markeev_book (522779), страница 20
Текст из файла (страница 20)
57. Примят 3. Материальная точка массой т, под действием активной силы Е движется по гладкой поверхности, задаваемой уравнением г = = 7(х, у). Найдем дифференциальные уравнения движения точки. Из уравнения связи имеем (5) дх. ду дхг даду дуг 5 3. Прчнчип Гаусса 109 Нулсно минимизировать величшгу, равяув (тт, — Г ) + (ту — Г„) + (,тпг — Г,), где производная 5 задана 91ормулой (5).
Независимьвми переменными яв- шготся й и д. Окончательно получаем уравнение тт, — Р + (гпг' — Г,) —, = О, дг" * да ту — Г + (гпг' — Р,) — = О, дГ" Р ' л д где У следует заменить на правувз часть равенства (5). 00. Физический смысл принципа Гаусса. Пусть в момент времени 1 точки Р, несвободной механической системы имеют радиусы-векторы г и скорости и; т , как всегда, обозначает массу точки Р„, а Є— равнодействующую всех активных сил, приложенных к точке Р„.
г В момент времени 1+от точка Р„займет положение А, (рис. 56). При этом А,, Р 1 дг+ 1 )олг)г + 2 Рис. 56 Удаление В„А„точки при несвободном движении от ее положения при свободном движении вызвано действием связей, принуждающих точки системы отклоняться от движения, свойственного точкам свободной системы. Математически это принуждающее воздействие связей можно характеризовать длиной вектора ВеА,. С другой стороны, для того чтобы сообщить материальной точке какое-то ускорение, необходимо воздействие тем большее, чем больше (при прочих равных условиях) ее масса. Поэтому принуждающее воздействие связей на точку естесг твенно оценивать величиной т„В„А, а длн всей системы суммой где многоточием обозначены члены выше второго порядка относительно й.
Если бы в момент времени 1 система была освобождена от связей (без изменения Р„т„, г, о„), то движение ее точек на интервале времени Й было бы отличным от движения точек несвободной системы. Пусть В„- положение, которое заняла бы точка Р„в момент времени 1+ дг. Тогда Глава гП этих величин по всем точкам Р (и = 1, 2, ..., ггг). Если пренебречь членами выше четвертого порядка относительно гП, то ч г т»В А = гп (Ег Аг л») = 4гп»гаг) и» т ) Если просуммировать эти величины по всем точкам системы и отбросить несущественный множитель ~Ягй), то получим принуждение для системьг в виде »=г Величина У нвлнется мерой отклонения действительного движения системы от ее свободного движения.
Так как, согласно принципу Гаусса, величине Я в действительном движении минимальна, то могкно сказать, что несвободная система совершает движение, наиболее близкое к свободному. ПРимеР 1. Материальная точка мас- Р, сей т, движется под действием си- А лы тяжести по гладкой прямой, наклонелной к горизонтальной плоскости под углом а (рис. 57). Найдем ускорение точки, пользуясь тем, что ее действительное движеггие наиме- В~ а нее отклоняется от свободного дви- жения. Пусть в начальньгй момент С точка занимает положение Р и имеРис. б7 ет скорость, равную нулю. При свободном движении точка движется по верпгикали и за время дд проходит расстояние РВ = ~~ фгЮ)г. В действительнолг несвободном движении по прямой РС точка движется с неизвестным ускорением иг и за врелгя гд проходит расстояние РА = ~( гогй)г.
Поэтому г г ДЩ)г ггггггд)г угдг)г игггЦ)г +, — 2, гйпа= (гй) = — (ш~ — 2г7го вша+ уг). Минимум этой везгичиггы достигается при ш = д'аггг а. Это и есть искомое ускорение. 61. Экстремальное свойство реакций связей. Физический смысл принципа Гаусса можно выразить и в других терминах. Замсчая, 111 2 Гь Приичип Гаусса что гя„2л„= Р„+ В„, мы можем переписать выражение для принуж- дения в виде дз (6) Условие того, что величина Я минимальна для действительного движения, приводит к зкстремальному свойству реакций связей: для действительного движения реакции связей минимальны 1в смысле минимума величины (6)).
ГЛАВА 1Ъ Статика В 1. Статика произвольной механической системы 62. Общее уравнение статики (принцип виртуальных перемещений). Задачи статики сформулированы в и. 47. В этом параграфе кратко рассмотрим некоторые основные вопросы статики произвольной механической системы с идеальными удерживающими связями. В следующем параграфе будут подробно изучены вопросы статики твердого тела, явллющегося важнейшим длл приложений частным случаем механической системы. Рассмотрим несвободную систему материальных точек Р„ (и = 1, 2, ..., Х) со связями, задаваемыми уравнениями (1), (2) п. 10. Найдем условия, которым должны удовлетворить связи, чтобы система при г, = г„, могла находитьсл в состолнии равновесия па интервале времени 1о < 1 < 1с.
