markeev_book (522779), страница 25
Текст из файла (страница 25)
137 З 2. Статика твердого тела »7окаэательство. Предположим, что для некоторого центра 0 приведения система сил приведена к силе Л и паре сил с моментом Мо, равным главному моменту системы сил относительно центра О. Выберем какую-либо неподвижную декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О. Пусть Л, Лье Л, и Мо» Мор Мо» К з соответственно проекции главного вектора и главного момента на осн этой систе- М' мы координат. 0* Пусть О* (рис. 73) — — новый центр М приведении, а ю, у, з — его координаты.
0 Чтобы убедитьсн в справедливости теоремы, достаточно показать, что центр приведения 0* может быть выбран так, чтобы главный момент Мо был коллипеаРнс. 73 рен Л: (11) Величина р отлична от нуля, так как из (1О) и (11) следует, что 1з р= а величина 1з не равна нулю по условию теоремы. Использовав формулу (5), перепишем условие (11) в виде равенства (12) Мо+ 0*0 х Л = РЛ Это равенство определяет не одну точку 0', а целую прямую, обладающую тем свойством, что для выбранного на ней центра система сил приводится к динаме. В скалярной форме уравнение (12) имеет внд Мор + (зЛр уЛ») Мор Р (тЛ» зЛ») Мо» Р (УЛ». шЛр) Л, Лр Л, (РВ) Прямая (13) называется центральной осью системы сил. Если р >О, то динамический винт называется правым, если р ( О - - левым.
73. Частные случаи приведения системы сил. Пусть 1з — — О, а 1, ф О. Это возможно, либо когда Мо = О, либо когда Мо и Л ортогональпы. Из критерия эквивалентности системы сил, приложенных к 138 Глава 1У Мс» ° В ль М»э Случай приведении Аналог в кинематике фО фО фО динамический винт (динама) мгновенно винтовое движение (кипематический винт) фО фО =О =О фО =О равнодействующая мгновенное вращение =О мгновенно поступательное движение пара сил покой уравновешеннвя система сил УПРАЖНЕННЕ 2. Показать, что плоская системе сил к системе парал- лельных сил в пространстве не приводятся к динвме. ПРИМЕР 1. К твердому телу приложена система сил: х'» = 1 11, направленная по Ог, и Ггэ = 1 Н, направленная параллельно Оу, как указано на рис. 74, где ОА = 1 м.
Привести эту систему сил к простейшему виду, а также найти наименьшую силу, которую нужно приложить к точке О, чтобы получающаяся при этом система трех сил приводилась к равнодействующей. Для главного вектора и главного моменти имеем В' = (О, 1, 1), М', = (О, О, 1). Подсчитываем кинематические инварианты: 1э — — Мо.хь = 1. Так как 1з ~ О, то с»»стема сил (У», Гэ) Рис. 74 1» — — Хьэ = 2, твердому телу. следует, что в первом и во втором случаях система сил приводится к равнодействующей. Равнодействующая леясит на прямой, задаваемой уравнением (13) (при р = О).
В частности, если Мо = О, то равнодейству»ощая проходит через данный центр приведения О. Пусть теперь 1з = 1» = О, а Мо ф О. В этом случае система сил приводится к паре с моментом Мс». Нано»»ец, если 1э = 1» — — О и Мо = О, то система сил нвлнетсн уравновешенной. В таблице представлены все возможные частные случаи приведения системы сил, приложенных к твердому телу. В последнем столбце таблицы длн сравнения указаны соответствуя»щие им аналоги в кинематике твердого тела.
139 'З' 2. Статика твердого тела приводится к динаме. Параметр динами р = !з/1, = "/ . Для момента М динами получаем М' = рз1Р = (Ор У/з, У/ ). Уравнение (13) центральной оси получает вид У х 1 — х 1 О 1 1 2 или = у, х = ". Центральная ось проходит через середину отрезка ОА, ортогональна оси Ох и составляет угли к/4 с осями Оу и Ог.
