markeev_book (522779), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Материальная точка, движущаяся по подвижной или непо- движной поверхности, имеет две степени свободы. Пвимьг 5. Система двух стержней, соединенных шарниром и движущихся в плоскостпи (ножиицы), имеет четыре степени свободы. 14. Обобщенные координаты. Рассмотрим несвободную систему со связями (1), (2). Ьудем предполагать, что г функпий 7' от ЗЖ 41 'З 3. Общие основания кинеяонаони снснсеяы аргументов хн, д, лн (и = 1, 2,..., Х) независимы (время 1 здесь рассматривается как параметр).
В противном случае одна из связей противоречила бы остальным или была бы их следствием. Наименьшее число параметров, необходимое длн задании возможного положения системы, называется числом ее независимых обобщенных координат. Так как функции /„(11 = 1,..., 1) независимы, то число обобщенных координат, которое мы будем обозначать т, равно ЗЮ вЂ” г, Эа обобшенные координаты можно приннть т из Зсзс декартовых координат х, ун, зю относительно которых можно разрешить систему уравнений (1). Однако, как правило, такой выбор обобщенных координат практически мало пригоден. Можно ввести любые другие ьк независимых величии Чы Чз, ..., Ч, в своей совокупности определяюших конфигурацию системы.
Они могут быть расстоянинми, углами, плоШадями и т. и., а могут и пе иметь непосредственного геометрического толкования. Требуется только, чтобы они были независимы, а декартовы координаты х„р„, зн точек системы можно было выразить ЧЕРЕЗ Ч1, Чз, ..., Чо, И й гь = г.(Ч1, Чз " Ч 1) (1'=1 2 "., Ю) (21) Эти функции, будучи подставленными в уравнения (1), обращают их в тождества. Ранг матрицы дх1/дЧ1 " дх1 /дЧ, др1/дч1 ... ду1/дч дв1 /дЧ1 ... дл1/дусе (22) дхк/дЧ1 ° ° ° дхк/дЧ др /дч " ду /дч для/дсй " - дзк/дчж равен т,. Это следует из того, что среди ЗХ функций х„, д, з из (21) От Ш аРГУМЕитОВ Ч1, ЧЗ,..., Чса (1 ПаРаМЕтР) ИМЕЕТСЯ т НЕЗаВИСИ- мых, через которые могут быть выражены все остальные координаты точек системы.
Мы будем предполагать, что обобшеиные координаты Ч1, Чз,..., Ч выбраны так, чтобы любое возможное положение системы могло быть получено из (21) при некоторых значенинх величин ч1, чз,..., ч„,. Если зто не удается сделать сразу длн всех возможных положений системы, то обобщенные координаты вводятся локально, т. с. для различных совокупностей возможных положений вводятся различные системы обобшенных координат. Тлава 1 Функции (21) будем предполагать дважды непрерывно дифференцируемыми функциями всех своих аргументов.
Кроме того, будем считать, что если система склерономна, то времн 1 не входит в зависимости (21), чего всегда можно добиться соответствующим выбором обобщенных координат. При исследовании конкретных задач механики очень часто совсем нет необходимости составлять уравнения связей (1). Из физической сущности задачи обычно ясно, как надо выбрать обобщенные координаты в таком количестве, которое необходимо и достаточно для задания возможных положений системы. Если же зависимости (21) требуются при решении задачи, то они составляются, как правило, с помощью геометрических соображений. 15.
Координатное пространство. Для каждого момента времени с между возможными положениями системы и точками т-мерного пространства (уы дэ....., д,„) устанавливаетсн взаимно однозначное соответствие. Пространство (уы уэ,.... д ) называется координатным прастранством (или пространством конфигураций). Каждому возможному положению системы отвечает некоторая точка координатного пространства, которую будем называть изображазощей точкой. Движению системы соответствует движение изображающей точки в координатном пространстве. Близость точек координатного пространства определяется естественным образом через близость соответствующих положений системы. Между положениями системы и точками координатного пространства устанавливается таким путем взаимно однозначное и непрерывное соответствие.
Пгимкг 1 (Млткгилльнля точка днижктся по плоскости). Пвврди- нотное пространство — сама эта плоскость. Пгимкг 2 (Систкмл 1Ч снонодных точкк н пгостглнстнк). Координатное пространство есть 21ч'-мерное евклидова пространство (ш~ В. зы ши ун зн) Пгпмкг 3 (Маятник). Положение маятника, представляющего собой твердый стержень, подвешенный за один из концов к неподвижной точке, задается углом 1э (рис. 1Л), которнй примем за обобщенную координату. Поставим в соответствие каждому положению маятника точку на числовой вси, имеющую координату у. Такое соответствие между положениями маятника и точками числввви оси не будет взаимно однозначным, так как разным точкам вси у и д + 2Ьг (к = т1, т2,...) соответствует одно и то же положение маятника.
