markeev_book (522779), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Из дифференциальной геометрии известно, что Глава Г Здесь введено обозначение о = д. Величина о положительна, если точка Р движетсп в положительном направлении отсчета дуг О~Р, и отрицательна в противном случае; о = ~о,р Согласно (8), скорость всегда направлена по касательной к траектории. Из (9) следует, что ускорение всегда лежит в соприкасающейся плоскости. Его можно записать в виде ш=ш+ш„, ш,= т, ш„= — п, сРо- ог л1г ' и р (10) где ш касательпое (тпаигенииальное) ускорение, а чо„- нормальное ускорение точки.
Формулы (10) выражают теорему Гюйгенса о разложении ускорения точки на тангенпиальное и нормальное. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модули скорости, а нормальное — ее направлении. Величина ускорения определяетсн равенством ш=,Г '+ Если о = соней то движение точки называется равномерным. Движение будет ускоренным или замедленным в зависимости от того, возрастает илн убывает величина скорости. Так как оз = аг = дз, то доз~дг = 2дд. Отсюда следует, что движение будет ускоренным, если знаки величин д и д одинаковы, и замедленным, если их знаки противоположны. Если на интервале времени 1ь < 1 < 1 д = 0 (ш,:— 0), то на этом интервале движение равномерное.
Если на каком-то интервале шп = О, а н ф О, то на этом интервале движение прямолинейное (р = оо). ЗАМЕЧлине 1. Из соотношений (8) и (9), в частности, следует, что если вместо одной декартовой системы координат мы возьмем другую декартову систему координат, неподвизкную относительно первой. то излгенится векторное уравнение г = г(1) движен я точки Р, но скорость и ускорение не изменятся. Пгиывг 1, Используя теорему Гюйгепса, найдем радиус кривизны эллипса 2 2 — + — =1 3 62 в произвольной его точке, Будем рассматривать эллипс как траекторию лгатериальной точки с законом движения у = 6ыпй ж = асоег, 'З Л. кинематика точки Нз равенства 4 2 О + 2 Р' получаем такое выражение для радиуса кривизны: оз Р= т/чсг — и12 Учитгивац что 'а+с= % "ь+о '*ь ( ю,) л ч~ (аг — Ьг)з е1о С сонг е ивз' а з1п 1+ Ь соч о получаем следующее выражение для радиуса кривизны как функиии ги (аг и1нг 2+ Ьг созг Ь) з~г Р= аЬ г %»= и='Р Пн Р чо„= от, Величины чз и ю' называются соответственно угловой скоростью и угловым ускорением радиуса ОР (см.
также п. 25). Введем обозначения чз = из, йг = е. Тогда для величины ускорения точки Р получаем выражение О, Рис. б чо = т/юг + чо2 = Йч/ег+из4, Угол /2 между полным ускорением точки чо и се нормальным ускоре- нием (рис. 5) находится из равенства ш, 2К/1 = —,' = —. иы При равномерном круговом движении е = О и ~~ = О.
В частности, в вершинах эллипса, лежащих на оси Ох (для них 4 = О, к)ч р = Ь /а, а в вершинах, лежащих на оси Оу (для них Ь = к/2, 3к/2), р = аг/Ь, 7. Круговое движение. Пусть точка движется по окружности радиуса В. Тогда (см. рис. 5) о = Л~Р. Из (8) и (10) следует, что улова 1 2В 8. Скорость н ускорение точ- ки в полярных координатах. Пусть е движение точки происходит в заданной плоскости. Помимо декартовых координат х(1), у(1) движение может быть задано, например, прн помощи полнрных ко- Р ординат (рис. 6).
Пусть заданы функции г = г(1), «р = со(1). Найдем скорость и ускорение точки Р. О Пусть е, единичный вектор, направрис. 6 ленный вдоль радиуса-вектора г точки Р относительно О в сторону возрастания величины т, а ег — вектор, получающийся из е„поворотом последнего на угол к/2 против часовой стрелки. Единичные векторы е, и ег задают направлении двух взаимно перпендикулярных осей; радиальной и трансверсальной соответственно. В системе координат Оху векторы е, и ег можно записать в следующем виде'. е' = ( — я1п~р,соя~р). е, = (соя «р, я1п ю), Так как х = г соя р«у = гяшаз, то в системе координат Оху имеем е' = (х.,у) = (говядо — г«ряш«р, гя1пез+гозсоя~р), (12) и«« = (х, у) = ((г' — гозг) соя с« — (гр'+ 2гД я1пез, (И) (г' — гарт) я1п ег -ь (г~р' + 2гоз) соя р).
