markeev_book (522779), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Сепаратрисы разделяют области колебательных и вращательных движений. 95. Некоторые сведения из теории эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби. В этой главе и в некоторых других разделах книги будут использоваться так называемые эллиптические интегралы и эллиптические функции, Дадим здесь необходимые определении и понятия. Интеграл называется эллиптическим интегралом пероого рода. Величина к называется модулелг эллиптического интеграла. Обычно считается, что к удовлетворяет неравенствам О < к < 1. Интеграл «(«, е = ) «т:е.;...и е называется эллиптическим интегралом второго рода. Величина « 2 «и) = г Ц, а) = 1 е называется полным эллиптическим интегралом первого рода, а величи- на е(е = «~ ~2' о — полным эллиптическим интегралом второго рода. В 1.
Вращение твердого тела еокруг неноденмной оси 186 При малых Й интегралы (16), (16) представляются в виде сходящихсн рядов по степеням Й: 2 ( 4 64 ''')" (17) 2 ( 4 64 ''')' (18) Из (13) и (14) можно получить следующее выражение для производных эллиптических интегралов по модуто Й; ВР(р, Й) 1 (Е(Во, Й) — Й' Г(у, Й) Йвш~рсову гр дЕ(аг.
Й) Ю(~р, Й) — Г(ьо, Й) (20) где Й' = 1 — Йз, Й' . " дополнительный модуль. Если в равнствах (19) и (20) положить ьо = ~, то получим произ- 2' водные по Й от полных эллиптических интегралов (15) и (16): йК К(Й) — Й" К(Й) йЕ К(Й) — К(Й) (21) лй ЙЙ,2 ' дй Функция, явлнннцансн результатом обращения эллиптического интеграла первого рода, называетсн амп гитудой и обозначается так: (22) г = вп(и, Й) = вшао = в1паши и г = сн(и, Й) = сов ьо = сов ап1и.
(23) Так как яш ар и сов но имеют период 2п по ьо, то согласно (13) и (13), эллиптические синус и косинус имеют по и период, равный 4К(Й). Функция дельта амнлитудьа г = йп(и, Й) определяется 'гак: *=,йч,,ь)="Е= 1-Ьгагг=ат-Е' *(.Ь). (га йи Функции г = ьп(и, Й) (эллиптический синус) и г = сп(и, Й) (эллиптический косинус) определяются так: 185 Глава >И Функция дельта амплитуды имеот период 2К(а) по и. Функции ~р =апзи, я = я>з(>и Й), я = с>з(и, Й), я = г)п(ив Й) аналитичны относительно Й и при Й вЂ > !) стремятсн соответственно к функциям р = и, я = ыпи, я=соли, с =1. Эллиптические функции Якоби удовлетворяя>т следующим легко проверяемым тождествам: Рис. 95 яп и+ сп и = 11 (25) дп и+ ЙЯ япз и = 1.
Справедливы следующие формулы дифференцирования эллиптических функций: — ьты> = спи ° с!пи, в) г)и — спи = — яп и бп и, д ди (26) — йпи, = — Й япи ° спи. д, ди ф~ = 2а>о(совр — сояД). (27) Положим )гг = я)п()>/2) и сделаем замену переменных язп(~р/2) = йз яш (28) Тогда интеграл эпоргии (27) примет следующий вид; ф = що(1 — зс3 я>п ф) ° (29) Графики эллиптических функций Якоби представлены на рис.
95. 96. Интегрирование уравнения движения маятника. Рассмотрим три случая в соответствии с возможными значениями константы 6 в интеграле (12). 1. — а>о < Ь, < шез. В этом случае, как показано в и. 94, мвятник совершает колебания. Пусть Д вЂ” максимальный угол, на который отклоняется мантник от своего вертикального положения, соответствующего значению р, равному нулю.
Тогда Ь, = — щз соя>> и интеграл (12) звпишется в виде 2 П Вращение твердого тела вакриг неподвижной вси 187 Если приннть. что при 1 = О р = О., то отсюда получаем Ф = ен, гв, г1т е (3О) т. е. 2и = апг(вго1). Поэтому из (23) и (28) имеем окончательно (31) ~р = 2 агсз11!(Ргг зпюо1). т = 4КПс1)/иго. ~32) Воспользовавшись разлокгсннем (17), получим, что прн небольшом зна- чении максимального угла отклонении )2 маятника от вертикали имеем приближенное значение периода т = 2хьЛЯ, (33) что совпадает с известным значением периода малых колебаний маят- ника.