Однозначности можно двбитьск, выделив на числовой аси полуоткрытый интервал 0 < уз < 2я. ~в при этом нарушается непрерывность 'г 3. Общие основания кинематики системы О 2т бз Рис. 14 Рис. 15 соответствия, так как два близких положения маятника, для которых «э = О и аз = 2к — е, не будут соответствовать близким точкам на выделенном полуинтервале. Чтобы восстановить непрерывность, нужно считать точки аз = О и аз = 2п тождественными. Наглядно это можно сделать, «оклеив» точки аз = О и «э = 2п. Полученный геометрический образ — окружность и будет координатным пространством маятника. Пгиьзег 4 (Двойной мьятник). Он состоит из двух соединенных шарниром твердьсх стержней, один из которых подвешен за свободный конец к неподвижной точке Л (рис.
15). П остальном стержни могут свободно перемешаться в одной плоскости. За обобщенные координаты можно при ять угльч у и зр, образуемые стержнями с вертикальным направлением. Каждому положению мола«ника ставятся в соответствие два значения аз и уц определенных с точностью до чисел, кратных 2«г. Поэтому если мы воэьме.к в плоскости ьэ, ф квадрат со стороной 2к и отождествил в нем противоположные стороны, то поэгучим координатное пространство двойного маятника.
Наглядно это можно сделать, «оклеив» противоположные стороны квадрата. После первой с лейки получится цилиндр, а пос ге второй — искомый геометрический образ тор. ПРИМЕР 5 (ДВЕ СВВЗАИНЫЕ СГЕРЖНЕМ МяГЕРИАЛЬНЫЕ ТОЧКИз ДВИЖУ- щиеся по плоскости (Рис. 16)).
за обобщенные координаты можно принять декартовы координаты х, у одной из точек и угол аз, который образует стержень с осью Ох. Координатное пространство есть слой в пространстве (х, у, у), заключенный между плоскостями»э = О и ьэ = 2к, противоположные точки которого отождествлены. 46 6 3. Общие основания кинематики системы Запишем в обобщенных скоростях уравнения (2) пеголономных связей. Подставив (21) и (23) в (2), получим (26) ~ , 'Ьбб(ды г(2,..., дт, Г) 61 + Ьб(ды 62,, цо„г) = О (11 = 1, 2,..., в).
Величины Ьбб, Ьб определяются равенствами Вг„ Ьб = 2,' " ° ади (((сс1,2,..., а;2=1,2,...,т), =1 В% М опГ Ьд= 2 " або+об (В=1,2,..., л). Здесь в векторах ая и скалярах ад величины гт, гт, ..., гы заменены на их выражения (21). Для голономной системы обобщенные скорости е)1 независимы и совершенно произвольны. В неголономной системе обобп1енпые координаты, как и в голономной системе, могут принимать произвольные значения, но при атом обобщенные скорости не будут независимы: они связаны о соотношенинми (26). Чтобы выразить виртуальные перемещения бг точек системы через вариации ЙВ обобщенных координат, надо, в соответствии с п. 12, отбросить в выражении (23) дг„)дг и заменить аб на Ьа1, а г, на бг„.
Тогда получим' гн Ьги = ~~ —,"баб (ы = 1, 2,..., Х). дс(. (27) 3 Для голономной системы вариации бо произвольны. В неголопомной же системе они связаны соотношениями, которые получаются из (26) путем отбрасывания величин Ьб и замены аб на Ьа". ~ Ьнзбдб = О ((1 = 1, 2,..., в). (28) Следонательно, число степеней свободы голопомной системы совпадает с числом ее обобщенных координат, а число степеней свободы неголономной системы меньше числа гп обобщенных координат на количество а дифференциальных неинтегрируемых связейз. 1 Вообще, длн любой фунииии Г(щ, дз,..., ден б) имеем бт = 2; —,бд..
дг , Оад Зцонечно, предполлгветсн, что связи (26] нвлнюгсн независимыми. 46 Глава 1 17. Псевдокоординаты. В некоторзнх задачах динамики, особенно при изучении движения неголономных систем, бывает удобно ввести координаты более общего вида. которые получили название псевдокоординат. Пусть и — число степеней свободы. Рассмотрим и независимых линейных комбинаций обобщенных скоростей я, = ~~сцд, (1 = 1, 2,..., и). (29) з=1 91 = ~ Вбл; + яз ( 1 = 1, 2,..., т). (30) с=1 Псевдоскорости я; могут принимать произвольные значения; если они заданы, то обобщенные скорости находятся из (30), Величины 40, д; в (30) функции ды дз,..., 9 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
