markeev_book (522779), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть в данный момент времени 1 = 1* система находится в каком- либо положении, определяемом радиусами-векторами г„= г', и имеет какие-то возможные скорости и' и возможные ускорения пз„*. Возможному в момент 1* + сзс положению системы отвечают радиусы- векторы т*+)аг точек системы. Величины Ьг аозмансяые перемещения системы за время Ы из ее возможного положения, задаваемого Плавя 1 радиусами-векторами г* в момент 1 = 1'. Для достаточно малых Дб возможные перемещения точек системы можно представить в виде суммы: Дт = о'Д1+ — ш*(Д2) +... (и = 1, 2,..., Х).
(6) Здесь не выписаны слагаемые, порядок которых относительно Д1 выше второго. Так как множество возможных скоростей и ускорений бесконечно, то бесконечно и множество возможных перемещений. Пренебрежем в (б) величинами выше первого порядка относительно ДП тогда Дг„= о*Дг. Если уравнения (3) и (2), которым удовлетворнют возможные скорости о', умножить на Дгз то получим систему уравнений, которой удовлетворяют линейные по Дб возможные перемещения: т- дУо.дгя+ дУодб О дг " дб аря Дпи + ивД1 = О (сесс1, 2,.... г), (7) (В = 1. 2,..., в).
(8) Примну 2. Точка Р движется по подвижной или деформирующейся поверхности, все точки которой имеют скорости и з (рис. 13). В этом случае возлеожная скорость уже не лежит в касательной плоскости. Возможных перемещений опять бесконечное множество. Если пренебречь величинами порядка (Дб) и выше, то все опи получаютсн добавлением вектора иД1 к каждому из возможных перемещений предыдущего примера. В этом случае уже соотношение Дг. Егвс) ( = О не выполняется при любых Дг.
здля етого достеточно, чтобы функции г 66 имели непрерывные производные до третьего порядке включительно. тек будет, нвпример, когдл поверхность нвляется недеформирующелся и движется поступательно со скоростью н (см. и. 22). Функции ар, ав в (8) и частные производные в (7) вычисляются при 1 = Р, г, = г". Примну 1.
Точка Р движется по неподвижной поверхности (рис. 12). В этом случае возможной скоростью о* будет любой вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхпосгпи в тпочке Р и проходящий через эту точку. Если пренебречь в (6) величинами выше первого порядка относительно Д1, то Дг = о*Д1. Любой вектор, построенный из точки Р и лежащий в касательной плоскостпи, будетп возможным перемещением. Если поверхность видается уривнением 7(г) = О, то все возможные перелеещения ортогональны нормали к поверхности, т. е.
Дг агай7' = О. 37 '2 о. Общие основания кинематики системы Рис. 13 Рнс. 12 12. Действительные и виртуальные перемещения. Синхронное варьирование. Пусть в момент времени» = »* система находится в положении, задаваемом радиусами-векторами ее точек г*,, а скорости точок имеют нскоторыс конкретныс возможные значения и* . но 1,ели заданы силы, действующие на систему. то, проинтегрировав систему дифференциальных уравнений движенин, можно получить значенив радиусов-векторов г„ точек системы длл моментов времени », следующих за»*.
Если обозначить с»» приращение времени» вЂ” »*, то приращения радиусов-векторов точек системы можно представить в виде (9) г (» + с»») ~"г (» ) ттоос»»+ тоно(с»») + ''' где щ„', — ускоренна точек системы при » = »*; многоточием обозначены величины выше второго порндка относительно д». Величины (9) суть действительные (истинные) перемещения точек системы за время с»». Действительное перемещение, естественно, нвлнетсн од- 2 ним из возможных. Если пренебречь членами порндка (с»») и выше, то действительное перемещение будет дифференциалом функции г (»), т.
е. тн(»* + д») — т„(»') = с»г = и'„д». В атом случае действнтельнглс перемещения удовлетворяют уравнениям, аналогичным (7) и (8): (о = 1, 2,..., т), (10) с»г + с»»=0 дг-' "+ д» арн с»г + адс»» = 0 (Д = 1, 2,..., в). (11) Уравнения (10) и (11) получаютсн умножением обеих частей уравнений (3) н (2) на с»». Величины д»',»дг,, д7' /д». адн, ад в (10), (11) вычислнютсв при» = »', г = г*,.
В дальнейшем под действительными перемещениями точек системы за время д» будем понимать их Глава 1 бесконечно малые перемещении, линейные по ФП они удовлетворяют уравнонинм (10). (11). Помимо действительных перемещений, в теоретической механике прияцнпиальное значение имеют так называемые виртуальные перемещения. Пусть при у = 1* система занимает некоторое свое возможное положение, опредсляемое радиусами-векторами ее точек г*. Виртуальным перемещением системы называется совокупность величин дг, удовлстворнющая линейным однородным уравнениям Х ,~" д,=о дгл г =1 »г ар дг, =0 (г« = 1, 2,..., г).
