markeev_book (522779), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При изменении центра кинетический момент изменяется. Найдем зависимость между его значениями для двух различных центров А и В. Пусть р л и р„л радиусы-векторы точки Р„соответственно относительно центров А и В. Тогда 1Ч Я Ха=фрахте =~(рл+ВА)хт е Я Ж рычхт е +ВАх ~ т е,=Хл+ВАх 9. ы=1 Таким образом, (4) Хв = Хл + ВА х ьд. Установим связь между значениями кинетического момента системы относительно какого-либо произвольного центра и относительно центра масс системы. Предварительно введем важное здесь и в дальнейшем понятие движения системы относительно ее центра льасс.
Таким движением называется движение точек системы относительно поступательно движущейся системы координат с началом в центре масс системы. Эта система координат называется еще нвниговой системой координат. Покажем, что абсолютный кинетический момент Кв системы относительно центра масс С равен относительному кинетическому моменту Кс„относительно С. Действительно, пусть ес — абсолютная скорость центра масс, е, — абсолютная скорость точки Р, системы, е „ — скорость точки Р в ее движении относительно центра масс.
В силу того что кенигова система координат движется поступательно, переносные скорости всех точек системы одинаковы и равны ес. Поэтому абсолютная скорость точки Р, участвующей в сложном двиокении, будет определяться формулой (б) 1ои2 Глава УГ Пусть р „— радиус-вектор точки Ри относительно центра масс. Тогда к Ьс, = ~~1 Р „Х тие„.
(6) и=1 Вычислим теперь абсолютный кинетический момент системы относи- тельно точки 01 М Я гс л' Рит х 1п ои= л' Рии ххах(ос+а,и) = и=-1 и=1 (7) Ю Ж П1ирии Х аС Ь Х ЛР и Х ™иам" и=1 и=1 Так как центр масс находитсн в начале кениговой системы координат Я (рс, — — 0). то 2 т р, = Мрс, = 0 и, следовательно, из (6), (7) и=1 вытекает, что Кс = Ас . Замечен, что М Е Еии М оси т. е. количество движения системы в ее движении относительно центра масс равно нулю, из (4) получаем, что кинетический момент системы в ее движении относительно центра масс одинаков длн всех точек пространства и, согласно предыдущему, равен Кс.
Поэтому абсолютный кинетический момент системы относительно центра 0 равен сумме ее относительного кинетического момента (одинакового для всех точек пространства) и момента вектора ьГ относительно центра 0 в предположении, что он приложен в центре масс системы. 82. Кинетический момент твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки.
Примем неподвижную точку О тела за начало системы координат Окуз, оси которой неподвижны относительно тела. Пусть р„ — радиус-вектор точки Р„ тела относительно начала координат, его проекции на оси Ол, Ой, Оз обозначим х, д, з . Проекции мгновенной угловой скорости 1а тела на те же оси обозначимр, д, г. Вычислим кинетический момент тела относительно точки О. Учитываа, что скоРость ои точки Ри Равна а1 х Р, имеем 1Х Ф Я ЛС=~~1 РиХт а„=~~1 Р Хт,(1аХР )=~~ т Р Х(ШХР ). и=1 Ч й Основные динамические ееличини механической сис1неми 153 «=1 «=1 т (х„ + у + х„)и1 — 2 т,(рх + ду + гз )р .
«=1 «=1 Отсюда получаем следующее выражение длн проекции Ко вектора Ко ва ось Отн Ко = тХ т,(х + у„+ з„)Р— Х тт (Рх + 1УР«+ гр )х «=1 «=1 т,(уз-~зз) Р— 2 т х й, су — 2 т, х„з«г. Аналогично можно выписать выражении длн проекций Кор и Ко,. Учти формулы (2), (3) и. 77 для осевых и центробежных моментов инерции, окончательно получим Кон = Лер —,У,ргу — Ле.. КОр = — Уерр+ Дру — Ур.г Ко, = —,Уе,р — Лр,с!+ Л,г.
(8) Эти формулы можно записать более компактно, использовав матрицу Л„ определяющую тензор инерции тела длн точки О (см. п. 77): (9) Ко = Лир. В частном случае, когда оси Ох, Оу, Оз представлнют собой главные оси инерции тела для точки О, матрица Л диагональна; се диагональными элементами служат главные моменты инерции тела для точки О, т. е.,Уе = А, .У, = УУ, .У, = С. В этом случае Кон = АР, Кои = !Ус!с Ко. = Сг. (10) Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, например вокруг оси Оз, то Р = д = 0 и, согласно (8), (11) Кое = — Л 1' Кор = — 1 ег., Ко = У 1'.
Используя формулу а х (Ь х с) = Ь(а с) — с(а Ь) для двойного векторного произведении трех векторов а, Ь, с, выражение длл Ко можно переписать в виде 154 Глаоа ЪУ Из (11) видно, что при вращении тела вокруг неподвижной оси напревления оси вращения и кинетического момента тела, вообще говоря, различны. Они совпадают тогда и только тогда, когда ось вращения является главной осью инерции тела. 83.
Кинетическая энергия системы. Теорема Кенига. л'инетической энергией системы называется величина Т, определяемая по формуле зч Т= — ~~1 т,,о . (12) и=1 Доказательство. Согласно (5) н (12), имеем — гни(еС' + оии) 2 ~л и=1 ~,и=1 / Чи=1 , з + ~~ ° ~+ 2,л 1 ч ,,г зч + — з гп„— и=1 и=1 Так как относительная скорость центра масс он, равна нулю, то отсюда следует, что и 2 с 2~~- и=1 Теорема доказана. 84. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки.
