markeev_book (522779), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть Я - точка на мгновенной оси вращения, в которой ее пересекает опущенный на нее из точки Р перпендикулнр (рис. 26). Обозначим вектор Рс) буквой Е Тогда и0С = ы х (ы х т) = ы~е х (е х т) = (6) = щз(е(е т) — г] = ы~(ОЧ' — т) = ы~1.
Таким образом, иь, совпадает с тем нормальным ускорением, которое имела бы точка Р, если бы тело вращалось вокруг мгновенной оси вращения., как вокруг неподвижной, с угловой скоростью ы. Следует иметь в виду, что, в отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси, при вращении тела вокруг неподвижной точки га,р и ю„, уже не обязаны быть касательной и нормальной составлнющими ускорения точки Р. УЕРАжненне 3. Показать, что при движении твердого тела вокруг ноподаижной точки вращательная компонента ускорения какой-либо точки тела совпадает с касательной, а осестремительная компонента - с нормальной в том и только в том случае, когда эта точка лежит в плоскости, содержащей ы и е. Кинематика твердого тела сь = щзАО = щОС.
Из ЬАГ)В имеем е1псг = =3 ос ~ свесь = —, ОС =АОв!ысч = — а. 4, 12 5' ' 5 Поэтому АО 5 щ =,юз — — — щю ОС 3 Далее, ип = со х АР. Скорость вр перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на читателя, ор = щАР в1п2сз = 8юза. Так кан модуль угловой скорости постоянен, то угловое ускорение диска определяется равенством е = ьз1 х из. Вектор е перпендикулярен плоскости рисунка и направлен на читателя, г = щзы вю(к/2 — сь) = = 4щг/3 Найдем теперь ускорение точки Р.
Имеем ю = ю,р л- юью где ю,р — — е х АР, ю„= юг1, юьр — — еАР = 20юза/3, юьь = 40юга/3. Вектор ю,р направлен перпендикулярно АР, лежит в плоскости рисунка и составляет с вектором ю„, угол В = к — 2а. Следовательно, и: = юг + юг, — 2юьью„сое2сг = ьз,а. 4.|07, Пгимйг 1. Диск радиуса За катит- , ю„ У ся без скольжения по горизонтальной плоскости, описывая окружность радиуса 4а с постоянной уг- ю' лавой скоростью ьоз и сохраняя ю,, свою плоскость вертикальной. Най- А ', О ти скорость и ускорение наивысшей точки диска Р. Будем представлятпь себе диск ЖВ как осноеацие конуса, движущего- ю, ся вокруг неподвижной точки А (на Рис. 27 рис. 27 показано сечение АРВ этого конуса, скорость центра диска направлена перпендикулярно плоскости рисунка па читате м~.
Ввиду отсутствия скольжения скорость точки В диска равна нулю. Лоэтому угловая скорость ю диска направлена по АВ от точки А к В. Величина угловой скорости может быть найдена из равенств Глава 1 Доказательство. Так как движение не являетсн мгновенно поступательным, то ы ~ О. В абсолютной системе координат векторы в, ы и неизвестный вектор ОС запишем в виде Хо О Х„ О О О Поскольку скорость в, искомой точки С равна нулю, то для нахождения 27. Плоское движение те- ~У ла. Движение твердого тела называу ют плоским, если все точки тела песо ремещаются в плоскостях, параллель- ных некоторой неподвижной плоскос- Х ти.
Пусть этой неподвижной плоскос- тью будет координатная плоскость О, О„ХУ абсолютной системы коорди- Х нат. Каждая прямал, проведеннал в терно. 28 ле перпендикулярно плоскости О,ХУ, движется поступательно. Поэтому длл определении движении этой прямой достаточно знать движение накойлибо одной ее точки. Движение же всего тела булет известно, если известно движение любого сечения тела плоскостью.
параллельной неподвижной плоскости О ХУ. Следовательно, изучение плоского движения тела сводится к изучению движении плоской фигуры в ее плоскости. Плоская фигура, вынужденная двигаться, оставаясь в своей плоскости, имеет три степени свободы. За обобщенные координаты примем две координаты Х, У полюса О и угол ~р, образованный осью Ох, жестко связанной с фигурой системы координат с осью ОьХ абсолютной системы координат (рис. 28). Скорости и ускорения точек плоской фигуры мо1 ут быть найдены по формулам (4) и (7), справедливым для самого общего случая движения твердого тела.
Остановимся только на некоторых специфических свойствах плоского движения. Теорема. Если двигкение плоспой фигуры в ее плоскости в данный момент времени не является лсгновенно поступательным, то в этот момент времени существует единственная точка С фигурьь скорость которой равна нулю. Скорости оппальных точек таковы, какими они были бы при мгновенном вращении фигуры вокруг точки С. Об Кинел«атака гпоердого тела ее координат получаем из формулы (4) векторное уравнение е,+«охОС=О, которое эквивалентно двум скалярным уравнениям Х.— фУ,=О, У.-~дХ«=0, откуда получаем Х, = — —,Уо, Уо = —,Х„, или в векторной форме 1 ' 1 'Р Ф (10) Если теперь принять точку С за полюс, то теорема будет полностью доказана.
Точке С называется мгновенным центром скоростей. Формула (10) лает геометрический способ нахождения мгновенного центра скоростей, если извести«и угловая скорость а> и скорость полюса и . Смотря с конца вектора «о, повернем вектор и на угол х/2 против часовой стрелки (рис.
