markeev_book (522779), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пгимвг 5. Два одинаковых однородных стержня весом Р каждый соединены шарнира.к В и прикреплены шарнирами А и С к неподвижной опоре так, что стержень АВ горизонтален, а стержень ВС образует с вертикалью угол сь (рис. 70). Определить реакции ширниров. 1 У, Х, Х, У„' Рис. 70 Мысленно уберем шарнир В и рассмотрим равновесие каждого из стержней в отдельности. На каждый из стержней действуют сила тяжести и реакции шарниров, которые мы представляем их компонентами в системе координат Аху, показанной на рис. 70. При этом, согласно третьему закону Ньютона, реакции Х', 'К' шарнира В, действующие на стержень ВС, должны быть направлены противоположно реакциям Хв, Ув, действующим на стержень АВ. По величине же 1в = зв. Хв — — Хв, Составим условия равновесия ~6) для каждого из стержней.
Введя обозначение АВ = ВС = 2а, найдем для стержня АВ ~ш ХА+ХВ =О> Х~~ Рза = зА+зв — 1 = 0~ тл.-(У)) = Ув 2а — Ра = О, для стержня ВС Рзе: Хв з, Хс: 0 Х~ Р'а: зв + Ус Р: 0 ~~ь тв.-(У) = — Раьи1сь — Хо 2асозо+ Уо 2ае|па = О. Из полученной системы шести уравнений с шестью неизвестными найдем Хл: Хв Хс агась Рл 1в 2Р )'с 2Р Направление реакции Хл противоположно указанному на рисунке. 'г' 2.
Стпатика твердого тлело, 09. Равнодействующая двух параллельных снл. Теорема. Две параллельные и одинаково направленные силы Гг и Гг (рис. 71), приложенные к твердому телу, имеют равнодействующую В* = Гг + Гг, эта равнодействующая лежит в плоскости сил Г, и Гг. и ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки Р, и Рг приложения сил, внутренним образом на части, обратно пропорциональные величинам Гй и Гг. Две параллельные, не равные по величине и пропгивополозгсно направленньяе силы Г1 и Гг имеют равнодействующую зь' = Гг + Гг, она направлена в сторону большей силы, лежит в плоскости сил Г1 и Г», а линия ее действия делит отрезок РгРг внешним образом на части, обратно пропорциональные величинам Гг и Гг- Рис.
71 Доказательство. Если пологкить Гь* = Гг + Гг и выбрать точку О так, что Гй ОРг = Гз ° ОРг, то, согласно и. бб, система двух сил Гг и Гг будет эквивалентна системе, состоящей из одной силы Гь* (т. е, В' будет равнодействующей сил Г, и Гг). Действительно, обе системы сил имегот одинаковые главные векторы Гь = И* = Гг + Гг и одинаковые (равные нулю) главные моменты Мо относительно точки О.
70. Теория пар. Пусть параллельные силы Гг и Г», приложенные к твердому телу, равны по модулю и противоположно направлены (Гд — — — Гг). Такую систему сил называют парой сил. Плоскость, в которой леясат силы Гг и Гг, называют плоскостью пари, а расстонние И между линиями действия сил — плечом пары (й ф О). Главный момент снл, составляющих пару, не зависит от точки, относительно которой он вычислнется. В самом деле, возьмем произвольную точку О пространства (рис. 72) и найдем главный момент сил Гг н Гг относительно этой точки: ЛХо = гг х Гг + гг х Гг — — — т, х Гг + гг х Гг = '= (гг гг) х Гг = й х Гг.
164 1лава 1»' Отсюда видно, что величина Мо пе зависит от точки О. Векторное произведение М = с( х Гз называют л«ол«ентом пары. Вектор М перпенцнкулярен плоскости пары и направлен так, «ь что наблюцатель с конца вектора М «видит» векторы Гс и Гз указывающими на вращение т, плоскости пары против часовой стрелки. Если Г модули снл Гг и Гз, то М = аГ. Момент пары — это свободный вектор, и, как будет Рис. 72 видно из последу»ощих теорем этого пункта, он полностью определяет действие пары на твердое тело. Теорема. Пара сил нс имеет равнодействующей. Доиазатсльсзпоо.
Предположим противное, а именно предположим. что существует сила М* такая, что (Гы Гз) Л*. Возьмем произвольную точку О на линии действия силы Я". Согласно критерию эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу (п. 66), главный момент Мо системы сил (Гы Уз) относительно точки О доля«еп равняться моменту силы В* относительно той же точки, т. е.
