markeev_book (522779), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пространство н время. Механическое движение происходит в пространстве н времени. В теоретической механике в качестве моделей реальных пространства и времени принимаются их простейшие модели -. абсолютное пространство и абсолютное времн, существование которых постулируется.
Абсолютные пространство и время считвются независимыми одно от другого: в этом состоит основное отличие классической модели пространства и времени от их модели в теории относительности, где пространство и время взаимосвязаны. Предцолагаетсн, что абсолютное пространство представляет собой трехмерное, однородное н изотропное неподвижное евклидова пространство.
Наблюдения показывают, что для небольших по размерам областей реального физического пространства евклидова геометрия справедлива. Абсолютное время в теоретической механике считается непрерывно изменяющейсн величиной, оно течет от прошлого к будущему. Время однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.
Движение в его геометрическом представлении имеет относительный характер: одно тело движется относительно другого, если расстояния между всеми или некоторыми точками этих тел изменяются. Для удобства исследования геометрического характера движения в кинематике можно взять вполне определенное твердое тело, т. е. тело, форма которого неизменна, н условитьсн считать его неподвижным. Движение других тел по отношению к этому телу будем в кинематике называть абсолютнылс движением.
В качестве неподвижного тела отсчета обычно выбирают систему трех не лежащих в одной плоскости осей (чаще всего взаимно ортогональных), называемую системой отсчета, которая по определению считается неподвижной (абсолютной) системой отсчета или неподвижной (абсолютной) систелзой координат. В кинематике этот выбор произволен. В динамике такой произвол недопустим, Зе единицу измерения времени принимается секунда: 1 с = 1/86400 сут, определнемых астрономическими наблюдениями. В кинематике надо еще выбрать единицу длины, например 1 м, 1 см и т. п. Тогда основные Глава 1 ьинематические характеристики движения: положение, сшьрость, ускорение, о которых будет идти речь дальше, определяются при помощи единиц длины и времени.
Если некоторый определенный момент принять за начало отсчета времени, то всякий другой момент времени однозначно определяетсн соответствующим числом 1. т. е. числом секунд, прошедших между начальным и рассматриваемым моментом. Это число положительно или отрицательно., смотря по тому., следует ли рассматриваемый момент времени за начальным илн предшествует ему, т. е. — оо < ь < +ос.
2. Материальная точка. Механическая система. Под материальной точкой понимается частица материи, достаточно малая для того, чтобы ее положение и движение можно было определить как длн обьекта, не имеющего размеров. Это условие будет выполнено, если прн научении дннженнл можно пренебречь разморамн части1цл н ее вращением. Можно илн нельзя принять материальный объект за материальную точку, зависит от конкретной задачи. Например, при определении положения спутника Земли в космическом пространстве очень часто целесообразно принимать его за материальную точку; если же рассматриваются задачи, связанные с ориентацией антенн, солнечных батарей, оптических приборов, установленных на спутнике, то его нельзя считать материальной точкой, так как в вопросах ориентации нельзя пренебрегать вращением спутника и его следует рассматривать как объект, имеющий конечные, хотя и малые по сравнению с расстоянием до Земли, размеры.
В теоретической механике материальная точка представлнет собой геометрическу|о точку, наделенную по определению механическими свойствами; эти свойства будут рассмотрены в динамике. В кинематике же материальная точка отождоствлнетсн с геометрической точкой. Геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется ее траекторией.
Если прн г1 < 1 < гз траектория— прнмая линии, то движение точки прямолинейное. в противном случае криволинейное. В частности, движение точки на интервале времени 11 < Г < гз называют круговым, если на этом интервале траектория точки лежит на окружности. Механической системой, или системой материальных точек, или.
для краткости, просто сисглемой мы будем называть выделенную каким-либо образом совокупность материальных точек. 3. Задачи кинематики. Задать движение точки (системы)— значит дать способ определении положопин точки (всех точек, образу1оших систему) в любой момент времени. Задачи кинематики состоят в разработке способов задания движе- З з. Кинематика точки нин и методов определении скорости, ускорении и других киномати- ческих величин точек, составляющих механическую систему.
В 2. Кинематика точки 4. Векторный способ задания движенин точки, Рассмотрим движение ма- Р териадьной точки Р относительно некото- Ю рого тела, которое считается неподвижным. т Пусть Π— точка, принадлежащая этому телу. Радиус-вектор г движущейсн точки Р относительно О можно задать как векторРис. 1 функцию времени: и = г(1). С течением времени конец вектора и описывает траекторию точки (рис.