(12) ()1 = 1, 2,..., е), (13) и=1 где величины Э1„7Эг и ад, вычислены при 1 = 1*, г = г*. Остановимся на введенном понятии виртуального перемещения подробнее. Величина дг, задастсн проекцинми дх, дуле дх . Так как число неизвестных дх , ду„, дх (и = 1, 2,..., 1«') превосходит число уравнений (12), (13), которым они удовлетворяют, то количество виртуальных перемещений бесконечно.
Из (10),(11) и (12), (13) следует, что для склерономной системы действительное перемещение будет одним из виртуальных. Пусть дх„ду„дх, — бесконечно малые величины. Из (7), (8) и (12), (13) видно, что множество линейных относительно Ы возможных перемещений склерономной системы совпадает с мнон«еством ее виртуальных перемещений. Можно сказать, что виртуальные перемещения — зто возможные перемещения при езамороя«енных» (1 = Ф* = савву) связях. Коммвнтлгий 3. В примерах 1 и 2 п. 11 множества виртуальных перемещений одинаковы и представляют собой совокупность построенных из точки Р векторов дг, лежащих в проходящей через Р касательной плоскости к поверхности, по которой движетсн матери лвная точка.
Бесконечно малые приращения дх, дуя, дх называются вариациями величин х, у, з„. Переход при фиксированном У = 1' из положении системы., определяемого радиусами-векторами г*, в бесконечно близкое положение, определнемос радиусами-векторами г,* + дг, называется синхронным варьированием. При синхронном варьировании мы не рассматриваем процесс движении и сравниваем допускаемые связнми бесконечно близкие положения (конфигурации) системы для данного фиксированного момента времени. '2 б. Общие основания кинематики система Рассмотрим две совокупности возможных перемещений с одним и тем же значением величины схе. Согласно (б), 2 '-12Г» = Е»е'"~~+ 22О»е(С~~) + (е*, — е*,) Ьб= О (о =1, 2,..., т).
(14) »=1 Аналогично из (2) получаются равенства ад» ° (е* — е*) Ьс = О (д = 1 2,.... в). (15) »=1 Если теперь подобную процедуру проделать с уравнениями (4) и (5) (только надо будет еще подставить п1 = ео' (1 = 1, 2), а умножить на 1/2(Ь1) ), то придем к равенствам 1т дзс (11) 2 1е ( с де2с 2 д27 1 ) (,л,б)2 л дг7 (,22)2 д д нг/ »г~ 2 + с' дд (», »е) 'г» Гн 2 г» (2112)2 1» (/дал ап»'(Щ~, П1»е) 2 + ~ д Ю ' т »=1 — — е ' ю дал,, (Ьг) + Š— (е.' -е,*) . + д1 ' ' 2 (17) дав,, (Ьс) + 2 — ° (е — е„„) — О (о = 1, 2,..., г; д = 1, 2,..., е).
Возмояпеые скорости е'1 и возможные ускорения ео', (1 = 1, 2) удовлетворяют уравнениям (2) — (5). Подставим в (3) величины 2 = 1', г„= г*, е„= е", и умножим обе части етого равенства на Ь|, затем подставим в (3) величины 8 = 8", г, = т;*„и„= е', и снова умножим на слй Если теперь из первого результата вычесть второй, то получим равенства 40 Г21ава 1 Составим теперь разность двух возможных перемещений: '~1ги ~"ьзьи (еи1 о 2)~~ + (чаи1 шиь) 2 + ' ' ' (~8) (2л1) Если бе = е', — о "2 ф О.
то главная часть величины (18) линейиа по сьй Она равна де„2ль и, согласно (14), (15), удовлетворяет уравнениям (12) и (13), т. с. совокупность величин Бг =до Ь1 (ьи=1, 2,..., 11') (10) будет виртуальным перемещением. Синхронное варьирование (19), прсдполагающео о,', ф- е*,, назынаегсн варьировиниел по Журдену. Если же о*, = и„*,, но дчв, = ьв„*, — и1*, ф О, то главная часть (Ь1) разности (18) равна дш, .
И, так как в (16), (17) все суммы, кроме первых, при е*, = е'ь обращаются в нуль, главная часть разности (18), согласно (16), (17) и (12), (13), будет виртуальным псромощением (20) дг = — дш (Ь1) (и=1, 2,.... Х). 2 Такое синхронное варьирование, в котором предполагается, что ое, = е*ь, а чв', У': ш„*,, называстса ваРьиРованием по ГаУссц. 13.
Число степеней свободы. Виртуальные перемещении Бхи, дУио дх, (и = 1. 2,..., Х) УдовлетвоРЯют г + в УРавненивм (12), (13). Число независимых виртуальных перемещений системы называется ее числом сл1епеней свободы. Число степеней свободы мы будем всюду обозначать п. Ясно, что п = 311' — г — в. Пгимвг 1. Одна свободная точка в пространстве имеет три степени свободы. Пгимвг 2. Система, состоящая из двух точещ связанных стержнем, двилсущимся в плоскости, имеет три степени свободы. Пгимьв 3. Конек, движущийся по льду (пример о из и. 10), имеет две степени свободы. Пвимиг 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