Если к данной системе присоединить силу Ез, Ез —— (Х, Ур Я), прилозкенную в начале координат, то главный момент не изменится, а для главного вектора получаем В' = (Х, У + 1, Е -~-1). Условие существования равнодействующей Мо В = О приводит к равенству Л -~- 1 = И, откуда Е = — 1. Поэтому РзР = (Х, Ур — 1), Р ХУ р .В Г,=ХХ УУ УР значение при Х = У = О. Отсюда следуетп, что Рз = — гю Гллвд Ъ' Геометрия масс 'й' 1.
Центр масс. Момент инерции Т4. Центр масс. Рассмотрим систему материальных точек Р, (и = 1, 2, ..., Ж). Пусть т — масса, а т — радиус-вектор точки Р относительно начала некоторой системы координат Охуг. Центром масс системы называется геометрическан точка С пространства, определнемая радиусом-вектором н т„г а=1 гс = где М --- масса системы, Центр масс системы называют также ее центрам инерции.
7о. Момент инерции системы относительно осн. Радиус инерции. Пусть расстонние точки Р„до некоторой оси и равно р„. Тогда величина Л 2 называется моментом инерции системьа относительно оси и. Момент инерции,1„можно записать в виде Мрг; положительнан величина р называется радиусом инерции системы относительно оси и. Злмкчлппв 1.
В конкретных задачах при нахождении центра масс и моментов инерции сплошных тел суммы е выражениях длл го, М, д переходят е интегралы. Упглжнвппп 1. Полярным моментом инерции относительно точки О называется величина Я ,Уо = ~ гп г, З 1. Центр ласс.
Момент инерции 1!оказать, что центр масс системы можно определить как такую точку пространства, для которой полярный момент инерции наименьший. От- сюда, в частности, следует, что положение центра масс в пространстве но зависит от конкретного выбора системы координат. Птимкт 1. Вычислим моменты инерции однородного прялоугольного параллелепипеда массой т со сторонали и. Ь, с, огпносительно прямых, проходящих через центр и параллельные ребрам. Выберем систему координат Охуг с началом в центре параллелепипеда, оси котлорой параллельны соответствующим ребрам (рис.
75). Разобьем пираллелепипед на ряд элементарных масс 4т в форме прямоугольных параллелепипедов со сторонами 0хз ду, с!г. Тогда Пусть х, у, г координаты одной из таких' элементпарных масс, Предварительно вычисляел интегралы: Рнс. 75 ь а 2 2 2 д~х дш= ™ / / ~ х йхдус!э=в с Ь ° ~ х дх= — пиз, 2 1 2, 12 в ь а 2 у г а з аналогично у Йгп= — тЬ и дз г Йт= — тс. 12 / 12 Поэтолу для искомых моментов инерции получаем (у +г )с!т= — ш(Ь +с), 1'' =Аз' (г +х )дтп = — 7п(с + о ), 12 /'' =-''' (хд + уз)йзп = — пь(а~ -~- Ь ). 12 Чтобы получить момент инерции тонкого однородного стержня длиной а относительно оси г, перпендикулярной стержню и проходящей Плаза Г через его середину, можно взять третье из этих равенств и положить в нем Ь = О.
Получим з таз з12 ПРимкр 2. Определим момент инерции относительно оси вращения однородной цилиндрической круговой трубки массой т, внутренний ридиус которой равен г, а внешний Л (рис. 76). За элементарную массу йт примем массу цилиндрического слоя, образуемую двумя коаксиальными цилиндрами радиусов р и р+ йр. Имеем фп = 2згрХХ йр = 7п 2тр йр к(Л2 сз) Н Кз гз ' ,У,=/р йт= 2™ р'ар= — зп(Л +г). При т = 0 отсюда следует формула для момента инерции сплошного цилиндра относительно его оси: Рис.
76 Пгимкг 3. Вычислим момент инерции однородного шара массой т и радиусом Л относительно диаметра. Поместив начало системы координат Охуг в центре шара, из симметрии фигуры заключаем, что д = дз —— ,У,. Обозначим этот одинаковый для всех диаметпров момент инерции шара через З. Тогда Зд =,У +,7 +.У, = 2 /(х~ + у + г~)йии За элементарную массу йзп примем массу сферического слоя, обра.зуемого двумя концентрическими сферами радиусов р и р+ йр. Тогда йт = 4кра йр = — "'р йр.
