ыз центр масс Глава «Я мантпика асимптотически при 1 — > ос стремится запить наивысшее положение. Асимптотическим движениям на фазовой плоскости соответствуют кривые, соединянпцие точки типа седло. Этн кривые нели|отса сепаратрисами. При й > ыг движение маятника будет вращательным. Для этого движения абсолютная величина угла р монотонно возрастает. Этим движенинм на фазовой плоскости соответствуют незамкнутые кривые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