Во-первых, конечно, положения точек, задаваемые радиусами-векторами г„= и„,, должны быть возможными на интервале 1о < 1 < 1ы т. е. на этом интервале должны выполняться тождества .)я(гно 1) г— а 0 (и = 1, 2, ..., г). Во-вторых. из уравнений (2) (5) и. 10., 11, задающих ограничения на скорости и ускорения точек системы, получаем при г = г,. п„= О, те„= 0 и 1о <1 < $1 тождества дол(г„„1) д(„(гао 1) д~Я„(г„„т) д1 ' д1 д1з (о=1,...,.г; Д=1,...,л). (2) Из (1), (2) следует, что система при 1о < 1 < 11 маркет находиться в состоянии равновесия в каком-либо ее возможном положении г„= г„, только тогда., когда связи удовлетворлкгг условиям ~о(г„о, Е) = О., од(г ., 1) = 0 (2) (1о < 1 < 1П а = 1, 2, ..., г; )У = 1, 2, ..., л). З Б бтаозике кроизволькой механической системы 113 Пусть тождества (3) выполнены, т. е.
состояние равновесия г = г „ допускается связями, и пусть при 1 = 1о имеем г, = зим о„ = О. Будет ли система при выполнении условий (3) находитьсн в состоянии равновесия, зависит от приложенных ь ней сил. В основе статики механической системы лежит и р и н ц и п виртуальных перемещений, или принцип Лагранжа. Сформулируем его в виде теоремы. Теорема, Чтобы некоторое допускаемое идеальными удерживанзщими связями состояние равновесия системы действительно было ее состоянием равновесия на интервале го < 1 < бы необходимо и достаточно, чтобы дгя любого момента времени из этого интервала элементарная работа активных си г на любом виртуаьгьно к перемещении равнялась нулкз, т.
е. чтобы выполнялось условие Уь ' бгк = О (1э ~ ~1 ~ ~м). (4) Уравнение (4) называется общим уравнением статики. Доказательство необходимости. При доказательстве необходимости условия (4) для равновесия системы воспользуемся общим уравнением динамики (Մ— т,из,) бг„= О, (5) которое справедливо в любой момент времени для систем с идеальными удерживающими связями. Если при 1о < 1 < 1з система находится в состоянии равновесия, то щ, = О и из уранпения (5) сразу следует условие (4).
Докизательство достаточности более сложно. Мы дадим его далее в п. 158. Здесь только заметим, что это доказательство будет по существу использовать принцип полной детерминированности движения, т. е. однозначного определения движения системы по начальным положениим и скоростям образующих ее материальных точек. Следующий пример показывает, что при отсутстнии полной детерминированности движения принцип виртуальных перемещений может ие иметь места. Пусть материальная точка единичной массы движется вдоль оси От, под действием силы Г(х) = над (ы ) О; О < 13 < 1). Уравнение движения точки имеет вид (6) 114 Глава 1Ъ' Положение равновесия х = 0 допускается связями: условие (4) выполнено при всех 1, так как в положении равновесия Г = О. Тем не менее точка, находясь при 1 = 0 в начале координат и имея при этом нулевую скорость, может не оставаться в нем при 6 > О.
Действительно, при начальных условиях х(0) = О, х(0) = 0 уравнение (6) помимо решения х = 0 имеет еще одно решение вида (7) х(1) = аг, где Аь 1 (1 П)21 1 — б 2(1+В) ~ ' 1-В' 43 Отметим еще. что, так как Ь > 2, для решения (7) ;г(0) = О. Это указывает на то, что, если даже ускорение точки в положении равновесия равно нулю, нее равно точка может не находитьсн в равновесии при 3 > О, хотя и выполнены условия (3) и (г1).
Игнорирование этого обстоятельства привело к тому, что во многих учебниках и научно-методических статьпх доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений либо неполно, либо ошибочног. ПРИМЬР 1. На рис. 58 изображен механизм, состоящий из стержней, образующих три одиниковых параллелограмма. Стержни Мгу', гсВ, ВТ, и Гхг11 — оельные, соРис. 68 единенные в точках пересечения шарнирами. Положим, что гпочки Ао и Аг соединены нитью; требуется определить ее натялгение. Мысленно перережем нить и заменим ее дейсгпвие приложенной к точке Аг силой У. Пусть шарнир А1 сдвиггется вниз и бв —.— его виртуальное перемещение. Ввиду цельности стержней Мрз1, В$, ВЬ и ГхгСь1 при вирту льном перемещении диагон ~ьи всех параллелограммов удлинятся на одну и ту же величину.
Вследствие этого точка Аз с гестится вниз уже на 2бч, а Аз — на Збв. Приравняв нулю сумку работ сильг У и веса Р на вирту льном перемещении. получим равенство ЗРбз — Рбв = О. гДовольно обширную библиографию по атому вопросу см., например, в реботах: ГеронимусЯ.Л. О принципе виртуааьных перемещений 0 Бюллетень Ясского 1!олитехн. ин-та, 1963, Т. 9(13), вып. 3 — 1. С.
261 — 262; Блюмин Г.Д. О принципе виртуальных перемещений 0 Изв. ЛН СССР. МТТ, 1982, раб, С. 22 28. г 1. Статика произвольной механической системы 115 Отсюда, ввиду того, что бв ф О, следует равенство Рьб)г — Ргб)г = О, г151, — Рг —,б1~ = О. Яг Пг Отпади следует, что Рг о1 ог Р а О А нелогично, мысленно закрепляя поршень 2, можно получить, чтпо Рь Рз Яг Пз' Рис. 60 т. е. давление на жидкость передается равномерно во все стороны. Примкр 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