должен быть равен нулю. Но момент Мо равен моменту пары и, следовательно, отличен от нуля. Противоречие доказывает теорему. Теорема. Пары сил с равными моментами эквивалентны. Эта теорема сразу следует из теоремы п. 66 об эквивалентности систем сил, привоя«енпых к твердому телу, так как у двух пар главные векторы равны (каждый из них равен нулю), а главные моменты (т. е. моменты пар) равны по условию. Следствие 1. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно заменить другой парой в той же плоскосгли, если при такой замене не и«- меняв»пся величина момента пары и его направление.
Следствие 2. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно переносить в плоскосгаь, параллельную плоскости пары. Теорема. Совокупность нескольких пар с моменгаами М, (« = 1, 2, ..., п) эквивалвнгана одной паре, момент М которой равен сумме моментов данных пар: М вЂ” М» + Мз + ° ° + мп.
(7) Эта теорема также является следствием теоремы п. 66 об эквива- лентности систем сил, приложенных к твердому телу. З г. Статика твердого тела Так как для системы пар 2хг"~ = О, то условия (1) равновесия твердого тела сводятся к одному векторному равенству М = О, которое на основании формулы (7) запишетсн в виде трех скалнрных равенств и„= о, ~ И,ь=.О. (8) Если все пары лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, то условия равновесия запишутся в виде одного скалярного равенства. Например, если плоскости пар перпендикулярны оси Ог, то условием равновесия будет последнее из равенств (8).
НРиивР !. К граням многогранники приложекья парии сил, моменты которых пропорциональны площадям соответствующих граней и направлены перпендикулярно соответстеузощим граням внутпрь многогранника. Показать, апо такая система сил является уравновешенной. Пусть Я вЂ” площадь какой-либо гранщ а М вЂ” модуль момента соответствующей пиры. Тогда И = !гЯ, где л — коэффициент пропорциональноппи (1 ) 0), одинаковый для всех граней. Пиру, приложенную к рассматриваемой грани, мазано заменить эквивалентной системой сил, действующих по каждой из сторон грани в направлении движения часовой ппрелки, если смотреть со стороны внешней норма и.
Модуль каждой из этих сил равен 1!2йп, где а— длина соответствующей стороны грани. Если такую процедуру проделать для всех пар, приложенных к граням многогранника, то вдоль каждого ребра многогранника будут действовать две равные по модулю, но противоположно направленные сильь Следовательно, приложенная к многограннику система пар сил является уравновешенной. 71. Теорема Пуансо. В предыдущих пунктах были рассмотрены задачи о приведении системы сил, приложенных к твердому телу, в частных случаях системы сходящихсн снл, параллельных сил н пар. Теперь рассмотрим задачу о приведении сил в самом общем случае. Теорема (Пуаисо). Произвозгьная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна системе, состоящей из одной силы, приложенной в какой- шбо точке О тела (центре приведения) и равной главнолгу вектору Л данной сиетле лы сил, и одной пары, моментп которой равен главному моменту Мсз всех сил относительно точки О.
Справедливость этой теоремы непосредственно следует из критерия эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу (и. 66). Следствие 3 (о параллельном переносе силы). Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна той же силе, при- Глава Л' ложенной в другой точке этого тела, и паре, момент которой равен моменту данной силы относительно новой тпочки приложения.
Пгимкг 1. й точке Л(2, 2, 2) к твердому телу приложена сила У с комлонснтими Г, = 1, Е, = — 2, Р', = 3. Пв изменяя действия силы, перенести ее в новую точку приложении В( — 1, 4, 2). Момент данной силы относительно точки В имеет компоненты М = — 6, Ми —— — 9, Мч = — 4. Следовательно, в результате перенесения получится сила У и пара с моментом, модуль которого М = ЯЗЗ, а направляющие косинусы равны 6 9 4 ЛЗЗ' г1ЗЗ' 72. Статические инвариенты.
Динамический винт. Главный вектор В системы сил, являясь суммой всех сил системы, не зависит от выбора центра приведения. Вектор В называют первым статическим инвариантом. В более узком смысле будем называть первым статическим инвариантом квадрат модуля вектора Л: (9) Главный момент системы сил зависит от выбора центра приведении. Зависимость между главными моментами сил, приложенных к твердому телу, относительно двух различных центров приведения определяетсн формулой (5). Из этой формулы следует, что скалярное произведение главного момента н главного вектора системы сил не зависит от выбора центра приведения.
Это произведение называют вторым статическим инвариантом: (10) Из существования статических инвариантов следует, что проекция М* главного момента системы сил на направление главного вектора не зависит от выбора центра приведения.
Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамически.к винтом, илн динамой. По теореме Пуансо (п. 71). всякая система сил приводится к силе и паре. Возникает вопрос. нельзн ли так выбрать центр приведения, чтобы плоскость пары снл, о которой идет речь в теореме Пуансо, была перпендикулярна главному вектору, т. е. нельзн ли данную систему сил привести к динамеу Теорема. Гели второй статический инвариинт отличен от нуля, то систему сил можно привести к динаме..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