29), затем от точки 0 в направлении, которое занял повернутый вектор вон отложим отрезок длиной о„/щ„ конец С этого отрезка и будет мпювенным центром скоростей. Рис. 29 Рис. 30 Часто вектор вл не задан, но известны скорости ел и ев двух точек А и В плоской фигуры. При построении мгновенного центра скоростей здесь следует рассмотреть следующие возмоя«ности. 1) Если ел = ев, то движение мгновенно поступательное, так как из формулы ев = ел + ы х АВ следует, что ы = 0 (здесь мгновенный центр «находится в бесконечности>; терминология оправдывается тем, что при ф -+ 0 величины Хо и У«неограниченно возрастают по модулю).
2) Если ел ф- ев, но скорость одной из точек, скажем точки А, равна нулю, то А и есть мгновенный центр скоростей. 66 Глава 1 3) Если векторы ел и ев неколлинеарны (рис. 30), то мгновенный центр скоростей лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам ел и ив в точках А и В. Это проще всего показать, опирансь на свойство проекций скоростей двух точек твердого тела на соединяющую их прямую (см. следствие 1 п.
24). Действительно, проекции еа на СА и СВ равны нулю, таь как вектор ел перпендикулярен СА н ев перпендикулярен СВ. А поскольку СА и СВ неколлинеарны, то отсюда следует, что ес = О. 4) Пусть ел ф ев, но вектор ел параллелен ия. Случай, когда вектор АВ не перпендикулярен ел (или ея). невозможен, так как тогда проекции ел и ев на прямую, проходящую через точки А и В, не будут равными. Если же вектор АВ перпендикулярен е,ь (и ев), то мгновенный центр скоростей, как нетрудно проверить, лежит на пересечении прямой, проходящей через точки .4 и В, и прямой, проходящей через концы векторов ел и ев (рис. 31).
А В ~ч'и, Рис. 31 При движении тела мгновенный центр скоростей перемещается и в теле, и в абсолютном пространстве. Геометрическое место его положений на неподвижной плоскости называется неподвижной цвнтроидой, а геометрическое место положений мгновенного центра скоростей в самой движущейся плоской фигуре называется подвижной ивнтроидвй. Можно показать, что при движении тела подвижная центроида катится по неподвижной без сколыкения. Теперь рассмотрим некоторые особенности, касающиеся распределения ускорений точек твердого тела при его плоском движении.
Теорема. Пусть плоская фигура двигается в своей плоскости. Если в некоторый момент времени хотя йы одна иэ величин ф или ф отлична от нуля, то в этот момент времени существует единствеюьая точка 11 фигуры, ускорение которой равно нулю. Показательство. Пусть заданы ускорение полюса ьво, мгновенная углован ско- 67 Кинематика теердоге тела рость иг и мгновенное угловое ускорение е. Требуется найти вектор ОЯ такой, чтобы ускорение точки Я было равно нулю.
Из формулы (7) по- лучаем векторное уравнение длн 01,): юо + е х ОЯ + аг х (иг х 04',)) = О. (11) Учитывал, что в абсолютной системе координат Хо О О Хо О, 00= Х, (1 О О О дгХО+ руО = Х, -рХ,О+ Чаху, = ~' . (12) Из условии теоремы следует, что определитель системы (12) фз -Г;е4 отличен от нуля. Поэтому она имеет единственное решение Хд — г 4 (~Р Хо — ~Рло); 1д — з 4(Р Хо + Ф 1'о). Р' + Ф' Р'+ Ф' Эти формулы можно представить в векторной форме: 00 = (т~юо+я х юо). г „4 (13) Точка Я называетсп мгновеьчемм центром ускорений. Из (13) следует геометрический способ нахождения мгновенного центра ускорений (рис.
32). Опреде- ее' лим угол 13 равенством Этот угол не зависит от выбора полюса и одинаков для всех точек тела. Чтобы получить точку ц), надо вектор юо повернуть на угол,3 в направлении вращения фигуры, если вращение ускоренное, и в противоположном направлении, если вращение замедленное. Затем от полюса 0 в направлении, которое занял повернутый вектор юо, надо отложить отрезок 00, длина которого вычисляется по формуле Рис. 32 юо Г 2 + ю4 нз (11) получаем систему двух линейных уравнений относительно Хо, Уо. Глава 1 Конец Я етого отрезка и будет мгновенным центром ускорений.
Рис. 32 соответствует ускоренному вращению фигуры против часовой стрелки. Если мгновенный центр ускорений О принять теперь за полюс, то ускорение любой точки Р в данный момент времени может быть определено так яге, как и при вращении вокруг пеподвияьной оси, проходящей через Г1: чо = иь + ьо„, оз = Я1'ч/ез + юь.
Пгимкв 1. Пусть диск катится по неподвиясной прямой беэ скольжения и скорость его центра О постоянна (рис. 33). Так как при отсутствии скольжения скорость точки Р диска, которой он касается неподвижной прямой, равна пулю, то мгновенный центр скоростей совпадает с точкой Р. Подвизкной цептроидой будет обод диска, а неподвижной— прямая, по которой он катится. Так как скорость точки О постоянна, то мгновенный центр ускорений совпадает с центром диска. Рассмотренный пример показывает, в частности, что мгновенный центр скоростей и мгновенный центр ускорений .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