Проекции о, и о скорости на радиальную и трансверсальную оси называются соответственно радиальной и трансверспльной торост«ьни. Из (11) н (12) имеем (1Л) о,=(е е«)=г, о„= (е е„) = гф. Длн проекций ускорения аналогично получаем и« = р — г«р ., кн = г«р Ч- 2тф. -г Примни 1. /7вилсение точки задано в полярных координатах: г = а1, «р = Ь1 (а, Ь = сопля). Найделс траекторию, сяоростпь и ускорение точки. Здесь, как и всюду в давьнеяшем, код векторами мы понимаем векторы- столбцы. Штрихом обоанвчеетсн окервцил трансконированин.
27 б г. Кинематика точки г=а, ьр=б, г=О, ьр=О. Поэтому радиальная скорость п„постояььна и равна а, трансверсалъная гкоРость оп = ььб1. Дла величины скоРости полУчаем о = lю~ + ог = аЯ+ б~бз. Дли ради льиога и траисверсальпога ускорений из (15) получаем выражении щ,. = — а(ьз7, тг = 2аб. Ве шчина ускорения опре.- де гнется равенством ю = ° Ьиьз + щз = аб „/4+ бзбз. .„Г„ 9.
Криволинейные координаты, В предыдущем пункте мы видели, что движение точки по плоскости не обязательно задается только декартовыми координатами; можно, например, задавать движение в полиРных кооРдинатах, Вообще, всикие тРи числа Чы Ч„дз, однозначно определяющие положение точки в пространствеь можно рассматривать как координаты этой точки. Эти числа, в отличие от прямолинейных декартовых координат, называют криволинейными координатами.
Движение точки считаетсп заданным, если ео криволинейные координаты вн (ь = 1,2,3) — известные функции времени Чь(1), Свизь между декартовььми и криволинейными координатами задается равенством т г(дь Чз Чз) хам+И+™ (16) где х1 у~ г — функции Чы дз> Чз, ььоторые считаем дважды непрерывно дифференцируемыми.
Радиус- вектор г — сложная функция времени: г = г(ан(б) дг(1) Чз(ь)). О Пусть Ро — какая-либо точка в пространстве, ее криволинейные кооРдинаты обозначим Чьо. Чзо Чзо. Первой координатной линией, проходящей через Реь назовем кривУю г = ь'(Чь, Чго, дзо), полУчающУюсЯ из (16) пРи фиксиРованных дз, дз и при изменении дь в некотором интервале. Аналогично определяются втораи и третья координатные линии. Касательную и ь-ой Рис. 7 Исключив из даннььх равенств время 1, получил уравнение траектории г = аьр/б. Эта кривая назывиется спиралью Арх меда; у нее величина радиуса-вектора аропорииаи льна величине полярного угла.
Д лес имеем Гтава 1 координатной линии в точке Ро называют 1-й координатной осью, проходящей через Ро. Единичный вектор 1-й координатной оси (рис. 7) может быть записан в виде 1 дг дт ди др дз (17) г)г *=дч;= Величипзи Н; называются коэуфициеятани Лиме. Производные в (17) вычисляются в точке Ро. Если векторы еы ез, ез взаимно ортогональны, то криволинейные координаты называют ортогональными.
Мы будем рассматривать только ортогопальные криволинейные координаты. Найдем проекпин о„, и иги (1 = 1, 2, 3) скорости о и ускорении та точки Р на оси криволинейной системы координат. Из (1), (16), и (17) получаем о = — = — д1 + —,Чз + — Чз = о, е~ + о, ез + и ез: (18) с1г дг дг дг = !т = дд дч. дчз где величины о, вычисляются по формулам (18) оса = О„.д„. (1 = 1, 2, 3).
Для нахождении величины щсо равной скалнрному произведению зл ° ео заметим, что она, согласно (2) н (17), может быть представлена в виде (20) Далее, (21) гй 1, дд;,/ дд,дт дйдчз дд;ддз а из (18) получаем (22) дз. дчд ддз ддз ддз дф дчз дф Ввиду того, что г — дважды непрерывно дифференцируемая функция от ды дз, дз, можно менять порядок дифференцировании по дь 'З Л.
