markeev_book (522779), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Независимость величины Л(, от выбора точки на оси доказывается так же, как и в случае одной силы в л. 49. В декартовой системе координат Окуз главный момент Мо имеет компоненты, вычисляемые по формулам Ж М» = ~~' (Уи»и» з«К у) ~ Х Му — Л~~ (зиР» ли»и») ~ «=1 1Ч М» = ~~~ (лиг у Уи»ие) ' (9) Величины М,, Му и М, -- главные моменты сил относительно осей Ол, Оу и Оз.
Направление главного момента определяется формулами М, Му М, соз(Мо,у) = — *, соз(Мо,,т) = — ", соз(Мо,й) = — ', Мо ' Мо' Мо' Мо = ЛГ., -(- Му -ь М,. (10) Величины те(Р),т„(Р) и »п,(Р) — моменты силы Р относительно осей От, Оу и Оз. Из (7) сразу следует, что момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось лежат в одной плоскости. 50. Главный момент системы сил. Пусть снова»' —.. равнодейству1ощая всех сил, приложенных к точке Р, механической системы, а г — радиусы-векторы точек Р» относительно точки О. Главным моментом Ме зтоб системы сил относительно точки О называется сумма З Ю.
Работа. Силоваа 4ункциа. Идеальнме вонзи В 3. Работа. Силовая функция. Идеальные связи 51. Работа системы сил. Пусть Х равнодействующая всех сил системы (внутренних и внешних), приложенных к точке Р, а йг„— смещение точки Р, вдоль ее траектории. Эленентарной работой гйА силы Р на перемещении йг называется скалярное произведение г1'А =Х йг,=У,,йж,+Р„ийу +Г„,йе. Элементарная работа й'А всех сил системы получается путем сумми- рования выралгений (1) по индексу ис вйА = ~~ Х ° 4з = ~(Р. Ат, -Ь У ийц„-Ь Р вйе ). (2) Символ а) указывает на то, что правые части в (1) и (2) ие обязательно являются полными дифференциалами. В выражения (Ц и (2) для элементарной работы входит работа как внешних, так и внутренних сил.
Обозначив через й'А~е~ работу внешних сил, а через й'Арб — работу внутренних сил, выражение (2) можно записать в виде й'А = й'Ао~ + г1'Аб~. Пусть точка Р„совершает конечное перемещение из положения М, в пололгение М„,, описывая дугу М„М„, и пусть Р„и аг, могут быть выражены через один и тот же скалярный параметр 1 (который пе обязательно должен быть временем) так., что положения М „и М, точки отвечают значенинм 1в и П этого параметра.
Тогда выражение (1) будет представлено в виде функции параметра 1, умноженной на его дифференциал, и может быть проинтегрирована по 1 в пределах от 1о до 1ы Результат интегрирования называется полной работой А силы Г, на рассматриваемом конечном перемещении вдоль пути М,Миг Полная работа всех сил системы представляет собой сумму по и величин А . 52. Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу.
Здесь покажем, что элементарная работа системы сил, приложенных к твердому телу, определяется лишь работой внешних сил, и найдем нужное для дальнейшего выражение элементарной работы через главный вектор, главный момент внешних сил и характеристики мгновенного кинематического состояния тела. Будем представллть себе твердое тело как механическую систему, состоящую из Дг (Х ) 2) отдельных точек Р„взаимные расстоннил между которыми не изменяются. Пусть Р равнодействующая всех 94 Глава 11 сил, приложенных к точке Р„тела, которую будем записывать в виде суммы равнодействующих Х + Х всех внешних и внутренних сил, (в) П) приложенных к точке Р,. Пусть Π— произвольно выбранный полюс в твердом теле.
Скорость ти точки Р, относительно неподвижной системы координат определяется по формуле (см. и. 24) э„=э,+ыхг, где о, — скорость полюса, ы — угловая скорость тела. Поэтому смещение точки Р вдоль ее траектории равно (э, + ы х г,) Й, где Ф— диффереш)иал времени. Для элементарной работы системы снл получим выражение Х /я к 4'А= ~~1 Х ° (э,+а1 х г„)й = ~~~1 Х ~ ° о,й+~~1 (а1 х г ) ° Х й.
и=1 и=1 и=1 Воспользовавшись свойствами смешанного произведенил, перепишем это выражение в виде 11'А= ~~ Р,) ° о,П1+ (~ г х Р а114. / ),и=1 Заменяя К на сумму Х„и Х и учитывая, что главный вектор и главный момент внутренних сил равны пулю, получаем окончательно УА Д(в) 1+ )У(в) 41 1дЕ Л1в) И М, ГЛаВНЫй ВЕКтОр И ГЛаВНЫй МОМЕНТ ВНЕШНИХ СИЛ относительно точки О. 53.
Силовое поле. Силовая функция. Потенциал. Предположим, что на материальную точку, движущуюся относительно инерцнальной системы отсчета, во всем пространстве или в какой-то его части действует сила, зависящая от полоя1ения точки (и, быть может, от времени), но не зависящая от скорости точки. В этом случае говорит, что в пространстве или его части задано силовое поле., а также, что точка движется в силовом поле. Соответствующие понятия для системы материальных точек аналогичны.
Силы, завислщие от поло1кепил, в механике встреча1отся очень часто. Такова, например, сила, приложеннал к точке, движущейся по горизонтальной прямой под действием пружины, к которой эта точка прикреплена. Важнейшим примером силового поля в природе является З 3. Работа, Силовая фуяяция.
