markeev_book (522779), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Здесь т = 1, эа обобщениую координату примем угол уэ поворота тела вокруг оси. Пусть зь~'з и М„е гливный вектор и главный момент внешних сил относительно полюса О, выбранного на оси вращения. )(ля подсчета величины бА воспользуемся формулой (3) п. 52, взяв Глава П бА = лс® в, дт+ М!'д ° ы с!! = М!"1ду. Следовательно, М(ь! Здесь ̄— главный момент внешних сил относительно оси и. Об ПРиыеР 3 (Движение ДВОЙКОГО мАитникА В ВВРтикАльной плоскости В иоле тяжести (Рне. 15)). Пусть стержни, образующие маятник, имеют одинаковую длину ! и одинаковую массу т.
Эта система имеет две степени свободы. За обобщенны координаты примем углы ~р и ф, иэображенньье на рис. 15. Для вычисления потенциала П возьмем систему координат с началом в точке А и с осью Ах, направленной вертикально вниз. Тогда, обозначая через хь и хг абсциссы центров тяжести верхнего и нижнего стержней, имеем П = — туг — тдхг. Но хг = и†соаЗг, хг = 1соаф+ — сааза.
Поэтомй ! ! 2 2 П = — — тя!(2 соя ьг+ соаф), 1 2 и дт обобщенных сил получаются следующие выражения: = — — = — — ту!ыпчг, дП 3 П1о 2 — — тпрр! щп ф. ПП 1 Пф 2 55. Идеальные связи. При движении несвободной системы на ее точки действуют реакции связей.
Пусть В, равнодействующая реакций связей, действующих на точку Р„системы (и = 1, 2, ..., !У). Связи называются идеальными, если работа дз! реакций этих связей на любых виртуальных перемещениях равна нулю, т. е. й дг =О. и=1 (10) Условие идеальности связей не вытекает иэ их уравнений, оно вводится дополнительно. Рассмотрим несколько примеров идеальных спязей. вместо действительного перемен!ения виртуальное.
!!оследнее возможно, так как твердое тело является склерономной механической системой (п. 18), а для с лерономных систем действительное перемещение является одним иэ виртуальных (п. 12). Учитывая, что Оь = О, иолу- З 8. Работа. Силовая функция. Идеальные связи Пгимел 1 (МАТЕРПАльнАН точкА Р диижкт- СЯ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ (ДВИЖУЩЕЙСЯ ИЛИ нкподвижпой)). Виртуальные перемещения бг лежат в касательной к поверхности плоскости как в случае неподвижной, так и в случае движущейся поверхности (см. п. 12).
А реакция поверхности ортогональна ей (рис. 49). Поэтому АА = =Я ° бг=О. ПРИМКР 2 (СВОВОДНОК ТВКРДОК ТЕЛО). У свободного твердого тела нет других связей, кроме Рнс. 49 тех, которые обеспечивают постоянство взаимных расстояний между точками, образующими твердое тело. Эти связи действуют на точки тела посредством сил, которые для твердого тела являются внутренними. По, согзьасно и. 52. внутренние силы в случае твердого тела не совершиют работу. Поэтому бА = О. В дополнение к п.
18 мы можем теперь сказать, что свободное твердое тело представляет собой голономную склерономную систему с идеальнымн связями. ПРИМЕР 3 (ТВЕРДОЕ ТЕЛО. ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ (Рис. 50)). В этом случае бА = О, так как бг = О (неподвихсна точка приложения реакции связи Л). ПРИМЕР 4 (ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ВРАЩАЮЩЕЕСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ). Здесь б.4 = О по той же причине, что и в примере 3. ПРИМЕР 5 (ДВА ТВЕРДЫХ ТЕЛА, СОЕДИНЕННЫХ В ТОЧКЕ О ШАРНИРОМ (Рис. 51)). Здесь Ль = — Лз, бгь = бгг. Поэпьому бА = Яь ° бгь + + Вз бгь = Вз (бг1 — бгз) =О. Рнс.
52 Рнс. 50 Рнс. 51 ПРимкР 6 (ДВА тВеРдых телА., сопРикАсА10щихся пги дВихчении ГЛАЛКИМИ ПОВКГХИОСтямн (ГИС. 52)). Относительная скорость точ- 1ОО Глава 11 ки соприкосновения тел лежит в общей касательной плоскости к поверхностял гпел в точке их касания. В этной же плоскости лежит разность бгг — бгз виртуальных перемещений точек, в которых соприкасаются тела.
Проме того, как всегди, Вг = — Вз, но в рассматриваемом случае реакции Вг и Вг перпендикулярны общей касательной плоскости. Поэтому бЛ = Вг ° бгг -Ь Вз ° бгг = Вг ° (бгг — бг г) = О, ПРимеР 7 (ДВА ТВЕРдых тклА, соирикАсАющихсн НРи дВижении Авсолютно шкгоховлтыми повккхностнми). По определению зто означает, что относительные скорости точек, каторз»ми соприкасаются тела, равны нулю. Следовательно, б(гг — гг) = О, и поэтому бЛ = Вг бгг -» Вг - бгг = Вг . б(гг — гз) = О. ПРимкг 8 (Двк млтктиьльиык точки, сокдиикннык НАтинхтой идкАльиой нитью). Под идеальной нитью понимается не обладающая массой нерастяжимая нить, катарин не оказывает сопротивления изменению ее форллг.
