markeev_book (522779), страница 10
Текст из файла (страница 10)
52 Глава 1 20. Движение твердого тела с неподвижной точкой как ортогональное преобразование. Если во все время движения у твердого тела остаетсн неподвижной одна точка О. то говорят, что тело движется вокруг точки О, или совершает сферическое движение. При движении тела вокруг неподвижной точки О в формуле (2) вектор Вв постоянен. Пусть при 1 = О оси связанной с телом системы координат Олуг совпадают с соответствующими осими неподвижной системы координат ОХУЯ. Матрица А будет при этом единичной матрицей (А = Е) и, согласно (1), (2), Я = » .= р.
причем выписанные векторы задаются своими компонентами в одной и той же системе координат: либо Окуз, либо ОХУУ, что безразлично. так как эти системы координат при г — О совпадают. Мы будем считать, что векторы заданы в неподвижной системе ОХАЯЛ. Когда тело начнет двигаться, то оно будет «перецосить» с собой вектор р, поворачивая его вокруг точки О. Через какое-то время 1 вектор р перейдет в вектор г =- А(1)р. Последняя формула определнет преобразование пространства, в котором выбрана система координат ОХУУ.
Матрица А(1) ортогональна, т. е. АА' = Е. Отсюда и из правила нахождения определителя произведения квадратных матриц следует, что («1еь А) = 1. Следовательно, «1еь А может принимать тольг ко два значения +1 или — 1, но, так как «1ес А в начальный момент равен единице, стать равным — 1 при каком-либо 1 он не может в силу своей непрерывности по й Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвия«ной точки задает собственное ортогональное преобразование.
21. Основные теоремы о конечных перемещениях твердого тела. Теорема (Эйлера). Произвольное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку. Доказательство. Заметим, что утверждение теоремы Эйлера эквивалентно тому, что у матрицы А есть собственное значение, равное +1. Соответствующий собственный вектор т задает ось вращения.
Действительно, так каь г = Аг, то направление этой оси остается неизменным при движении тела. Пусть г"(Л) = йе1(А — ЛЕ) .- характеристический многочлен мат- бй Кинематика тоердого тела рицы А. Чтобы показать, что ~(1) = О, рассмотрим следующую цепоч- ку равенств: ~(1) = с1сЦА — Е) = с1сь(А' — Е') = г1еь(А 1 — Е) = = ое1(А(А ь — Е)) = осч(Š— А) = с1ет( — (А — Е)) = ( 1)з с1ет(А — Е) = — Я). Отсюда следует, что г11) = О, и теорема доказана. Теперь найдем упоминаемый в теореме угол поворота вокруг оси. Для этого удобно перейти от системы ОХУЯ к системе ОХУ2, у которой ось ОЯ направлена вдоль оси вращения. В этой системе матрица А, задающая поворот на угол о, имеет вид сов о — вп1 о О л1по сов о О О О 1 Замечая, что А и А подобны, и пользуясь тем, что у подобных матриц суммы диагональных элементов совпадагот, получаем равенство, определяющее угол поворота еа 1 + 2 сова = аы + агг + азз Теорема (Шаля).
Самое общее перемещение твердого тела разлагается на поступательное перемещение, при котором произвольно выбранный полюс переходит из своего первоначального положен я в конечное, и на вращение вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс. Это разложение можно совершить не единственным способом, выбирая за полюс разшчные пьочки тела; при этом направление и длина поступательного перемещения будут изменяться при выборе различных полюсов, а направление оси вращения и угол поворота вокруг нее не зависят от выбора полюса. Доказательство.
Осуществляется простым геометрическим вычислением. На рис. 19 О,Х1'л — абсолютная система координат. Системы координат ОХ1'/ и 01Х1УчЯч (не показанные на рис. 19) с началом в двух различных полюсах 0 и 01 получаются из ОоХУУ поступательными перемещениями, определнемыми соответственно векторами Ло н йю,. Считаем, что векторы Ло и Во, заданы своими компонентами в абсолютной системе координат О Х1'г9. Положение произвольной точки Р тела в абсолютной системе координат определяется вектором В.
Показанные на рис. 19 векторы р, ры 00ь считаем заданными их компонентами в 54 Глава 1 системе координат Отйг, жестко связанной с твердым телом. Имеем равенства Л = Во + Ар = Ло + А(ООг + рг) = = Ио + А001 + Ар1 = Во, + Аро Отсюда и следует справедливость теоремы П1аля. Действительно, перемещение твердого тела можно представить как поступательное, определнемое перемещением полюса, плюс вращение, задаваемое матрипей А. Причем из предыдущего видно, что матрица А не зависит от выбора полюса, по из доказательства теоремы Эйлера следует, что ось вращения н угол поворота определяются только элементами матрицы А. Поступательное же перемещение зависит от полюса. Из приведенного выше раве1штвв видно, что для разных лотосов О и 01 поступательные перемещения, задаваемые векторами Во и Во„связаны соотношением Ко, = Ло + АОО,.