При учете двух первых членов разложения т в ряд по )3 получаем более точное значение периода т=2к —. 1+'— , (34) Если ф — г к, то йг — > 1 и период колебаний т неограниченно возрастает. 2. Ь > щвз. В этом случае маятник находится в режиме вращения. Пусть при Г = О ~р = О, ~р = ~рв, Тогда 6 = 2/٠— игоз и интеграл (12) запишется в вице Р' = ф,', (1 — ~,' в ' 'Р) ., (35) где внедено обозначение 2 рд 4"'о 2 ° 2' Фо (38) Так как Ь > игв, то Д > 4иго~ и., следовательно, Ц ( 1. Из (35) имеем в/2 в~=с(е, г) = ) 0 1 г2 абп х (37) Функция св периодична по 1 с периодом т, вычисляемым, согласно п. 95, по формуле 188 1'лава 1'11 Следовательно, р = 2 аш(фее/2).
(38) Если начальная углован скорость велика, т. е. Д~ >> ыоз, то приближенно ~р = ро1 и вращение маятника мало отличается от равномерного. 3. й = ызг Этот случай соответствует асимптотическим движенинм маятника. Интеграл энергии (12) в этом случае дает соотношение ~р = 4ыо сов (~р~2). (39) Если при 1 = О ~р = О и ф > О, то отсюда после интегрирования получаем р = — я+ 4агс18)се"). )40) 8 2. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 97. Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Динамические уравнения Эйлера. Пусть при движении тела одна из его точек О все время остается неподвижной. Для получении уравнений двиягения тела воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента. Если.Ко и М, ки)е) нетический момент тела и главный момент внешних сил относительно неподвижной точки О. то, согласно п. 87, г1 а о М(е) о .
дКо (е) М + и к ко = Мо (2) Пусть М, . Ма, Ме -- проекции вектора Мо на оси Ош, Ор, Оз. (е) Пусть Охдз — подвижная система координат, жестко связанная с телом, а р, д., г проекции угловой скорости ы тела на ее оси. Тогда компоненты вектора Ло выражаются через величины р, д, г и элементы тензора инерции тела для точки Π— по формулам (8) и.
82. Если абсолютную производную вектора Хо выразить через его локальную производную. то уравнение (1) запишется в виде З 2. Двугкение твердого тела вокруг неподвигкной точки 189 Тогда векторное уравнение (2) запишетсн в виде следующих скалярных уравнений: ,У Р вЂ” Я уф —,1,,г+(,1,— Уу)717 +,Уу,(г — о )+Р(,1.
„г —,У. О) = М,, .УеуР+Ууй —,аунг-7 (Уе Уг)7Р+ Ухе(Р— 7' )+7У(Уу Р—.1гу7) — ЛХу, (3) — У„р —,1у,)+Ю, '+(Уу —.1, )17а +Хе„(4' — 17')+г(ӄΠ—,У„,р) = М,. Эти уравнения существенно упрощаются, если оси Оя, Оу7 Ог— главные оси инерции тела для точки О. В этом случае Уев=,Уе,=/у,=О, а,У,,Уу,,У, являются главными моментами инерции:,У = А,,Уу — — В, ,Уе = С. Уравнения (3) примут вид Ар-ь(С вЂ” В)О =ЛХ., Вд+ (А — С)гр = ЛУво Сг + ( — А)ро = М,. (4) р = 7)7 вш О ейп 7р + О сон уо, 4 = грвшйсоа~р — Ов1п~р, г = 777 сонО+ р (б) можно найти углы чд, О, р как функции времени и начальных условий.
Таким образом, в рассматриваемом случае решение задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки распадается на две последовательные задачи интегрировании систем трех уравнений первого порядка. В общем же случае величины ЛХ, М„, ЛХ„являются функциями времени, углов Эйлера и их производных. Тогда уравнения (4) и (5) надо интегрировать совместно. Наиболее простым и очень важным случаем является тот, когда момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю. Тогда говорят, что имеет место случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Этот случай, очевидно, возможен, когда внешних сил нет совсем или тогда, когда внешние силы, приложенные ь телу, приводятся к равнодействующей, проходнщей через неподвиж- Уравнения (4) называютсн динамическими уравнениями Эйлера. ЕсЛИ Ме, Му7 ЛХ, — фуНКцИИ рг гй Г, Х. тО ураВНЕННН (4) ОбраЗуЮт ЗаМК- нутую систему уравнений, интегрирование которой даст зависимость величин р, 77, г от времени 1 и начальных условий ро, Оо, го, Восле этого из кинематических уравнений Эйлера (см. п. 36) 199 Глава (еВ ную точку.
