markeev_book (522779), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Входящие в (3) произведения гп, гр„масс точек системы на их ускорении. взятые с обратным знаком, называют синани инерции, Применяя эту терминологию, можно сказать, что общее уравнение динамики показывает, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю. Общее уравнение динамики получено в предположении об идеальности связей (2).
Если же свнзи таковы, что все или часть их реакций гл„ие удовлетворяют условию (2), то можно к системе активных сил добавить реакции гл„, и уравнение (3) примет вид (4) (Ри+ Си — т„ш„) бг, = О. и=1 104 Глава ГН В общем случае силы ьл, (или часть из них) неизвестны. Эта неопределенность должна компенсироваться дополнительными данными о физических свойствах и характере свнзей, порождающих реакции сг . Важным свойством общего уравнения динамики является то. что опо не содержит реакций идеальных связей. Соотношение (3) на самом деле является не одним уравнением, а содерльит в себе число уравнений, равное п, т. е.
числу степеней свободы системы, которое определяется количеством независимых виртуальных перемещений бхы бум Мгы ..., бхп, бук» дгы (см. и. 55). В каждом из этих п уравнений отсутствуют реакции связей. Общее уравнение динамики (3) содержит в себе всю информацию о движении данной механической системы с идеальными удерживакп шими связями под действием заданных активных сил. В последующих главах оно будет положено в основу получения всех основных дифференциальных уравнений движения механических систем, голономных и пеголономных.
Общее уравнение динамики называют также ди»з»у»еренциальным вариационным принципом Даламбера-Лагранжа. Вариационным принцип называется потому, что в (3) входят вариации виртуальные перемещения. Название дифференциального принцип носит потому, что в пем сравнивается данное положение системы с ее варьироваппым положением в фиксированный, хотя и произвольный момент времени (синхронное варьирование, согласно и. 12). С этой точки зрения принцип Даламбера-Лагранжа может быть сформулирован следующим образом: истинное движение из всех кинематически возможных выделяется тем, что для него и только для него в данный момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на лобььх виртуальных перемещен ях равна нулин Нвимвп 1. Две материальные точки миссой гпь и тз (тг > ьпь) соединены идеальной питью, перекинутой через г,тдкий стержень, и движутся в поле тяжести в вертикальной плоскости (рис. 54).
Найти ускорения точек. Пусть х» и хз абсциссы точек, гпт и тз соответственно. Тогда из общего уравнения динамики (3) ыедует, что (зп,~» — т,хч)ух~ + (пьем» вЂ” тгхг)бтг — — О. (5) Но так как нить нерастяжими» то имеет место геометрическая связь зц + хг + яН = сопят, где Н вЂ” радиус сечения стержня. Поэтому бхь = бхг» хь = — хы и уравнение (5) запишется в виде [(тг — п3ь)Д вЂ” 1»»Н + тпг)хзт»хг = О.
105 З 1. !1ринцнл Даламбера- Лагранжа Отсии1а в силу произвольности виртуального перемещения бхг получаем гн2 гк1 Х2 7П1 + газ Рис. 55 Р:. 54 Прищр 2. Найдем дифузерецциаггвное уравнение движения плоского математического маятника. Маятник будем дгя простоты представлять в виде точечной массы т, прикрепленной при помощи невесомого стержня длиной 1 к то те А, вокруг когпорой стержень может вращаться без трения в вертикальной плоскости. Направляя оси Ах и Ау декартооой системы координат., как показано на рис. 55, получаем х = 1соянг, у =121пяг, бх = — 1я1п~рб1р, бу = 1соя1рб1р х = — 1 я 1п д гр' — 1 соя р фз, у = 1 соя ~о 1р — 1 я1 и 1р яз2, Общее уравнение динамики (Š— тх)бх+ (Гц — ту)бу = О дает равенство — т1(д"ягп ьз+ 11р)б~р = О, откуда, ввиду произвольности вариация бу1, следует диу14еренциальиое уравнение движения маятника гр+ — язп1р = О Я,.
(6) 106 Глава 1П 3АмечАние 1. из общего уравнения динамики (3) видно, что оно (а, следовательно, и движение системьь) не изменяется, если вместо системы сш1 х„, взять какую-шбо другую систему сил х'*, такую, чтобы элементарная работа обеих систем сил ни любых одинаковых виртуальных перемещениях была одинакова, т. е. х' 51 = р я' 6г.
