markeev_book (522779), страница 13
Текст из файла (страница 13)
- это, вообще говоря, разные точки, Рис. ЗЗ Рис. 34 Пгимкг 2. Тонкий стержень АВ опираегпся своей точкой Р на прямой угол, а концом А скользит по горизонт лыьой направляющей с постоянной скоростью е. Найдем абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки Р в зависимости от времени, если 01э = 6 и в начальный момент времени ОА = й (рис. 34). Гкорость точки Р направлена вдоль стерзкня. Мгновенньяй центр скоростей С будет пересечением перпендикуляров, проведенных к стержню в его гаечке Р и к горизонтальной оси в точке А.
Пусгпь г4. Кинематики твердого тела ОА = и (ю = И)г тогда иг КАОР и ЛАРС имеем АР= ь1йг+тсг зСР= ' ', СА= 6 ' 6 Угловая скорость стержня находится иэ равенства о = ыСА, откуда о ой ой СА йг+ яг Б, '+ оа0' Вектор ы перпендикулярен плоскости рисунка и направлен к читателю. Вектор углового ускорения стержня е также перпендикугирен плоскости рисунка, но его направление противоположно направлению ьо поскольку — ( 0 .
Модуль углового ускорения определяется равенстдог дс вом с = ~, откуда М, 2озЩ (Кг + югйз) Для модуля скорости точки Р имеем Поскольку точка. А является мгновенным нентром ускорений (о = соней), то модуль ускорения точки Р вычисляется при помощи равенств й ь'+4 'о (Кз + г~г)~/~ 28. Кннемвтнческне инварианты.
Кинематнческнй винт. Снова вернемся к общему случаю движения твердого тела, рассмотренному в п. 24. В формуле (4) для скорости точки Р тела угловая скорость ы ве зависит от выбора точки Р. Вектор ьо называют первым кинематическим инвариантом. В более узком смысле мы будем называть первым кииематическим инвариаитом величину 1з — — ыг. Далее, из формулы (4) следует, что для любых двух точек тела А и Л скалярные произведения их скоростей ол и ов иа вектор со одинаковы. Позтому проекции скорости точки на направление угловой скорости не зависит от выбора втой точки. Скалярное произведение скоростей точек тела на его угловую скорость называется вторым кинематическим инвариантолс 1г —— о ° ы. 7О Глава 1 'М Покажем, что в самом общем случае движения твердого тела, когда Гл ф О, скорости его точек таковы, как если бы тело О совершало мгновенно винтовое движение.
Для этого, согласно п. 23, надо показать существование такой примой М1т', все точки н которой в данный момент времени имеют Ь" скорости, направленные вдоль этой прямой и параллельные ы. Пусть выбран какой-либо полюс О и в О у данный момент известны его скорость ео н угловая скорость тела ьа. Пусть они зада- Х '.
М ны своими компонентами в системе координат ОХУХ, получающейся из абсолютной системы координат О„ХУХ при помощи поступательного перемещения (рис. 17): еох ео = ьои соя Если скорость точки о тела (рис. 35) отлична от нуля и параллельна вектору ы, то ео+игхОо=ры ~р~О). Это равенство является векторным уравнением прямой М1т'. Если Х, У, Х вЂ” координаты любой точки прямой, то это уравнение в скалярной форме запишется в виде сох + (ьггХ вЂ” юла ) иок -ь (ылХ вЂ” юхан) ых (14) еол + (<~хУ вЂ” ыгХ) ыл =р Прямая (14) называетсн мгиоветюй винтовой осью тела.
Ясно, что все точки мгновенной винтовой оси имеют одинаковые скорости, равные проекции скорости любой точки тела на направление ьа. Совокупность угловой скорости ы тела и скорости е любой точки мгновенной винтовой оси называют кинематическим винтом, а число р - параметром винта. Параметр винта выражается через кинематические инварианты по формуле Гз о= 71 71 1' о. Сложное движение точки Иипематический винт иазываетсп правьем или левым в зависимости от того, положителен или отрицателен его параметр; рис. 35 соответствует правому винту. Пгиньв 1. Пусть в пространстве движется твердое тело и в некоторый момент времени оказываются известными скорости ол, вв, ос трех его точек А(0, О, 0), В11, 1, 0), С(1, 1, Ц; ол(2, 1, — 3), вв(0, 3, — 1), ос( — 1., 2, — 1).
Найдем положение оси нинемагпического винта и его параметр в рассматриваельый момент времени. Примем точку А за полюс. Тогда ов = ол + ш х АВ, вс = ол+ш хАС. Эти векторные равенства можно записать в виде следующей совместной системьа шести линейных уравнений относительно компонент им ьоо, ш, вектора аы — ш, = — 2, оо, = 2, ш, — ео, = 2, о>о — оо, = — 3, ш, — ш, = 1, ше — шо — — 2.
Решив эту систему, получим ш,=1,шо —— — 1,оз,=2. Для кинематических инвариантов 1ь и 1г имеем такие значения: 1ь =шг =6, 1г= ил ш= — о. Таким образом, в рассматриваемый момент времени тело совершает льгковенно винтовое движение, причем параметр кинематического винта равен — ~~' . Уравнение мгновенной винтовой оси, согласно (14), имеет вид 2 — 2у — г 1+2т — г — 3+х+у 5 1 — 1 2 6 3 5.
Сложное движение точки 29. Основные определения. Иногда бывает необходимо изучить движение точки одновременно по отношению к двум системам координат. Пусть система координат Охуг движется по любому заданному закону относительно абсолютной системы координат ОеХ1'Я 1рис. 17). Это значит, что известны движение полюса О и матрица А(1), задающая ориентацию осей О:г, Оу, Ог относительно абсолютной системы координат.