Упглжнкник 2. Показать, что результирующее перемещение твердого тела не зависит от 0 порядка, в котором следуют одно за другим со- Я ставлпющие его поступательное перемещение и вращение. Теорема (Моцци). Самое общее перемещение твердого тела явзгаетсл винтовым перемещеииель Доказательство. Рнс.
19 Разложим перемещение твердого тела на поступательное вместе с некоторым полюсом 0 н на вращение вокруг полюса. Согласно теореме П!вля, направление оси вращения и угол поворота вокруг нее не зависят от выбора полюса. Для удобства вычислений ось О,Я абсолютной системы координат направим по оси вращения, и пусть в исходном положении тела соответствующие оси абсолютной О,Х1'л и связанной с твердым телом Отрг систем координат совпадают. Коли о — угол поворота, то матрица А, определяющая ориентацию тела в его конечном положении относительно абсол|отной системы координат, имеет вид сова — в1по О ыпо соло О О О 1 ~г'2. Иевелетике твердого те ге Теорема Моцци будет доказана, если в теле найдетсл такан прнмая, точки которой после перемещения тела из начального положения в конечное переместились бы только вдоль этой прямой.
Действительно, выбирая тогда полюса на этой прямой, мы представим перемещение твердого тела в виде винтового перемещения, что и будет означать справедливость теоремы Моцци. Представим вектор Во перемещеннн полюса (ркс. 20) в виде суммь где в абсолютной системе координат Рис. 20 ~ двух векторов льО = ао + льО х ~о Хо то 0 0 0 Во ~о— жо = Пусть Р— точка тела с радиусом-вектором р относительно полюса О. В начальном положении тела р = В,.
В конечном положении тела вектор р в абсолютной системе координат перейдет в вектор Мо + АМ„. Рассмотрим прнмую, параллельную оси ОЯ и проходящую через конец вектора В,. Если при перемещении тела точки этой прямой переместились вдоль нее самой, то Ло + АЛ„= В, + В . Отсюда следует, что (А — Е)В, = — львов Если Х„, 1ю л„компоненты вектора Л„в системе О,ХУ л, то из последнего равенства следуют два скалярных уравнения, которым должны удовлетворить Х„., У,: (сова — 1)Х, — з1па1; = Хо, МпаХ, + (сова — 1)1; = 1о, Величина же В„может быть произнольной, тзк как третье скалярное уравнение удовлетворяется тождественно.
Определитель выписанной системы линейных уравнений равен 4згп (а,~2). Он отличен от нулн, если а ~ О, 2л., т. е. когда перемещение отлично от поступательного. Таким образом, мы получили в теле прямую Х = Х„1' = 1„параллельную осн вращении, точки которой смещаются при перемещении тела вдоль нее самой. Следствие 1 (теорема Бернулли — Шаля). Салеве общее перелеещвние плоской фигуры в своей плоскости есть либо поступательное перемещение, либо вращение вокруг точки. Эта точка нагываетсл ценпьрвлг конечного вращения. вб раааа ! г Плимвг 1. Пусть >суй движется так, что три его вершины А, В, С переходят в но- С вые положения А>, В>, С> — также веру шины куба (рис. 21). Выясн м, каким простейш м движениел> может быть достиг- Р, нут этот переход. Так как центр куба О при указанном ггг" перемещении остался на месте, то применима теорема Эйлера.
Свяжем с кубом систему координат ОХ1 л, оси которой В, перпендилу >ярны соответствующим граням куба. В результате перемещен я куРнс. 21 ба вси ОХ, ОУ и Ов перейдут соответственно в оси Ох., Оу и Оз (рнс. 21). Нетрудно увидеть, что матрица А, задающая перемещение !повара>п) куба, будет такой> А С, О О 1 1 О О О 1 О А= Для собственногв вектора г матрицы А, отвечающего собственному значению Л = 1, имеем г' = (1, 1> 1). Угол поворота определле>пся уравнением 2 со»Ф + 1 = О. Таким образом, указанное перемещение куба достигается вращением вокруг диагонали ОР на угол 12О".
22. Скорость и ускорение твердого тела при поступательном движении. До сих пор при изучении перемещения твердого тела мы интересовались лишь его начальным и конечным положениями., не обращан внимания на быстроту перемещения. Теперь будем находить скорости и ускорения точек твердого тела при его движении. Двия«ение твердого тела в течение некоторого промежутка времени называется поступательным, если поступательно его перемещение между положениями, соответствующими двум произвольным моментам времени из этого промежутка. Примерами поступательных движений могут служить движение пассажирского лифта в мпогозтал«ных жилых домах, движение ящика письменного стола при его вдвигании и выдвигании, движение кабины «колеса обозрения» в парке. В первых двух примерах поступательное движение прнмолинейпое (все точки тела движутся по прямым).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
