markeev_book (522779), страница 21
Текст из файла (страница 21)
У стены здания положены три одинаковые трубы, как пока- зано на рис. 60. Какую горизонтальную силу Р нужно при гожить к оси правой трубы, чтобы удержать трубы в равновесии, если вес каждой трубы равен РУ Пгимиг 2 (Зякои Плсилля). Закон Паскаля описывает характер распространения давления в несжимаемой жидкости: дивление на поверхность жидкости, произведенное внешними для жидкоспш силами, передается ею равномерно во все стороны. Чтобы прои ьлюстрировать закон Паскаля, расслотрил сосуд, иеликол запол- Р, пенный песжимае кой жидкостью; в сосуде имеются три отверстия закрытые по- Р доижныли поршнями 1, 2 и 3 (рис. 59). Ье Пусть Бь — площадь е'-го поршгт„а б16— его виртуальное перемещение (1 = 1, 2, 3).
— -Яе Закрепим мысленно поршень 3, тогда будут двигаться поршни 1 и 2. Определенное движение поршня 1 вызовет определенное движение поршня 2. Объел жидкоспш, Рис. 59 вдавленной первым поршне ц равен Зьб1„. объем жидкости, вошедшей в трубку второго поршня, равен Пгб1г. Из ус говия несжилаелости жидкости имеем Ягб1г = Пгб1г. Составил сумму рабопь сил Рг и Рг на рассмотренном виртуальном перемещении: 116 Глава !Ь' Если правой нижней трубе сообщить виртуальное перемещение вдоль оси От,, то работу совершат только две укаэанные на рис. 60 силы: Р и Г. Радиусы-векторы гл и го точек их приложения в системе координат Оку эадаготся равенстваэии (а — радиус сечения труб) гн —— (4сх сов а, 0).
гл — — (2а сов а, 2а ян а), Па указаннол виртуальном перемещении угол а получает приращение ба. Поэтому дзэл = 2адсх( — в1х1а, сова), дг~ = 4о, дьх( — яна, О). Приравняв нулкэ сумму работ сил Р и Г на виртуальном перемещении, получиль равенство Р Й'л + Г бзн = О, которое с учетом тога, что Р'=10, — Р), Г'=( — Г, 0), можно записать в виде — Р 2а сова ° да+ Г 4аяпа ° ба = О. Опигода при да ф 0 получаем Г = — с18аР. 1, 2 63. Общее уравнение статики в обобщенных координатах. Пусть дх, дэ, ..., д„, — обобщенные координаты системы, в ф(д, а, 1) -- соответствующие им обобщенные силы.
Уравнение (4) в обобщенных координатах запишется в виде Г ° бг = ~~~ Г!,(с1, О, !)34! = О. (8) ь=з Если система голономна, то число ее обобщенных координат т совпадает с числом степеней свободы и и величины до в (8) независимы. Приравнивая нулю коэффициенты при дд в уравнении (8), получаем, что в положении равновесия системы а = оо (и только в нем) обобщенные силы равны нулю: (О) Яз=О 1з=1,2, ..., п). З П йтапсика произеоаьной механической система 117 Равенства (9) образуют систему л, уравнений относительно неизвестных спо, озо, ..., оно, задающих положение равновесия системы.
Если все активные силы потенциальны, то, согласно п. 54, из (9) получаем Щ= — — =0 (1=1,2, ..., п), д~д (10) бпеч.ь = ~~~ пыбсй (й = 1, 2, .... гп — п = е), (11) где величины пы являются функциями коэффициентов Ьдй, входящих в уравнения (28) и. 16. Уравнение (8) после подстановки в него выра- жений (П) и приведения подобных членов примет вид Фбч =О., 3=1 (12) где Цс хс Ц, + ~~~ прД„.ьр (1 = 1, 2, ..., п).