Пусть в пространстве движется точка Р. Ес движение по отношению к системе координат Охуг называется относительньам движением. Движение трехгранника Охуг относительно О Х1'л называется переносным двизкением. Двия1еиие точки относительно системъь 72 !"лава ! координат О„Х1'Я, определяемое этими составляющими движениями, называется ее сложным или айсолвтныл деиасеииель Задача состоит в установлении связи между основными кинематическими характеристиками движения точки в неподвижной и подвижной системах координат. Абсолютной сиорастьв е (абсолютным ускорением ж„) точки называется ее скорость (ускорение) относительно абсолютной системы координат О„ХУУ. Относительной скоростью е, (относительнмль ускорением и,) точки называется ее скорость (ускорение) относительно системы координат Отдз. Переносной скоростью е, (переиосиыл! ускорением ть) называется скорость (ускорение) той точки Р', которая неподвижна в системе координат Овдз и с которой в данный момент совпадает движущаяся точка Р.
Иными словами, переносная скорость (переносное ускорение) есть та скорость (ускорение), которую движущаяся точка Р имела бы в данный момент, если бы она в этот момент оказалась !кестко связанной с подвижной системой координат (т. е. не совершала бы относительного движения). 30. Производная от вектора, заданного своими компонентами относительно подвижной системы координат. Часто приходится встречаться с необходимостью дифференцирования вектора, заданного своими компонентами в системе координат Овуз, движущейся произвольным образом.
Скорость изменения этого вектора в неподвижной системе координат ОаХ'г'У называется его абсолкьтной производной, а скорость изменения вектора в системе Окуз -- относительной или локаль>вй производной. Найдем связь между этими производными. Иа рис. 17 ОР = р вектор, .заданный в движущейся системе координат Овдз. Тот же вектор ОР, заданный в неподвижной системе координат О„ХУЕ, обозначим т. Так как движение системы Овуг задано. то матрица А(!), определяющая ориентацию подвижной системы координат относительно неподвижной, известна и т = А(!)р. Вектор — т есть абсолютная производная вектора ОР, а вектор а! — = А(!) — . его относительная производная.
Обе производные за!1 т г!р а! а! йр даны в системе координат О ХУУ (следует заметить, что вектор— и! задан в системе координат Окуз). 'З' в. Нлвживв движвиив точки Из (1) получаем Й г Ар+Ар АА — тт+Ар (2) Но так как (см. и. 24) АА тг=итхт, где ти — углован скорость системы координат Окуз относитель- но ОиХ1'Я, то равенство (2) запишется в виде — =ы х т'+Ар, т1г тХ! Если учесть обозначение для относительной производной, то окончательно получим (б) Этой формулой устанавливается связь между абсолютной и относи- тельной производнымн вектора. Упглжнкннк 1. Показать, что если угловая скорость ит твердого те- ла, двиткущегосп вокруг неподвижной точкщ пеподвнжпв относитель- но тела, то онв неподвижна и относительно абсолютного пространства; показать, что верно также и обратное.
31. 'Х'еорема о сложении скоростей. Связь между относительной, переносной и абсолютной скоростями точки устанавливается следующей теоремой. Теорема. Абсолютная скорость точки равна сумме переноской и относительной скарошпеб. е, = Й = Я, + г = и, + ит х г + Ар. Вектор е,+от х г есть скорость той точки подвижной системы координат, в которой н данный момент находится движущаяся точка Р, т. е. является переносной скоростью е,.
Вектор же Ар есть относительная Доказательство. Заметим, что согласно рис. ! Т и формуле (1) радиус-вектор точки Р в абсолютной системе координат равен В = П + г. Продифференцнровав К по времени и воспользовавшись равенством (4), получим такое выражение для абсо,потной скорости точки Р: 74 Глава 1 скорость о,, заданная в абсолютной системе координат. Следовательно, равенство (6) моясно переписать в виде (7) 32. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолнсв).
Для получения абсолютного ускорения точки продифференцируем сначала обе части равенства (6) по времени и воспользуемся формулой (4). Имеем ю, = о, = и, +аг х г+ы х г+Ар+Ар = (8) = ю,+а х г+ы х (ы х г+Ар) +Ар+Ар. Здесь г — угловое ускорение подвижной системы координат Оэяуг, а вектор Ар есть относительное ускорение ю„. Перепишем равенство (8) в виде ю„= ю, + г х и -> ы х (ы х и) + ю, Ч- ы х Ар -> Ар. (9) Вектор ю, + г х и+ы х (аэ х и) есть ускорение той точки подвижной системы координат, в которой в данный момент находитсн движущаясн точка Р, т.
е. является переносным ускорением. Далее, согласно (3), можяо написать Ар = АА 'Ар = ы х Ар. Поэтому последние два слагаемых в (9) одинаковга и равны ы х о„каждое. Следовательно, формула (9) может быть записана в виде (10) юч = юг+ юг+ юс~ где ю„= 2ы х в„. Вектор ю„называется ускорением Кориолйса. Формула (10) выражает теорему о слолсекии ускорений. Теорема. Абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного и кориалйсова ускорений. Можно сказать, что часть абсолютного ускорения — ускорение Кориолиса связана с изменением абсогпотной скорости, обусловленным двумя причинами: 1) влиянием переносного движении на относительную скорость (при ы ф 0 вектор о, поворачивается относительно абсолютной системы координат за счет вращении подвижной системы координат); 2) влиянием относительного двиясения на переносную скорость (при о, ф 0 пологкение точки в подвижной системе координат изменяется и, следовательно, изменяется переносная скорость).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