4/3кЛЗ Лз Поэтому ,У = — з (х~ + у + гз)йт = — т р йр = — тЛг. о Примну 4, Найдем момензп инерции конуса относительно его оси. Масса конуса равна т, радиус основания Л. 143 з б Цеггтр масс. 7гтолгеят аверкии „у,,г,) Рис. 78 Рис. 77 За элементарную массу г1пь примем лассу тонкого диска толщиной дг, лоскость которого параллельни основанию конуса и отстоит от него яа расстоянии г (рис. 77). Тогда 3 г1т=,, я ~ ~ сЬ= — '(6 — г) дг гп (й — д)17~ Зт, з 1!З Лзб ~ й 1 бз и для искомого момента инерции получаем 3 Ь ('1~(г — *)а~ „г аг /~„,се, г.
а е Тб. Моменты инерции относительно нараллельных осей. Момент инерции, очевидно, зависит от выбора оси и. 11айдем зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей. Сначала покажем, что если известен момент инерции дсг относительно некоторой оси, проходящей через центр масс системы, то момент инерции д„относительно любой параллельной оси может быть найден по формуле (2) Аь = дс где д — расстояние между осями'. Действительно, поместим начало координат в центре масс С, направив ось Сг по оси, относительно которой известен момент инерции Хп, а ось Су так, чтобы она пересекала ось и, параллельную осн Сг Эта утверждение негывееген теоремой Гюйгенга — Шжейгнера. Глава 1' (рис.
78). Тогда к зч ,7в = 2 ти(к„+ (Уи д) ) = 2 зпи(к„+ У,.) и=1 Первая сумма в полученном выражении есть 3ь, вторан сумма обращается в нуль, так как она равна Мус, а для выбранной системы координат ув = О, третья сумма равна массе системы М. Справедливость формулы (2) доказана.
Из формулы (2) следует соотношение между моментами инерции относительно любых параллельных осей и1 и из. д 1 + М(д2 аз2) где д1 и йз — расстонпия осей и1 и оз от Рис. 79 центра масс. Пгнмкг 1. Подсчитаем момент инерции тонкого однородного стерж я длиной и п массой т относительно оси з, перпендикулярной стержнкз и проходюцей через его конец (рис. 79).
Так как (см. пример 1 п. 75),7п = глаз/12, то .У, = .Уо + т(а/2) = пш ~Х 8 2. Тензор и эллипсоид инерции 77. Моменты инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Рассмотрим ось и, проходящую через начало системы координат Ожуг. Косинусы углов, образуемых осью и с осями Ом, Оу, Оз, обозначим соответственно об Гз, 7. Тогда (рис. 80) Л1 1Ч д = ~ тирз = ~ ~т ((Мз + уз + 22) — (и Сг + у ЗЗ + 2 7)~) и=1 и=1 Ю ((1 2), 2 Ч (1 ()2)12 + (1 2) 2 и=1 212(11сиуи — 2сзтм 2 — 2127уи и). На основании тождества о~ + Д~ + 7~ = 1 заменяем 1 — оз, 1 — Д~, 1 — 72 соответственно на 122+ 72, аз+72, аз+)22 и приводим подобные 145 "З 2. 7енэор и эллипсоид инерцан члены в выражении, стоящем в квадратных скобках.
Получаем 1 =,1 из+.1„()з+ д,уз — 2,1»„с»3 — 2,1,»»у — 21„,Я, (1) где введены следующие обозначения: и ,1 = 2 т (уз + зз) и = 2 , 'т (зз + тз) «=1 м 1» — 2 т~(х +у ), (2) »=1 Л эс ,1,„= ~~~ т,ш„у«, У, = ~~~ т, х,,л„, 1о» вЂ” Л~' н»«У» э«(3) «=1 «=1 Величины (2), (3), очевидно, не зависят от выбора оси и. Величины (2) называютсн осевыми моментами инер- Р,(х „,у«,л,.) и ции: 1. — зто момент инерции относительно оси Ох,,7„ — относительно Р,', оси Оу и .1, относительно оси Ож Величины (3) называются центробелсными моментами инерции. Осевой мо- О мент инерции представляет собой меру у инертности системы при ее вращении вокруг соответствующей оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
