markeev_book (522779), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1. Введем согласованное с (29) обозначение йг; = ~~ Субдх (1=1, 2....., и). (31) 1=1 Формула (31) фактически явлнетсн определением величин бль Именно, бя; — зто величина, равная правой части равенства (31), в которой 39 — вариации обобщенных координат.
Из (31) и (28) находим выражение йд через величины йг; (1=1, 2,..., и): бц=~~ 4,.бл; 0=1, 2,..., т). (32) Коэффициенты с — функции о„оз,..., д,е, 1. Величины и; имеют вполне определенный смысл некоторых линейных комбинаций обобщенных скоростей, но сами символы з; могут и не иметь смысла, т. е. правые части в равенствах (29) могут не быть полными производными по времени от каких-либо функций обобщенных координат и времени. Величины ~г; также осмыслены. Это — производные по времени от правых частей равенств (29).
Будем называть символы тй псеадокоордияатамп а величины з., и я; соответственно лсевдоскоростями и псеедоусяореяинли. Некоторые из п; могут быть, в частности, обобщенными координатами об тогда соответствующие я, и й; — обобщенные скорости и обобщенные ускорения. Величины с0 будем выбирать так, чтобы определитель линейной системы из ьч = п, + з уравнений (26), (29) относительно ох (1 = 1, 2,..., гп) был отличен от нуля. Разрешив эту систему, полу- чим йинематина твердого тела Здесь величины йгг могут принимать произвольные значения. Найдем нужные для дальнейшего выражения для виртуальных перемещений дго точек системы через величины бгго Подставив (32) в (27), получим Бг =~ ~е длг (гг=1, 2,..., г1г), (33) где введено обозначение %-~ дг'е еш = р де д41 д=г (гг = 1, 2,..., Л', 1 = 1, 2,..., о,).
Запишем это выражение несколько иначе. Для этого продифференци- руем обе части соотношений (30) по времени и полученное выражение для ггд подстаним в формулу (24), которая примет вид ш, = ~д е„глг+ Ь, (и = 1, 2,..., Ж), г=г где вектор-функции 1г„не зависят от псевдоускорений я,. Отсюда сле- дует, что е г = .,о (гг = 1, 2,..., Дг; г = 1, 2,..., и). (34) дггг Подставив (34) в (33), получим окончательное выражение для Бг в виде дго = ~~ „"дл, (и =1, 2,..., Х).
(35) 34. Кинематика твердого тела 18. Задачи кинематики твердого тела. Определение простейших перемещений. Абсолютно твердое тело — это такая механическая система, у которой взаимные расстояния между точками постоянны. Очень многие объекты природы и техники моделируютсл в теоретической механике системами, состоящими из отдельных материальных точек и абсолютно твердых тел. Отсюда вытекает важность изучения их движения. В дальнейшем абсолютно твердое тело будем для краткости называть просто твердым телом.
!'лааа 1 Если в декартовой прямоугольной системе координат точка Рь твердого тела имеет радиус-вектор гь, то по определению при любых г, ) величины ~т; — г" ~ = г,, постоянны во все время движения. Если помимо связей, обеспечивающих постоянство расстояний г;,, на твердое тело не наложено никаких других связей, то его называют свободн ьн твердым телом. Иными словами: свободным называют твердое тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений. Свободное ~перлов тело являетсн голономной склеропомцой системой. Свободное твердое тело (такое, в котором есть три точки Р„Рз, Рз, не лежащие на одной прямой) имеет шесть степеней свободы.
В самом деле, в голономной системе число степеней свободы и число обобщенных координат совпадают. Число же обобщенных координат равно шести. Действительно, чтобы задать положение одной из точек, скажем Ры нужно задать три координаты; если зто сделано, то положение точки Рз можно уже будет задать двуми параметрами, так как она может двигаться только по сфере радиусом ггз с центром Р,: после того как положении Р, и Рз зафиксированы, у точки Рз осталась только одна степень свободы, так как точка при движении должна оставаться на окружности с радиусом, равным расстоянию от Рз до прямой РгРьь и лежащей в плоскости, перпендикулярной РгРз.
Итак, число степеней свободы твердого тела равно шести, как бы ни было велико число Х образующих его точек. Из приведенных рассуждений следует, что твердое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы: если у тела неподвижны две точки, то оно имеет одну степень свободы. Если свободное твердое тело представляет собой бесконечно тонкий стержень ~или связанные им две материальные точки). то оно имеет пять степеней свободы. Задача кинематики твердого тела состоит в разработке способов задании его движения, а также способов, позволяющих по небольшому числу кинематических характеристик, общих для всего тела, находить кинематические характеристики каждой точки тела.
Дадим нужные в дальнейшем определения простейших перемещений твердого тела. Рассмотрим два положения твердого тела, которые назовем его начальным и конечным положениями. При переходе тела из начального положения в конечное оно совершает некоторое перемещение. Будем рассматривать это перемещение, совершенно отвлекаясь от промежуточных положений, через которые тело проходит во время движения из начального положении в конечное, и от времени, в течение которого совершается этот переход. Таким образом, рассматриваемое перемещение определяется только начальным и конечным положениями тела; если конечное положение тела совпадает с его начальным положением, то никакого перемещения нет. 49 Виввмотива твердого твоа Рис. 17 и = Ар, где А — матрица перехода от системы Охуз к системе ОХ1'в.
Положение точки Р тела в абсолютной системе координат задается равенством (2) и = но+ Ар. При движении твердого тела в общем случае изменяется положение полюса О, а также изменяется ориентация тела в абсолютном пространстве. Поэтому 1хо и А в (2) — функции времени: будем их считать дважды непрерывно дифференцируемыми. Матрица А, задавая переход от одного ортонормированного базиса к другому, нвляется ортогональной, т.