(1З) Так как величины дд; независимы, то из (12) следует, что Ц'„. = 0 (1 = 1. 2, ..., и). (14) где П вЂ” — потенциальная энергии системы. Отсюда следует, что необходимые и достаточные условия равновесия голономной системы (с идеальными уде1гжнвакпцими связями, в потенциальном поле сил) совпадают с необходимыми условиями экстремума потенциальной энергии в рассматриваемом положении равновесин системы.
В частности, если система движется в однородном поле тяжести, то условия (10) примут вид дхс/дд; = 0 (1 = 1, 2, ..., и), где хс — координата центра тяжести рассматриваемой системы в неподвижной системе координат с вертикальной осью Ох, т. е. для тяжелой системы необходимые и достаточные условия равновесии совпадают с необходимыми условиями экстремальности высоты ее центра тяжести над горизонтальной плоскостью. Если система неголономна, то величины бд1, в (8) не будут независимы; они связаны е уравнениями (28) и.
16. Среди пч величин 661 независимыми будут только и (и = т,— л) нз пнх. Пусть для определенности это будут величины бды одз, ..., дала. Разрешив уравнения (28) п. 16 относительно бин+ы бдп+з, ..., бо, получим 118 Глава !11 Равенства (14) представляют собой систему и уравнений относительно т неизвестных Чш, Чэо, ..., Ч,„о, опРеДелЯющих положение Равновесия системы. Так как число неизвестных превышает число уравнений, то в общем случае имеем многообразие состонний равновесип, размерность которого не меньше числа в неголономных связей. Отметим, что из (13) и (14) следует, что для неголономной системы в потенциальном поле сил некоторые или даже все частные производные потенциальной энергии в положении равновесия могут быть отличными от нуля.
11Римкп 1. Нушпь несвободная материальная точка с неинтегрируемой связью Чз — Ч1 Ч2 движется в силовом поле с потенциалом вида П = -(Ч1'+ Ч,'+ Ч,'). 1 2 Ч, =О, Ч,+Ч,Ч, =О. Отсюда с.гедует, что положения равновесия образуют одномерное многообразие Ч1 = О, Чг = О, Чз = Чзо, где Чзо — произвольное число. Если Чзо ф. О, то в положении равновесия производная дП/дЧэ от.1ична огп О нуля. ПРНМйг 2.
Два одинпковых стержня ОА и АВ весом В и длиной 2а скреплены шарниром А. Конец Г) стержня Г)А закреплен в неподвижном шарнире, а к концу В стержня АВ приложена горизонтальная сила Р)2. Оба стержня расположены в вертикальной плоскости. Требуется найти углы сг и Д при равновесии систелгы 1рис. 61). степени свободы и является голономной.
За примем угльь о и Г). Найдем обобщенные сиэтим обобщенным координатам. Н плоскости Рис. 61 Система имеет две обобщенные координаты лы сг„и Ггд, отнвечаюгцие Тогда т = 3, в = 1, и = 2; жы = О, о12 = Ч1, .Цз = — 1й (1 = 1, 2. 3); ьэ1 = Ч1: Г)г = Чэ — Ч1Чз Условия равновесия (14) запишутся в виде двух уравнений с тремя неизвестными: З 1. Стапьика произвольной механической системы 119 стержней возьмем систему координат Оэ:у, ось Ох которой направим вертикально вниз. Для активных сил Хсп Ер, Хд и радиусов-вектпоров з'с, гп, гв точек их приложения имеем г~с — — а(соясч, в1па), гр — — а(2совсг+сояД, 2в1псз+я1п)1), гп — — 2о,(сова+ сов)э', вша + я1пД).
Вычислим элементарную работу активных сил на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариаииям бсз и б)1 обобщенных координат. Так как б гаусс —— обо( — я1п сз, сова), бгп —— а( — 2 вша ба — вшП б)), 2совсь ба+ соя)) ° бП), бгп — — 2а( — вшсг ° бсз — в1пП ° бД, сова без+ сояД ° бД), то бА = Рс бгс + Уп бгп + Гв бз'в = = Ра((сова — Зв1псг)ба+ (сояф — я1пД)бф. Поэтому Ц = Ра(соя сз — 3 в1п сх), сгя = Ра(сов)з — в1п)З).