Для определенности будем считать, что нить перекинута через неподвижньгй гладкий стержень Л (рис. ОЗ). Так как нить невесома, то ее реакции Тг и Тз, приложенные к точкам Р, и Рз, равны по модулю, Т, = Тг = Т (натяжение нити всюду одинаково). Найдем работу уеикций на виртуа гьных перелещениях точек. В силу того, что нить нерастяжима, бг, совггг = бгг сових. Поэтому бЛ = Т, бгг + + Тз бгз = Тгбгг совгзг — Тзбгз совах = Т(бгг совог — бгг севов) = О. Очень многие механизмы можно трак- товать как сочетание простейших чгдета- А 1 '., Т, лей», рассмотренных в примерах 1 — 8.
Од- нако в действительности не существует ни и, абсолютво гладких, ни абсолютно шерохо- Р, ватых поверхностей, не существует абсо- Т лютно твердых тел и нерастнжимых ни- тей. Поэтому в реальных ситуациях рабо- Р, та реакций связей отлична от нулн. Часто зта работа бывает малой и в допустимом а,' приближении моягет очитаться равной нугя; -- лю.
дтот факт и приводит в теоретической механике к выделению важнейшего класса Рис. бу свнзей, названных выше идеальными. Однако очень часто связи нельзя считать идеальными. Такой случай встречаетсп, например, когда при движении тела соприкасаются не абсолютно гладкими участками своих поверхностей и имеет место относительное скольжение. В этом случае, отнеся силы трения к неизвестным активным силам, можно условно считать связи идеальными, 1 Я.
Рапота. Си ~овал функция. Идеалвиие связи 101 Появление новых неизвестных требует тогда привлечения новых экспериментальных данных, например законов трения скольжения. В дальнейшем мы будем рассматривать, как правило, только идеальные связи. Остановимся на следующем весьма важном обстоятельстве. Упомннутая в и. 47 первая задача динамики для случая несвободной системы может быть более подробно сформулирована так. Заданы активные силы е„, приложенные к точкам Р, материальной системы, массы гп точек, связи, возможные начальные положения т„, и скорости п, точек системы.
Требуется найти положения точек т„и реакции связей Я„ как функции времени. Таким образом, требуется найти 6!У скалярных неизвестных. Длн решения этой задачи мы имеем Здс+ г+ я скалярных уравнений: ЗХ уравнений из векторных уравнений двиваепия (2) и. 45 и г+ в уравнений связей (!), (2) п. 10. Так как число 6!У больше ЗХ+ г+ в (на число степеней свободы системы и = ЗХ вЂ” г — я), то сформулированная задача неопределенна.
Выделением класса систем с идеальными связями мы делаем задачу определенной, так как одно равенство (1О) эквивалентно и уравнениям. Длн их получения нужно в правой части равенства (!О) выразить зависимые из виртуальных перемещений бхы бры бхы ..., бтк, бди, бяи через независимые и затеса приравнять нулю коэффициенты при этих независимых виртуальных перемещенинх. Число же последних равно числу степеней свободы, т.е. и.
Гллвл 111 Дифференциальные вариационные принципы механики В 1. Принцип Даламбера — Лагранжа 56. Понятие о вариациоииых принципах механики. Принципами называкгг, во-первых, некоторые основные начала, на которых может быть построена какая-лнбо теория, научная система и т. п., а во-вторых — законы, основные положения о чем-либо. Под принципами часто понимают также точку зрения, убеждения и т. д. Принципьь теоретической механики можно разделить па вариационные и невариационные.
К невариационныль принципал относятсн, например, аксиомы динамики, обсуясдавшиеся в 1! предыдущей главы, а также законы механики, например закон сохранении энергии, закон всемирного тяготения и т. п. Вариационные принципы механики представляют собой выраженные языком математики условия, которые отличают истинное (действительное) движение системы от других кинематнчески возможных, т. е. допускаемых связями, движений. Вариационные принципы делятся на дифференциальные и интегральные. Первые дают критерий истинного движения для данного фиксированного момента времени, а вторые— на конечном интервале времени. В этой главе рассматриваются дифференциальные вариационные принципы механики.
57. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа). Рассмотрим систему, состоящую из Х материальных точек Р„(ц = 1, 2, ..., М). Система может быть как свободной, так и несвободной. В последнем случае связи, наложенные на систему, считаются удерживающими и идеальными. Пусть Е„и Рх — равнодействующие всех активных снл и реакций связей, приложенных к точке Р . Имеют место следующие уравнения движения (и. 45): тп,ю = Хв+ И (и = 1, 2, ..., Х), где т„ — масса точки Рьз а за — ее ускорение в инерциальной системе отсчета. 1О3 'З Д Принцип Даламбера — Лагранжа Поскольку связи идеальны, то длн любых виртуальных перемещений бг выполннется равенство (2) В„бг = О. и=1 Запишем уравнения (1) в виде Մ— гииюю„= — В„(и = 1, 2, ..., Дг). Умножим обе части этого равенства скалярно на бг, и произведем сум- мирование по и.
Тогда с учетом условия (2) получим соотношение (3) (Х вЂ” гн га ) бг — О. Соотношение (3) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы движение, совместимое с идеальными связнми, отвечало данной системе активных сил У„(и = 1, 2, ..., Х). Необходимость условия (3) мы только что показали.
Предположим теперь., что некоторое совместимое со связями движение системы удовлетворяет условию (3). Тогда если положить В = ги ш — Р, (и = 1, 2, ..., Дг), то получим, что удовлетворяются равенство (2) и уравнения движения (1), полученные непосредственно из законов Ньютона. Соотношение (3) характеризует движение всякой системы с идеальными удерживающими связями по отношению к активным силам Г и соответствующим (для данного момента времени) виртуальным перемещениям. Оно получило название общего уравнения динамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