1). Производная от и называется скоростью точки Р. Производная от о он г1з г г11 г11з (2) т 11) = щ(1)з+ у11)у'+ з(1)й. При этом для скорости имеем выражение о(1) = — = о з + ову + о, й, сЬ г1т где о = щ, ои — — у, о, = з — проекции скорости и на оси Ощ, Оу, Оз.~ Величина скорости и и ее направление определяютсн равенствами соа(о,у) = —,„, У соа(о, з) = — „, соа(о, Й) = — „. Производнан по ь какой-лиоо величины, нвлшощейсн функцией аргумента а часто обозначаетсн точкой над соответствующим символом, обозначающим эту величину. называется ускорением тачки Р. 5.
Координатный способ задания движения точки. Пусть Ощд неподвижнан декартова прямоугольная система координат, а з„у, и .. орты ее осей Ощ, Оу, Оз. Тогда вектор-функции г(1) может быть задана тремн скалярными функциями щЯ, у(1), з(1) — координатами точки Р: Глава 1 Аналогично для ускорения ю(б) получаем ю(ь) = — = и) с+ юез + ю.й, ~:Ь й (Ь) где и~я = т',. тов — — у, ю, = д — проекции ю на оси Ох, Оу, Ог. И тогда (6) сое(ю,г) = — „;, сое(ю,т) = —,„,, соь(ю,й) = —,.
Пгимиг 1. Задан закон движения точки Р: х = асовбб, у = ав1пбГ, г = сг, где а,б,с — постоянные. Найдем траекторию. скорость и ускорение точки. Нз первых двух равенств, возведи их в квадрат и сложив, получим х +у =а. Зто показывает, что точка движется по поверхности цилиндра радиуса а, ось которого совпадает с осью Ог (рис.
2). Пусть сз угол между проекцией ОА радиуса- вектора ОР на плоскость Оху и осью Ох. Тогда Рис. 2 у= аяпр, х = а сов ьз, х = — абвзпбд у = абсозЫ, б = с; Величина скорости постоянна, но направление скорости изменяется со временем. Найдем ускорение точки. Имеем х = — аб сов Н, у = — аЬ япб1, »= Зеггге= ~' соа(ю, з) = — япбб, г =0; сое(ю, Ь) = — сое бй, сог(ю, й) = О.
Ускорение имеет постоянную величину и направлено по внутренней нормали цилиндра (от Р к В; отрезок РВ параллелен АО). а г = ор(Ь. Следовательно, прямая ОА равномерно вращается, а точка Р равномерно перемещается по ойразующей АР. Таким ойразом, точка Р движется по винтовой линии. Определим скорость точки Р. Имеем З Я. Кинематика точки г(п) = †', — = — я(п), Дг г1т 1 (7) До' йт Р где р — радиус кривизны траектории в точке Р.
Использун определе- нии (1) и (2) скорости и ускорения, получаем при помощи (7) ег ег Жт е = — = — — = о,г, й ИоМ ,1е 1о, лг л, Дз, оз ш = — = т+о — — = г+ — п. Я Щ 'ло <Ц 112 Р (9) б. Естественный способ задания движения точки. Пусть в пространстве задана кривая, по которой движется точ- у) ка Р. Для определения положения точки Р + б О, на ее траектории возьмем произвольную точку 01 кривой за начало отсчета дуг и зададим положительное направление отсчета (рис.
3), Каждому положению точ- Рис. 3 ки Р поставим в соответствие свою дугову1о координату о, аналогично тому как на прямолинейной оси каждой точке отвечает своя абсцисса. Величина о будет положительной или отрицательной в зависимости от направления отсчета дуг; при этом длина дуги 01Р ранна ~е~. Если е = о(1) известная функция времени, то движенио точки Р задано. Такой способ задания движения точки называется естественным. При этом мы будем предполагать, что о(1)— дважды непрерывно дифферснцирусмая функция. Получим выражения для скорости и ускорения точки Р при естественном способе задания движения.
Введем естественный трехгранник, образованный единичными векторами т, и, 6, составляющими пра- Р. о„о, ог ее вую тройку (рис. 4). Векторы т и и лежат ~ оо о Ф в соприкасающейсн плоскости траектории в оЧ оо Л оооо" точке Р и направлены соответственно по ка- 1 е лФ"л сательной к траектории в сторону положи- „ооо~ тельного отсчета дуг и по главной нормали Ь траектории в сторону ее вогнутости, век- Рис. 4 тор Ь направлен по бинормали траектории в точке Р. Радиус-вектор г точки Р относительно какой-либо фиксированной точки будет сложной функцией времени: г = г(а(1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