В случае Эйлера уравнения (4) принимают внд Ар + (С вЂ” В)»г = О, В»+ (А — С)гр = О. Сй+ ( — А)р» = О. (6) Ниже мы рассмотрим движение тела в случае Эйлера подробно. 98. Первые интегралы. Так как в случае Эйлера главный момент внешних сил М относительно точки О равен нулю, то из урав- (4 венин (1) следует, что (7) Ко = сонат, т. е. кинетический момент Кн тела относительно точки Г) имеет неизменное направленно в неподвижной системе отсчета и величина его постоянна. Так как Ар, В», Сг — проекции вектора Ко на главные оси инерции тела Ов, Оу, Ог, а Коз квадрат длины вектора Ко, то из (7) следует первый интеграл Кз = Азрз + Вз»т + Сзгз = сопят, (8) Из теоремы об изменении кинетической энергии можно получить, что кинетическая энергия тела также постоянна.
Действительно, так как ЙХ = М~ве ье Й+ В('О ео 41, а но = О и М, = О, то йХ = О. Поэтому существует первый интеграл (е) Т = 1 (Арз + В»з + Сгт) = сопя(. 2 (9) Существование первых интегралов (8) и (9) можно установить и непосредственно из системы уравнении (6), Действительно, если первое уравнение системы (6) умножить на Ар, второе -- на В». а третье — па Сг и результаты слщкитгн то получим Азрр+ Вз»е)+ С'гг = О, откуда следует первый интеграл (8).
Если же первое, второе и третье уравнения умножить соответственно на р, », г, то после сложения получим Лрр+ В»»+ Сгй = О, откуда вытекает первый интеграл (9). 99. Стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера. Будем называть стационорныл орошением такое движение твердого тела, при котором его угловая скорость ео постоянна относительно тела (а следовательно, и относительно неподвижной системы отсчета; 'З' и Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 101 см.
п. ЗО). Длн стационарного вращения величины р, уч г постоянны. Для их определения из системы (6) получим такие уравнения: (С вЂ” В)ут = 11, (Л вЂ” С)тр = О, ( — Л)рд = О. (10) Отсчода следует, что стационарное врап1ение тела может происходить только вокруг главной оси инерции тела для точки О, причем величина угловой скорости тела мажет быть произвольной. Б самом деле, если А = В = С, то уравнения (10) удовлетворяются при любых р, у, т, т. е. вращение тела происходит вокруг оси, имеющей произвольное направление. Но при Л = В = С эллипсоид инерции для точки О превращается в сферу, и поэтому любая ось.
проходящая через точку О, становится главной осью инерции тела. Если два из моментов инерции равны, напримор Л = В, то Е уравнения (10) удовлетворяютсн при р = у = 0 и любом т (вращение во- Ц круг главной оси инерции Оз), а также при т = 0 и любых р и у (вращенис х вокруг лн>бой оси, проходящей через точку О, лежащей в экваториальной О плоскости эллипсоида инерции и, сле- га У довательно, являющейся главной осьнч инерции). уг М Если величины Л, В и С различны, то уравнения (10) могут иметь Рнс. 96 только такие решения, для которых две из величин р.
у, т равны нулю,. а третья произвольна,т. е. снова вращение происходит вокруг главной оси инерции. 100. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Регулярная прецессия. Будем называть тело динамически симметричгчым, если два его гланных момента инерции для точки О равны, например А = В. Ось Оз тогда будем называть осью динамической симметрии. Исследуем движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Неподвижную систему координат ОХ1'Л выберем так, чтобы ее ось ОУ бьыа направлена по вектору Хо (который в случае Эйлера постоянон). Для проекций Лр, Ау, Ст вектора Ко на оси связанной с телом системы координат Отуз, образованной главными осями инерции, получаем такие выражения (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
