markeev_book (522779), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ясно, что эти утверждения справедливы и для системы, не являющейся замкнутой, если толька Нс'с = О во все время движения. Проектируя вектор ьг на оси координат, получаем из закона сохранения количества движении три первых интеграла: Гь1 = сз сев = см Сгз — — сз, или с дс =аз: с хсс=с. до=аз, где сгз, сгсс. О, и хс; ус; го -- проекции на оси Ох. Оу, Оз соответственно количества движения и скорости центра масс системы, а сп с,'. (з' = 1, 2, 3) — произвольные постоянные.
Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь одну ось, например на ось Ох, равна нулю, то имеем один первый интеграл С.1„= сопв1 или хс = соней Пвимвг 1. Два человека стокса на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости на расстоянии а друг от друга. Один из них бросает мяч массой т, другой подхватпьсваетп его через 1 секунд. С какой скоростью начнет скользить по плоскости бросивший мяч, если его масса равна МУ Так как плоскость абсолютно гладкая, то горизонтальная составляюизая главного вектора внешних сил (силы тязкести и реакции плоскости) равна нулю.
Следовательно, проекция количества движения системы, состоящей из мяча и человека, бросившего мяч, ни плоскость будет постпоянна (равна нулю, тпак как в начальный момент времени система покоилась). Пусть в скоросись, с которой начнет скользить человек после бросания яча. Замечая, что горизонтальная составзтющая абсолютной скорости центра масс мяча равна а,с1, получаем равенство Мв — т- = О.
сс Отсюда та с,= Мг З Я. Теоремы об изменении основных динамических величин системы 159 Принкр 2. Пве притпягивающиеся по некоторому закону тпочки одинаковой массы могут скользить без тренин одна по оси Ох, а другая-- по перпендикулярной ей оси Оу (рис.
83). Точки начинают движение из состояния покоя. Показать, что при любом законе притнженин они одновременно окажутся в начале координатп. Внешними силами, действующими на рассматриваемую систему из двух матери- У альных точек, являтотся реакции М, и Мг осей Ох и Оу; эти реакции ортогональ- р) ны соответствующим осям. Ввиду того и сто каждая из точек вынуждена двигаться только вдоль своей координатной оси, имеем сттт —— Рсоа н, Хг — — с ешск, где К— модуль силы притнжения точек.
Главный вектор зсщт внешних сил имеет компонен- р ты — сттг, — стты т. е. лес'т котслинеарен вектору СО, имеютему начало в центре х масс С точек, а конец в начале координат. И Так нак при т = О система покоилась, то, согласно тпеореме о двилсении центра масс, точка С при ь' > О будет двигаться вдоль неизменной прямой, проходящей через точку О и начальное положение центра масс.
Поэтому материальные точки одновременно достигнут начала координата. 8Т. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть о„ вЂ” скорость точки Р системы в инерциальной системе отсчета, а г„- ее радиус-вектор относительно начала координат (рис. 82). Возьмем произвольную точку А пространства, которая может и ие совпадать с какой-либо материальной точкой системы во все время движения.
Точка А может быть неподвижной, а может совершать произвольное движение; обозначим сл ее скорость в выбранной инерциальной системе отсчета. Пусть р -- радиус-вектор точки Р, относительна точки А. Тогда кинетический момент системы относительно точки А вычисляется по формуле н льл = ~~~ р„Х 'тнеее. Продифференцировав обе части равенства Сб) по времени и воспользо- 160 Глава й( вавшись постоянством величин 1п и уравнениями (Ц, получим и=1 и=1 Последняя сумма в этом равенстве равна главному моменту М (е) внешних сил относительно точки А (см. п.
50). Учитывал еще, что, др, 4г. Дгл согласно рис. 82, ' = — = о, — ол, а также что 2 т,е, = и=1 = Мос, получаем И 11ль А (е) й (Еи — ЕА) Х 1ниаи + МА и=1 ,г гиии~ х оА -)™1 ™ес х оА -(™1 (е) (е) и=1 Таким образом, АХА (е) й = Мес х ел + М1 (7) Если точка А неподвижна, то во все время движснин системы ел = 0 и уравнение (7), выражающее теорему об изменении кинетического мо- мента относительно произвольно движущегосп центра, принимает сле- дующую часто встречающуюся форму: 1(лтл М(е) й А (8) Уравнение (8) представлнет собой теорему об изменении кинетического момента для неподвигкного центра: производния по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного ценгпра равна главному моменту внешниг сил системы отпносительно эгпого центра.
Эту теорему можно представить в интегральной форме. Проинтегрировав обе части равенства (8) от 11 до 11, получим ~2?А = льАе леле — / МА д(. 1, 11.К А 'ь:еР й ~ й 1Ч АРи й Х Гииои ( Л~~ Р Х титви и=1 х тип + ~~~ р, х ) лт(') + л (0) З У. Теоремы об изменении основных динамических величин систе~иы 161 центра постоянен: (10) Кл = соплы Если Клх, Кло, Кл. — проекции вектора Кл на соответствующие оси координат, то из (10) следуют три первых интеграла: Кл =ем Кли — сз, Кль = сз где с„. (1 = 1.