Пусть Охуг — жестко связанная с телом система координат с началом в его неподвижной точке О и пусть мгновенная угловая скорость тела ьз направлена вдоль оси и, косинусы При вычислении кинетической энергии очень часто используется следующее утверждение. Теорема (Кенига). Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бьь материальния точка, раслололсенная о центре масс системи и имеющая массу. раоную массе системн, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс. 166 'З й Основные динамические величины механической системы углов которой с осями Ох, Оу, Ог соответственно равны о, )з, 7.
Тогда проекпии ьз на оси Ох, Оу, Ог вычисляются по формуле у = ьз)3, т = ьз.у. (14) р = ьзгх, Если д„— расстояние от точки Р до оси и, то о, = ьза', и для кинетической энергии тела имеем выражение где ˄— момент инерции тела относительно оси и. 11одставив в (15) выражение длл Л, из формулы (1) и. 77 н воспользовавшись формула- ми (14), получим окончательно Т = — (Лху + Лзд +,1,г ) — Л зРо — Л,,Рг — Лз,г1г. (16) Если оси Ох, Оу, Ог представляют собой главные оси инерции тела для точки О, то формула 116) принимает вид Т = 1 (Арз + Вдз + Сгз), (17) где А, В, С вЂ” моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу, Ог. Длн твердого тела, вращаннцегося вокруг неподвия.пой оси, например вокруг оси Ог, формула (16) сильно упрощаетсн. Так как в этом случае р= у=О, ~г~ =ьз, то Т вЂ” 1Л,Р 2 (18) Злмнчлнин 1.
Между мгновенной угловой скоростью ьз твердого тела и его кинетическим мокентом относительно неподвижной точки О существует простое геомегприческое соответсгпвие. Дейсгпвитеззьно, из формул (8) и (16) следует, что Т = — 1зьо зо). (19) Упглжнвннк 1. Пусть известен эллипсоид инерции тела для неподвижной точки О и задана мгновенная угловая скорость ы.
Найти направление и модуль кинетического момента Тьо тела относительно точки О. Так как кинегпическая энергия движущегося тела положительна, то отсюда следует, что угол между векторами Ао и ьз будет всегда острым. Используя (19), можно также геометрическим пугпем найти направление одного из двух векторов ьз и Ио, когда задано каправление другого. 156 Глава р1 8 2. Теоремы об изменении основных динамических величин системы 85. Общие замечания о теоремах и законах динамики. Рассмотрим движение системы материальных точек Р (и = 1, 2, ..., Л') в некоторой инерциальной системе координат. Нусть пг — масса точки Р, а р — ее радиус-вектор относительно начала координат.
Если система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если помимо активных сил, приложенных к точкам системы, учесть реакции связей. Если затем все силы, приложенные к системе, разбить на внешние и внутреннис, то из аксиом Ньютона получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы в виде ги оь=Х~Е+К~1 (и=1, 2,..., Ж), (1) где ш„ — ускорение точки Р, в инерцнальной системе отсчета, а Х ' (в) и Р„соответственно равнодействующие всех внешних и внутренГй них сил системы, приложенных к точке Р,.
Для исследования движения надо при заданных начальных условиях проинтегрировать систему уравнений (1) и найти зависимость г от времени. Это в большинстве случаев невозможно, особенно если число уравнений (1) велико. Однако при практическом исследовании движения очень часто нет необходимости изучать систему (1), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, быть может, времени). Если такан функции при движении системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений двилгенил (1). Использование первых интегралов позволнет упростить задачу исследования движения системы, а иногда и решить ее до конца.
Самый распространенный прием получения первых интегралов уравнений (1) основан на изучении поведения основных динамических величин системы: количества движения, кинетического момента, кинетической энергии. Изменение этих величии во времени описывается основными теоремами динамики, являющимися непосредственными следствиями уравнений (1). Утверждения, описывающие условия, при которых некоторые из основных динамических величин остаются постоянными, называются законами сохранения. г х.
Теорелеы аа иэменеиии основных динамических величин системы 157 86. Теорема об изменении количества движения. Сложив почлепно уравнения (1), получим ~ ле (е] + ~ ~у()) (2) и=1 и=1 Первая сумма в правой части равенства (2) равна главному вектору Л(') внешних сил системы, а вторая сумма равна нулю, так как по третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны и противоположны. Принимая во внимание постоянство массы каждой из точек системы, равенство (2) можно записать в виде д(е) ие (3) Это равенство выражает теорему об изменении количества движения системы: производная по времени от количества движении системы равна главному еектару всех внешних сил системье. Эту теорему можно представить в интегральной форме.
Проинтегрировав обе части равенства (3) от 1, до 1г, получим Д4.) 4) д / Д(е) ( (4) Мее'("о ое(е) е(ь' (5) Это равенство означает, что центу масс сисгпемье движется так же, как двигалась йы материальная точка, масса которой уаенялась йье массе системы, под действием силы, равной главному вектору всех внешних сил системы. Это утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции). Интеграл в правой части формулы (4) называется импульсом внешних сил системы за время (г — 1ы Таким образом, приращение количестеа даилсения за конечное время равно импульсу внешних сил за это время. Дифференциальной форме теоремы об изменении количества движения можно придать другую формулировку. Так как (~ = Месь где М масса системы, в ос скорость центра масс.
то формула (3) с учетом постоянства массы М может быть представлена в виде равенства Глава Ь7 Если система замкнута, то лзсв1 = О и из (3) следует закон сохранения количества движения: при двизкении з мкнутой системьс ее количество двизкенив ьг постоянно. На основании равенства (5) закон сохранения количества движения можно сформулировать еще так: скорость ес центра масс' замкнутой системы постоянна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