е. А ' = А'. Из последнего равенства следует, что ее элементы связаны шестью независимыми Перемещение твердого тела, при котором перемещения всех его точек геометрически равны, назовем поступательным перемещением. Перемещение твердого тела, при котором его конечное положение получается из начального путем поворота вокруг неподвижной прямой, называется вращением (вокруг этой прямой), а сама неподвижная прямая называется осью вращения. Винтовым перемещением называется совокупность поступательного перемещения и вращения, в которой поступательное перемещение происходит вдоль оси вращения. 19.
Векторно-матричное задание движения твердого те- Е1 ла. Углы Эйлера. Пусть Г),Х1'Х з абсолютная система координат Р (рис. 17), Π— произвольнал фикси- р' рованная точка твердого тела, кото- Е х рую в дальнейшем будем называть Нв; О полюсом, ОХУИ вЂ” система коордн- х наг, получающаяся из системы координат О,Х1'Я при помощи поступательного перемещения, Охуз — система координат, жестко связанная с твердым телом, изучением движения которого мы занимаемся. Само тело на рис. 17 не изображено. Пусть Р некоторая точка тела. Векторы )7г1, В заданы своими компонентами в системе ОХУЯ, а вектор р = ОР— в системе Охуг; очевидно, что р — постоянный вектор.
Вектор ОР, заданный своими компонентами в системе ОХ1 Е, обозначим и. Имеет место соотношение 50 Глава 1 соз з)з — а|п ~ 0 вш уз соз 16 О 0 0 1 Х У Х =Аз Второй поворот осуществляет переход от ОХзУзХ к еще одной промежуточной системе координат ОХзУзг. Соответствующую матрицу соотношениями: сумма квадратов влементов каждой строки (столбца) равна единице и сумма попарных произведений соответствующих элементов столбцов (строк) равна нулю. Следовательно, из девяти элементов матрицы А независимых только три. Таким образом, матрицу А можно задать при помощи трех независимых параметров.
В зависимости от конкретного выбора этих параметров матрица А будет выглндеть по-разному. Рассмотрим один из наиболее распространенных способов задания ориентации твердого тела при помощи углов Эйлера и найдем соответствующую им матрицу А. Углы Эйлера вводятсн следующим об- г разом (рис.
18). Плоскость Оху пересека- О етсл с плоскостью ОХУ по прямой ОзУ, которая носит название линии узлов. Угол, составляемый линией узлов с осью ОХ, У обозначается буквой ф и называется углом лрвцессии, угол между осями Ог и ОЯ обозначается буквой У и называется углом пух Х гв тации, угол между осью Ох н линией узлов обозначается буквой 1а и называется углолз собственного вращения. Рнс. 18 Три угла ф, У., у не зависят один от другого и могут быть выбраны совершенно произвольно. Если заданы три числа, являющихся значениями углов зр, у, вз, то тем самым однозначно определена ориентация твердого тела в абсолютном пространстве.
Обычно принимается, что 0 < ф < йзг, О < у < н, О < р < й . Переход от системы координат ОХУв к системе Охуг осуществляетсн при помощи трех последовательных поворотов: на угол ф вокруг ОХ, на угол У вокруг ОДг и на угол у вокруг Ог. Все повороты производятся против часовой стрелки, если смотреть с конце соответствующих осей поворота. При первом повороте мы переводим систему координат ОХУЛ в промежуточную систему координат ОХгУ в. Соответствующий переход задается матрицей Ат.. Кинел!стива твердого тело перехода обозначим Аз.
х, 12 1 О О О созд — япд О Яш 0 сов д = Аз Аз = И, наконец, третий поворот переводит систему координат ОХ!122 в систему координат Охуз. Этому повороту соответствует матрица Азг сову — япу О 8!ну сову О О О 1 х, 12 Аз = Матрица А перехода от системы координат Охуз к системе ОХУл рав- на произведении) матриц А!А!Аз, ее элементы аг выража!отса через углы Эйлера по следующим формулам: аы — — соз)1) сову — яп0) яп усозд, а!2 = — соз г)) яш у — 81п г)) соз у соз д, а13 = Япг~) 81п0) азг = Янгу) 1'.Оьу+ соь'у)згпус080) (3) а22 = Янгч) 81пу + СОЯ'у СОЯ у СОЯ О. а23 = СОЯ )))зги 0) аз! — — яп у яп д, азз = соз у яп д, озз = соз д. упклжнкник 1.
Привести копкретпь)й пример некоммутвтнвных по- воротов твердого тела. Отметим, что при 0 = О или д = к линия узлов Одг и углы у и у не определены, а определена только их сумма у+ У). Эта особенность углов Эйлера делает их малопригодными для исследования движений, при которых ось Оз тела может принимать направления, близкие прямой, проходящей через ось ОИ, Избежать этих трудностей можно, применян другие углы, определяющие ориентацию тела в абсолютном пространстве) или модифицируя углы Эйлера так) чтобы угол 0 до оси 02 отсчитывалсн не от оси Ол, а, например, от ОХ илн ОУ, Злмкчлник 2.
Мы видели, что конечный поворот системы ОХУл, переводящий ее в систему Охуз, задается матрицей А, являющейся произведением трех матриц, задающих последовательные повороты. Но, так как операция перел!нолсения матриц не обладает свойс)ивом колглутатив«ости, отсюда следует, что конечные повороты твердого тела неколмутативны. Это означает, что в общем случае ориентация твердого тела, получаемая им в результате двух последовате)гьных конечных поворотов, зависит опг порядка выполнения этих поворотов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
