markeev_book (522779), страница 11
Текст из файла (страница 11)
в третьем примере криволинейное (точки тела движутся по криволинейным траекторинм — окружностям). Так как при поступательном перемещении любые две точки тела Р, и Рг за время А! име>от геометрически равные перемещенил >зз«> г 4. Ниеемегаиеа твердого а~ела о7 и ЬРег, то при поступательном движении все точки тела имеют равные скорости и равные ускорения. Эти одинаковые для всех точек тела скорости и ускорения называются соответственно скоростью и ускорением поступательного движении твердого тела.
В дальнейшем мы увидим, что понятия скорости и ускорения твердого тела имеют смысл только для поступательного движения, так как при движении. отличном от поступательного, скорости и ускорения различных точек тела, как правило, неодинаковы. 23. О мгновенном кннематнческом состояния твердого тела. Если в данный момент времени скорости е всех точек твердого тела равны между собой, то говорят, что тело совершает мгновенно поступательное движение со скоростью и.
В частности, если п = О, то тело находится в мгновенном покое. Зьмвчлнив 3. Здесь речь идет только о распределении саоростей точек тела е данный момент времени. В частности, ускорения точек тела совсем не обязаны быть одинаковыми. Если в данный момент времени точки некоторой прямой в твердом теле имеют скорости, равные пулю, то говорят, что тело совершает .нгноаенное вращение вокруг втой прямой, а прямую называют мгновенной осью вращении. Злмечлние 4. В приведенном определении речь идет только о распределении скоростей точек некоторой прямой е твердом теле. Мгноеенная ось вращения, е частности, е разные моменты времени может занимать разные положения и в деижущелеся теле, и е абсолютном пространстве. Если в данный момент тело участвует в совокупности двух мгновенных движений, поступательном вдоль некоторой оси и вращении вокруг этой оси, то говорят, что тело совершает мгновенно винтовое движение.
В дальнейшем (в п. 28) будет показано, что самое общее мгновенное движение свободного твердого тела является мгноненно винтовым. 24. Скорости н ускорения точек твердого тела в общем случае движения. Пусть О,ХУЯ неподвижная система координат (рис. 17), Π— произвольно выбранный полюс, Ояуг — жестко связанная с твердым телом система координат; система координат ОХУЯ получается из О,ХУЯ поступательным перемещением, определяемым вектором Ло. Пусть Р некоторая точка тела, р и г вектор ОР, заданный своими компонентами в системах координат Окдг н ОХУЯ соответственно. Теорема.
Существует единственный вектор ы, называемый уг говей скоростью тела„с помощью которого скорость и точки Р тела может Глава 1 быть представлена в виде (4) о=о,+ыхг. где о, — скорость по гюса О; вектор ы от выбора полюса не зависипг. о = Ве + Ар = о, + АА ' г. (б) Покажем, что матрица АА ' кососимметрическая. В самом деле, продифференцировав по времени тождество АА' = Е, получим АА'+ АА' = О.
Отсюда АА " = — АА'. Применив операциго траяспонирования к обеим частям этого равенства, имеем окончательно (АА ') = — АА' = — АА Теперь введем обозначения для элементов кососимметрической матрицы АА г по формуле Π— игл игу Π— ых -игу игх О АА Если составить вектор аг' = (огх г гоу, игл) с компонентами, заданными в системе координат О,ХУЯ, то результат умножения матрицы АА на вектор г может быть представлен в виде векторного произведе- ния ы х г. Отсюда и из (5) следует формула (4). Попутно показана справедливость равенства (называемого формулой Эйлера) Мы ввели ы, взнв предварительно в неподвижном пространстве конкретный базис, задающий систему координат О,Хг'Я. Из (4) получаем. что в этой системе координат аг = г/з го1 о. Единственность ы при заданном полюсе О следует теперь из инвариантности вихря и независимости о от выбора базиса (см.
замечание 1 в п. 6). Независимость аг от выбора полюса получаем из того, что компоненты ы целиком определяются элементами матрицы А и их производными по времени, а матрица А от выбора полюса не зависит (см. и. 21). Теорема доказана. Отметим некоторые следствия, вытекающие из формулы (4). Доказательство. Продифференцируем обе части равенства (2), учтя сначала, что вектор р постоянен, а затем воспользовавшись формулой (Ц. Получим Кинематика твердого тела 1. В калсдый момент времени проекиии скоростей любых двух точек, твердо- 2 го тела на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой. (Па рис.
22 оз сов оз = сз соз аз. Механический смысл этого равенства весьма прост: в силу того Р, что РтРз = сопв1, точка Рь не может ни «до- Рис. 22 гнатыз точку Рз, ни «отстатьь от пее.) Доказательство следует из того, что согласно (4) оз = о1 + ш х Р1 Рз. Отсюда о«Р«Рз = оз Р«Рз, или вз сов ««« = ог салаг. 2. Скорости трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, вполне определяют скорость любой точки тела. (Очень простое геометрическое доказательство получаетсн, если использовать следствие 1.) 3.
Если векторы скоростей трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, в некоторый момент времени равньб то тело совершает мгновенно поступательное движение. 4. Если в данный момент времени скорости двух точек тела равны нулю, пьо тело либо находится в мгновенном покое, либо совершает мгновенное вращение вокруг прямой, проходящей через эти точки. б. Если скорость некоторой точки тела в данный момент времени равна нулю, то тело находится либо в мгновенном покое, либо в мгновенном вращении вокруг оси, проходящей через эту точку.