Нинелчатика точки (к = 1, 2, 3) и уо Поэтому из (21) и (22) следует, что (23) Кроме того, из (18) вытекает равенство дг до Вуч Вс)х (24) Используя (23), (24), равенство (20) можно записать в ниде Если тспеРь ввести обозначение Т = из/2, то выРажение длл юч, можно записать в следующем окончательном виде: ичо, — — — 1 — —.
— — ) (ч' = 1, 2, 3). 1 г' й ВТ ВТ'1 '= Н; (,д1ад; Ву„) (25) Пгимиг 1. Найдем скорость и ускорение точки в цилиндрической и сфе- рической систаиах криволинейных координат. В случае цилиндрической системы координат (рис. 8) полагаелч оч — — т, йг — — р, дз = г, и тогда х = т соя чр, у = г яп 1о, х = г„. Н„=1, Н, =т, Н,=1; и,=г, ее=гчр, (26) Т= -(т +т у +г ): (27) чс, = р — гчр, 2 (28) и~г = гф+ 2гфч ю, = гц и: г иг — т з1п ОД ое — г0 2 ч, чо, = г' — гЯп Очоз — гВи, и~и = тапчучч+ 2ЯпВЦ+ 2гсозВфО, (31) щв = гВ + 2тΠ— т яп 0 соз В~ох.
В сгьучае сферической систелчы координат (рис. 9) дч = т, уг = ьо, аг = О, и х = тяпу сову, у = тяпВяпр, г = гсоз0; Н, = 1, Нт = тз1пу, Не = г; Глава 1 Рис. 9 Рис. 8 Пииыкг 2. Пусть материальная точка движетсн равномерно по поверхности сферы радиуса а. Точка начинает движение на экваторе, направление ее скорости о образует с меридианами сферы постоянный угол о. Найдем уравнение зпраектории точки (локсодромы), а также момент времеии т, в который точка достигает полюса сферы. Положение точки на сфере зададим при помощи координат у, 0 (рис. 9). Из формул (29) имеем се — — а ззи 0А св = ау.
Без ограничения общности примем, что двизкение точки начинается на оси Ох (т. е. при 1 = О, д = О, 0 = к12), угол 0 во время движения уменьшается от к/2 до О, а ф ) О. Так как направление скорости о пересекает меридиан ьс = сопй под Углом а, то с18сз = — ов(оо, что пРиводит к диффеРепЦиальномУ уравнению — = — сФд сг взп 0. 00 ачз Проинтегрировив это уравнение с учетом упомянутых выше начальных условий, получим уравнение локсодромы в виде е — ые ае 2 Так как при, 0 = О ьо = сзэ, то локсодрома делаетп около полюса бесчисленное множество витков. Однако общая длина дуги локсодромы конечна.
Найдем ее. Имеем Цв = а Цйз + в~из 0 йуз = — а йу 1 + ььз а = — а 00 21 'З 3. Общие основания кинематики сиппемн Так как вся дуга 1 локсодромы соответствует изменению В от я/2 до О, то 1 = . Поскольку движение точки равномерное, то зрели яо 2 сова' движения т будет равно 2п сов а' 0 3. Общие основания кинематики системы 10.
Свободные и несвободные системы. Связи. Рассмотрим движение системы материальных точек Р, (и = 1, 2,..., Х) относительно некоторой прнмоугольиой декартовой системы координат, предполагаемой неподвижной. Состонние системы задается радиусами- векторами г и скоростями о се точек. Очень часто при движении системы положении и скорости ее точек ие могут быть произвольными. Ограничения., налагаемые иа величины г и о„, которые должны выполняться при любых действующих иа систему силах, называя>тсп связями. Если на систему ие наложены связи, то оиа называется свободной.
При наличии одной или нескольких связей система называется несвободной, Пгимвг 1. Материальная точка может двигатьсн только в заданной плоскости, проходящей через начало координат. Если ось Ог декартовой системы коордшгат направить перпендикулярно плоскости, в которой движется точка, то = О уравнение связи. Пгимкг 2. Точка движется по сфере переменного радиуса П = 1(г) с центром в нач ле координат. Есэш к, у, г — координаты движущейся точки, то уравнение связи имеет вид кэ + уэ + г~ — з г(1) = О. Пгимкг 3. Две материальные точки Рг и Рз связаны нерастяжимой нитью длиной Е Связь задается соотношением Р— (гч — гэ) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