Идеальные связи гравитационное поле: действие Солнца на планету данной массы вполне определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяго- тенин. Силовое поле называется потенциальным, если существует скалярная функция П, зависящая только от координат х„, у,, г точек Р, материальной системы (и, быть может, от времени), такая, что Р, = . Еи=,, гз=, (и=1,2,..., Ж). (4) Функция П называется силовой функцией. Функция П = — Г называетсн потенциалом, или потенциальной энергией.
Функция П определена с точностью до аддитивной постоянной. Потенциальное поле называется нестационарным или стационарным в зависимости от того, зависит функция П явно от времени или нет. Силы Х, удовлетворяющие равенствам (4), называются потенциальными. Элементарная работа сил стационарного потенциального полл представляет собой полный дифференциал.
В самом деле, из (2) и (4) получаем из= г.1зсы»з"зз + з"з*) =си=-м. (з> з, дх» Пу» дг» Поэтому если в рассматриваемой области пространства П нвляется однозначной функцией от х, у„г (и = 1, 2,..., Х), то полнан работа сил потенциального полл при переходе из одного положения системы в другое не зависит от путей перехода точек из их начальных положений в конечные. В частности, если все точки системы описывают замкнутые пути, то полная работа равна нулю.
ПРимкР 1 (ОднОРОднок ВОлк тяжксти). Пусть тп — масса точки, И вЂ” ускорение свободного падения. Тогда (рис, 47) г"я = О, Рзз = О, дз', = — ту; П = таг Пгимкг 2 (Силовок полк хпгхгой пгхжнны). Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох (рис. 48) под действием пружиньц к которой она прикреплена. Исли при х = О пружина не деформирована, то при малых отклонениях точки можно считать, что со стороны ~ружины к ней приложена сила Е = — йх (й > О).
П этом случае П = ~/, йх~. Глава П Рис. 48 йА = Е ° йт = РЯ" " = —,Р(Р) ~ = Гмп)дг = — дП. Поэтому П = — / Гыс)де+ сопе1. (6) В качестве конкретного примера найдем потенциал для движения точки массой гпз в ньютоновском гривитационном поле точки массой т,. 1111 1112 В этом случае ГЯ = — г, где у .—. универсальная гравитаци- 2 аннан постоянная. Если считать, члю П = 0 при г = оо, то из (6) следует такое выралсение для потенциали центрального ньютоновского силового поля: гй1пг2 П=-7 (7) 54. Элементарная работа системы сил в обобщенных координатах.
Обобщенные силы. Пусть У вЂ” равнодействующая всех сил, приложенных к точке Р системы 1и = 1, 2,..., гч'), а г -- радиусы-векторы точек Р относительно начала координат. Пусть положение системы задается ее обобщенными координатами уз О =1. 2,..., т). Элементарную работу д'А системы сил на виртуальных перемещениях дг, будем обозначать бА. Найдем выражение элементарной работы через обобщенные координаты и их вариации йу,. Радиусы-векторы точек Р являются функциями обобщенных координат и времени, а виртуальные перемещения йг,г выражаются через вариации йгг, обобщенных координат по формуле (27) и.
16. Поэтому кг гх га га / гх дА = р Р„° йт = ~~г Р„. ~~ йуз = ~~2 , "Р„., йд,. 18) — зг =1 '/ о г ПРимеР 3 (Центгьтльное силовое по- Х ле). Силовое поле назьгвается центральнымг если силаг приложенная к движущейся в нем точке, направ гена вдоль прямой, проходящей через заданный центр — неподвижную точку О. Пусть при этом величина силы зависит только от расстояния от точки до центра.
Так кик Р(г) = е'1т) — „, где Р— радиус-вектор точки Р относительно цент- раО, то "З эй Работа. Силовая функция. Яде лысые связи Введем обозначение 111=~ Г, —,' (э'=1, 2, ..., т). дуд Тогда формула (8) запишется в виде ы бА = ~~ 11збуз. з=1 Величина 1уз. называется обобщенной силой, соответствуя>щей обобщенной координате оз (1, 2, ..., гп). В общем случае обобщенные силы будут функциями обобщенных координат, скоростей н времени. В практических задачах при вычислении обобщенных сил формулами (э), как правило, не пользуются. Обычно дают системе такое виртуальное перемещение, при котором дуь = 0 длн всех К, кроме К = ф. Тогда бА = бА = ь)збуз и 6А1 дй. У1 Пусть силы Г, потенциальные с потенциалом П = П(г, 1). Тогда и обобщенные силы потенциальные, причем им соответствует потенциал, полученный из функции П(г, 1), если в ней величины г выразить через обобщенные координаты.
В самом деле, учитывая (5), имеем бА — ~~ Язббз- —.. ~~~ Га бг, = -дП =- — ~~ д бцз. 1=1 а=1 д=э дуз Отсюда следует, что в случае потенциальных сил обобщенные силы мо- гут быть вычислены по формулам — — (у=1.2, ...,т). дП дйу ПРииеР 1 (МАТеРИАльиАЯ тОчкА ДВижетсЯ ВДОль оси Ох НОД Действием силы Г,). Л этом случае пь = 1, обобщенная координата --. абсцисса х точки, бА = Г бх, сг = Г . ПРимеР 2 (ТВеРДОе телО ВРАЩАетсЯ ВОКРУГ непОДВижнОЙ Оси 'и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