2, 3) произвольные постоянные. Эти интогралы существуют не только в случае замкнутой системы, но и тогда, когда система не замкнута, но для некоторого неподвижного центра А Мле = 0 )е) во все время движения. Отметим еще, что если Мл — — 0 во все время движения, то интег)е) рал (10) существует не только когда центр А неподвижен, но и в более общем случае, когда во все время движения радиусы-векторы гл и гсч точки А и центра масс системы С относительно начала координат связаны соотношением гл = ого+ а, где скалярная величина а и вектор а постоянны.
Действительно, в этом случае пл = пес и первое слагаемое в правой части равенства (7) тождественно равно нулю. Поэтому при Мл' = О существует интеграл (10). )е) Рассмотренный выше случай неподвижного центра А получается отсюда при о = О. Если же и = 1 и а = О, то гл = зо и уравнение (7) примет вид 4Кс .(е) дг (11) откуда следует, что теорема об изменении кинетического момента системы для неподвижного центра А и для центра масс С имеют одинаковый вид: в левой части уравнения стоит производнан от кинетического момента относительно точки (А или С).
а в правой главный момент внешних сил относительно этой тачки. Отметим, что абсолютный кинетический момент Кс системы относительно центра масс в левой части уравнения (11) можно заменить на равный ему (см. п. 82) кинетический момент Ксч, системы в ее движении относительно центра масс. Интеграл в правой части этой формулы называется импульсом моментов внешних сил за время 1з — 1м Таким обрезом, приращение вектори кинетического момента системы относительно неподвижного центра за конечное время равно импу льсу моментов внешних сил относительно этого центра за это время.
Если система замкнута, то М = 0 и из равенства (8) следу)ь) ет закон сохранения кинетического момента: при движении, замкнутой системы ее кинетический момент относительно любого неподвижного Тлаеа РТ Пусть и - некоторая неизменная ось или ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы. Для кинетического момента Кь системы относительно этой осн нз (8) н (11) следует дифференциальное уравнение йКи М(е) й1 е (12) где М„-- главный момент внешних сил относительно оси и. Если он (е) во все время движения равен нулю, то имеем первый интеграл Кп = сопвы Последний вывод допускает обобщение.
Именно, справедливо следующее утлерзкдонне. Пусть М„') равен нулю оо осе оремл доижеиия. Тогда для существования первого интеграла (13) необходимо и достаточно, чтобы проекции скорости ценгпра масс системы и скорости какой-нибудь точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой оси, были во все время движения параллельны. Действительно, пусть е —— единичный вектор, направленный вдоль оси и,.
Умножая обе части равенства (7) скалярно на вектор е н учитывая его постоянство по величине и направлению, получаем б(КА е) )е) Й вЂ” = М(ос х эл) е+ МА' е. По КА . е = Кео М,)' . е = ЛХ„е, поэтому последнее равенство м) (.) можно переписать в виде " = М(ес х эл) е+ М~е). Если М„ = О., то величина К„ будет постоянной тогда и только )е) тогда, когда (эс х ел) е = О.
Если за направление оси С)г принять направление оси и, то последнее условие эквивалентно тождеству КА ХС УА УС означающему параллельность проекций скоростей точок А и С' на плос- кость, перпендикулярную оси и, что н требовалось доказать. Пгимвг 1. Вдоль образуклцей однородного круглого конуса массой М, ось которого неподвижна и зинимает вертикальное положение, а вершина обращена вверх, просверлен тонкий канал.
Конусу сообщают угловую г У. Теоремы об изменении основных динамических величин системы 163 скорость аггг вокруг его оси и одновременно с этим опускают в верхнее отверстие канала шарик массы т, не сообщая ему начальной скорости. Какова будет угловая скорость конуса в тот молгент, когда шарик выскочит из канала? Тин как внешние силы системы конус — шарик не создают момента относительно оси конуса, то кинетический момент Л относительно оси остается постоянным. В начольньгй момент времени К,=дь а в момент, когда шарик выскакивает из канала, Вдесь Л вЂ” радиус основания. конуса, а д, = — МЛг — его момент 3 10 инерции относительно оси.
Из равенства находим ЗМ ЗМ -Р 10гп Примир 2. ХХа гладкой горизонтальной плоскости находится твердое тело, имеющее вид тонкого кругового кольца массой М и радиусом Л. Вдоль по кольцу движется точка А массой пг с постоянной по модулю относительной скоростью в. Определить движение этой системы по плоскости, если в начальньгй момент и кольцо. и точка находи гись в покое. Так как горизонтальная составляющая главного вектора внешних сил равна нулю и в о нича гьный момент времени центр масс С' всей системы покоился, то и в последующем движении системьг он будет оставаться в покое. А Расстояния точки С будут (рис. 84): от центра О кольца ОС вЂ” тп Л, М+ гп Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