32. Принцип Журдена 58. Принцип Журдена. Представляет интерес преобразовать общее уравнение динамики таким образом, чтобы прийти к формулам, в основном эквивалентным уравнению (3) п. 57, но имеющим другую структуру. Так как уравнение (3) п. 57, по существу, содержит в себе все законы движения механических систем с идеальными удерживакэщими связями. то эти новые формулы не будут выражением принципов, существенно новых. Однако они могут дать новую интерпретацию, обнаруживающую общие свойства движения систем и наложенных на них связей, которые не могут быть получены из уравнения (3) п. 57 непосредственно. Рассмотрим множество кинематически возможных движений нз возможного положения з„* с различными возможными скоростями о„*.
Будем сравнивать их одно с другим и с действительным движением из того же положения в тот же момент времени. Так мы получаем варьирование по Журдену (и. 12), при котором дг = бо» л1, где величина до„= о*, — о*, — разность возможяых скоростей в сравниваемых движениях (эта величина не обязательно явлнется бесконечно малой). Подставлян это выражение длн дгэ в общее уравнение динамики (3) и сокращая на ЬБ получаем (х' — т,„эв ) ди = О, Формула (!) выражает диу1!ререпциальный вариационкый принцип Журдена. Согласно этому принципу, среди сравниваемых кинематически возможных в данный момент времени движений (для которых 1;*ч = г*,, ди, ~ О) действительное движение выделяется тем, что для него и только длн него выполнено уравнение (1).
107 6 Х Принцип Гаусса В 3. Принцип Гаусса 59. Формулировка принципа Гаусса (припципа наименьшего принуждения). Вариационные принципы Даламбера — Лагранжа и Журдена не связаны с понятием экстремальности. Гаусс предложил замечательную модификацию принципа Даламбера-Лагранжа., которая вводит в этот принцип понятие минимальности некоторого выражения. Эта модификация принпипа Даламбера — Лаграплса получила название принципа Гаусса, или принципа наименьшего принуждении. Для получения математической формулировки принципа Гаусса будем сравнивать в некоторый момент времени движения, в которых все точки системы имеют те же возможные положения г' и скорости и,*,, что и в действительном движении.
Возможные же ускорения точек системы в сравниваемых движениях будут отличаться (на величины, не обязательно нвлнющиеся бесконечно малыми). Такой способ синхронного варьирования называется варьированием па Гауссу (п. 12). Если для разности возможных ускорений ю„*, — ю'„в двух сравниваемых кинематически возможных движенинх ввести обозначение 6ю„, то, согласно и.
12, 6г„= "~' 6ю (Ь1) . Подставив это значег ние виртуального перемещения в общее уравнение динамики (3) и. 57 и сократив его на с~г(Ь1)~, получим (Р, — ги„ю,) 6ю, = О. Замечая, что массы точек ги, постоянны, а силы Р«не зависят от ускорений точек системы, уравнение (1) можно записать в виде 67=0., (2) где введена величина (3) называемая принуждением или мерой принуждения. Согласно (2), величина л, рассматриваемая как функция возможных ускорений, стационарна при значениях ускорений точек системы, соответствующих действительному движению.
Величина Я ие только стационарна, но и минимальна на действительном движении. В самом деле, пусть ю„„ускорения точек системы в их действительном движении, а Уо соответствующее им значение величины У. Тогда, полагая, что в сравниваемом с действительным 108 Глава Из кипематически возможном движении величина ю равна ю„, + Бю „ находим, что У вЂ” Яо = ,'з (т ю„ — У„)дю,„ + †,„ ~~~ зп„(йю„„)'. (4) ь=з е=З Первая сумма в правой части равенства (4) обращается в нуль в силу уравнения (1), а вторая строго положительна, так как не все величины дю„, (и = 1, 2, ..., зч') равны нулю. Позтому величина У на действительном движении принимает наименьшее значение в классе возможных ускорений системы. Таким образом, мы получили п р и и и и и Г а у с с а или, как часто говорят, принцип наименьшего принуждения: среди сравниваемых кинематически возможных движений (для которых з;*„= з;*„, о,'„= и,*...
дю ф О) действительное движение выделяется тем, что для него принуждение. Я минимально. Птимкр 1. Найдем ускорение точек т, и тг из примера 1 и. 57, применяя принцип Гаусса. Имеем 2пьз( и' е) + 2гпг(ззз И 1 г 1 .г — = зпз(за+ д) + тг(из — д) = О, ог дю тг — зпг и~ тз + зпг Примят 2. Применяя принцип Гаусса, найдем дифференциальное уравнение движения математического маятника (пример 2 и. 57). Функция Я имеет вид У= 2т х — згь + д — т" 2 2 — т(1~зрг + 2у1 гйп чхр) + — т(1~ф~ + 2у1 соз Ф р + дз). Из условия дЯ/дф = О следует уравнение (6) и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