6. Мгновенное движение твердого тела в самом общем случае разлагаетсн нп два движения: поступательное со сз«оросгпью, равной тюрости произвольного полюса, и вращение вокруг оси, проходящей через этот полюс. Чтобы найти ускорение ю точки Р, продифференцируем обе части формулы (4) по времени. Получим ю = о, + аз х г+ из х г. Вектор е = аз называется угловым ускорением. Учтя (6), формулу для ю можно записать в виде (7) ю = юв + в х г + из х (аз х г). Вектор ю„р — — е х г называют вращательным ускорением, в ю„= аз х (аз х г) . осестремительныл«ускорением.
Таким образом, ускорение произвольной точки твердого тела складывается из ускорения полазав, вращательного и осестремительного ускорений. Формула (7) носит название формулы Ривальса. ОО Глава 1 О Рнс. 2З Рнс. 24 25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть в твердом теле неподвижны две точки 0 и Ов. Прямая, проходящая через О и Оы будет осью вращения. Ось Олб неподвижной системы координат и ось Оз системьв координат Охйж жестко связанной с телом, направим по оси вращения. Ориентация тела относительно неподвижной системы координат определяется углом у(1) между осями ОХ и Ох 1рис. 23).
Точки тела, не принадлежащие оси вращения, движутся по окружностям с центрами па оси вращения и лежащим в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Пусть точка Р тела задана в связанной системе координат радиусом-вектором р. Тогда сов ~р — гйп ~р 0 в1п ~р сову 0 0 О 1 г = Ар, А= Непосредственные вычисления показыва|от, что О -хО о о 0 0 0 0 О 0 О, в= Отсюда следует, что угловая скорость ы направлена по оси вращения, причем так, что если смотреть с конца вектора ы, то вращение тела видно происходящим против часовой стрелки. Угловое ускорение в также направлено по оси вращения, причем в ту же сторону, что и ы, если ахр > О, т.
е. если вращение ускоренное (этот случай представлен на рис. 24), и противоположно ы, если р~р < О, т. е. если вращение замедленное. 'з'4. Киаемвтика твердого прело, Для вычисления скорости и ускорения точки Р примем начало координат О за полюс. Тогда но = О и из формулы (4) имеем и = аг х т. Вектор и легкит в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Его модуль и = ыИ = ~фй, где й --- радиус окружности, по которой движется точка Р. Учитывая, что ш, = О, из формулы Ривальса (7) получим ш = в х г+ аг х н. Вращательное ускорение ш,р — — в х г направлено по касательной к траектории точки Р (к окружности радиуса д); его модуль ш,р — — га = ~Дд (рис. 24).
Осестремительное ускорение ш„= аг х н; опо лежит на перпепдикуллре, проведенном к оси вращения из точки Р, и направлено к оси вращения; его модуль ш„= ыгд. Отметим. что вращательное ускорение точки Р в случае вращснил тела вокруг пеподвигкной оси лвллется ее касательным (такгепциальнрем) ускорением (см. и. 6), в осестремительное ускорение является нормальным ускорением точки Р. Модуль полного ускорения точки Р вычисляется по формуле ш = д~й~+ ыл. Угол Д между направлениями осестремительного и полного ускорений вычисляется по формуле $д Д = г/ы~.
26. Движение вокруг неподвижной точки. Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О. Тогда снова и = О, ш = О и формулы для и и ш те же, что и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, рассмотренном в п. 25, Таким образом. в данный момент времени скорости точек тела таковы, какими они были бы, если бы тело вращалось с угловой скоростью аг вокруг неподвижной оси, на которой в данный момент времени лежит вектор ш. Эта ось называется мгновенной осыв вращения, а вектор ы - мгновешрвй угловой скоростьро. Все точки мгновенной оси вращения имеют скорости, равные нулю.
Мгновенная ось вращения перемещается и в теле, и в абсолютном пространстве. В свлзи с этим заметим, что при движении твердого тела вокруг неподвижной точки (и в общем случае движения свободного твердого тела) ы не является производной некоторого угла р, так как нет такого направления„ вокруг которого поворот па угол р совершается. При своем движении мгновенная ось вращения описывает в теле коническую поверхность — подвижный аксоид, а в абсолютном пространстве коническую поверхность неподвижный аксоид.
Вершины этих аксоидов совпадают с неподвижной точкой О. Аксоиды касаются один другого по образующей, совпадающсй с мгновенной осью вращения. Можно показать, что при движении тела подвижный аксоид катитсл по неподвижному без скольярепия. Годограф вектора ы лежит на неподвижном аксоиде. Так как в = ы, то угловое ускорение в направлено по касательной к годогра- 62 Глава 1 Рис. 26 Рис. 26 фу и вовсе не обязательно по мпювенной оси вращения (рис.
25). Положим ы = ые, где е — единичный вектор, коллинеарный ы. Тогда е = е1 + ез, где вектор е1 — — ые направлен по мгновенной оси вращения, а е = ые перпендикулярен ей. Вектор ет характеризует изменение ы по модулю, а ез по направлению. Если мгновенная ось вращения вращается вокруг точки О с угловой скоростью й, то ез = й х м, Согласно формуле (7), ускорение ю какой-либо точки Р тела равно сумме вращательного и осестремительпого ускорений. При этом ювр:яхт:а~хе+вахт Вычислим осестремительное ускорение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