Из условий (9) получаем теперь, что при равновесии системы Примпр 3. Тяжелое колечко надето на прут, которому придана форма кривой, определяемой уравнениями — + — '+х =1, —,+ — '+э=1, у 2 х у 36 9 ' 6 3 где ось Ох направлена вертикально вверх. Найдем положения равновесия колечка. Пусть виртуальное перемещение колечка задается величинами бх, бу, бх. Продифферениировив уравнения, задающие форму прута, получим, что на виртуальном перемещении должны выполняться условия тбх+4убу+ 36хбх = О, бх+ 2бу+ Обх = О, 120 Глава 1Г Для положения равновесия элементарная работа Рбг (Р— вес колечка) силы тяжести должна равняться нуте. Поэтому бг = О, и предыдущие два уривнеиия запишутся в виде хбх+ 4убр = О, бх+ 2 бр = 0 или, после исключения бу, (х — 2у) бх = О.
Зто условие должно выполняться при любых бх, следовательно, х=2у. Принимая во внимание у1твнения кривой, по которой изогнут прут, получим два решения: 1) х=4, у=2, э= — —: 1 3' 2) т=О, у=О., г=1. Пгимир 4. Однородный стержень А1э опириется концом А на вертикальную стену, а в некоторой другой точке — — на ребро Рэ (рис.
02). Длина стержня 2а, расстояние точки В от стены Ь. Найти угол, сэ при равновесии стержня. Рассматривае кая система голономна и имеет одну степень свободы. Примем угол а эа обобщенную координату. Потенциальная энергия П = — Рхээ, где хс - абсцисса центра тяжести стержня; хо = Ьсьасэ — асоэа. Условие равновесия дП/да = 0 дает уравнение для еы Рис. 62 Ь вЂ” + ав01и = О, е|и а откуда э Ь с4па = ~ Ч ' Равновесие стержня возможно только в том случае, когда Ь < а. 121 З 1.
Статика произвольной механической системы 64. Эквивалентные системы снл. Рассмотрим совокупность сил (еы Гг, ..., еь), приложенную к некоторой механической системе. Допустим, что эта совокупность сил в данной механической системе заменена на совокупность сил (л';, лг*,...., У;*). При этом количество, точки приложении, величины и направления сил в первой и второй системах могут быть различными. Двиячения механической системы под действием первой и второй систем сил при одинаковых начальных положениях точек системы и одинаковых их начальных скоростях могут быть одинаковыми, а могут отличаться. Если две системы сил могут быть заменены одна другой без изменения движении (или состоянии покоя) механической системы, то такие системы сил будем называть эквивалентными.
В частности, если добавление или отбрасывание некоторой системы сил не изменяет движение механической системы, то говорнт, что эта система сил нвляется уравновешенной или эквивалентной нулю. Эквивалентность систем сил обозначается символом: если две системы (Хю Гг, ..., Гь) и (е',*, Г', ..., е';) эквивалентны, то пишут Ж; йг " Ю Фь' йг*.
" й7). Из общего уравнения динамики следует (см. замечание 1 в и. 57), что две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда они совершают одинаковую работу на любых (одних и тех лсе для обеих систем сил) виртуальных перемещениях механической системы.
Выразим этот критерий эквивалентности через обобщенные силы. Пусть С11 и Я1* (1 = 1, 2, ..., гп) —. обобщенные силы, отвечающие первой и второй системам снл соответственно, а бА и бА* — элементарные работы этих систем на виртуальных перемещениях бс1ю бах, ..., бс1 . Составим разность (15) Для голономной системы величины бой независимы. Поэтому, приравняв нулю левую часть формулы (15), получим, что системы сил, приложенные к голономной системе, эквивалентны тогда и только тогда, когда их обобщенные силы совпадают при каком-либо выборе обобщенных координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
