markeev_book (522779), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2. 2ТА > Кг > 2ТВ. В этом случае величина р во все время движения отлична от нуля. Паладин заключают в себе наименьшую ось эллипсонда инерции Оз и расположены на эллипсоиде инерции в областях„обозначенных на рис. 99 цифрами 1П и 1й. Сделаем замену переменных 198 !лала 1'В полодий на эллипсоиде инерции симметрична относительно его главных плоскостей.
Каждому движению твердого тела соответствует одна вполне конкретная полодия. Какая именно, зависит от начальных значоний величин р, и, г. Рассмотрим еще третий случай, являющийсн промежуточным между двумя рассмотренными. 3. КОз = 2тВ. Равенства (17) принимают вид (2т в„'), гз = (2т — в9з). (22) Из (22) следует, что А(А — В)рз = С( — С)|з. Учитывая свойство 1 движения Эйлера — Пуансо (п. 101), получаем, что в рассматриваемом случае полодии лежат в плоскостях С( — С) А(А — В) (23) то уравнение (18) в рассматриваемом случае примет следующий вид: — (2т — Вг1 ).
Ат т/Я'В (24) Пусть при 1 = О 9 = О. Тогда из уравнения (24) и равенств (22) с использованием известных соотношений между гиперболическими функциями сЬ т — эд т = 1, 111 т = ' сйт проходнщих через среднюю ось эллипсоида инерции. Сечения эллипсоида инерции плоскостями (23) будут эллипсами, на которых лежат полодии двух типов. Во-первых, это полодии-точки, расположенные на оси 09 и соответствующие стационарным вращениям тела вокруг средней оси эллипсоида инерции с произвольной угловой скоростью. А вовторых, есть четыре полодии, представлнющие собой дуги эллипсов, соединнющих упомянутые полодии-точки.
Эти четыре полодии обозначены на рис. 99 цифрами 1, 2, 3 и 4. Они нвлнютсн на эллипсоиде инерции сепаратрисами, разделяющими области 1, П. П1, 1Ч с отличающимся характером поведония полодий. Если положить 52. Движение твердого тело вокруг неподвижной точки 199 получим, что решение уравнений Эйлера (6), соответствующее полодии 1 на рис. 99, имеет вид р= 2Т( — С) 1 Я 2Т~А-В) 1 А(А — С) сйт' у В ' С(А — С) сЪт' у= ь — тйт, (25) Решение ураннений (6), соответствующео паладин 3, получается из формул (25), если в пих изменить знаки у величин р, г.
Решения, соответствующие полодиям 2 и 4, получаются из (25), если изменить знаки соответственно у у, г и д, р. Поведение гиперболических функций, входящих в формулы (25). показано па рис. 100. Рис. 101 Рис. 100 Ппимнп 1. Однородная прямоугольная, пластинка двилсется по инерции вокруг неподвижной точки, совпадающей с ее центром масс. В начальный момент времени 1 = 0 пластшгка приведена во вращение с угловой скоростью юо вокруг диагонали РГ1 (рис. 101). Обозначая гг угол мезкду диагоналями, показать, что через промезкуток времени ~', равный 2К(е1п о) ьзьгсоь 2сг где К вЂ” полный эллиптический интеграл первого рода, а1по — модуль эллиптического интеграла, пластинка будет вращаться вокруг другой диагонали ВЯ.
Пусть ОЯ = Ь, ОЛ = г: и Ь < с. Оси Од и Ог системы координат Отуг перпендикулярны соответствующим сторонам пластинки, а Ох перпендикулярна ее плоскости. Эти оси являются главными цен- 200 Слава тВ тральньхми осями инерции пластшти. Согласно и. 75 (пример 1), илхеем А =,У = — т(Ьз+ сг). В = Х = — хпсг. С=,т, = —, Ьз, 1 12 Коли диагон ль пластинки равна й, то Ь = алеша, с= дсоза и С = — хххд яп а. 1 2 ° 2 12 В = — хпд соз а 1 г 12 А = — тд, 1 12 При й = 0 р = О, у = охо вш а, т = ьхо сов а, поэтолху Т = -(Ар'+ Вдг+ Ст') = — тпдз япг асов'а.ихг, 2 12 Кз =Азр'+Взуз+Сгтз = 1 пдйзе1пгасозза охз. 144 Так как при Ь < с угол а не превосходит к/4, то, как нетрудно проверить непосредственным вычислением, справедливы неравенства А > В > С и 2ТВ > Кз > 2ТС.
Следовательно, мы имеем дело с первым из рассмотренных выше случаев движения Эйлера — Пуансо. Опираясь на проведенное выше исследование этого случая, после неслолсных вычислений найдем: р(1) = — япаь'сов 2а ° шо сп(т+ К(й), й], д(х) = вша -шо ° вп(т+ К(й), й], т(1) =ыо х111(т+К(й), й]. т = ъссов 2а охо П = 2К(й); поскольку (рис. 95) сп(ЗК(й), й] = О, еп(ЗК(й), й] = — 1, х!хх(ЗК(й), й] = = ~/1 — йз, то р(П) = О, у(П) = — ыояпсх, х(П) = охо сова.
Отсюда следует, что при 1 = П пластинка вращается вокруг диагона- ли ЛЯ. Здесь т = ъ'сов2а-шо 1, й = вша. При получении выписанного решения рЯ, д(1), т(1) динамических уравнений Эйлера (6) в формулах (20) взяты верхние знаки, а величина т залхенена на т+К(й), что отвечает конкретным начальным ус.ховиям в рассматриваемой задаче о двизкеххии пластинки. Полодия, соответствующая выписанному решению, лежит на эллипсоиде инерции в области 1 (рис. 99). При 1 = П имеем З У. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 201 103.0 р «.и р .98 . Оп=чае -ов.
Так как, согласно п. 101, ОР = ш/ъ 2Т, ОО = ъг2Т/Лгэ, то (26) Эта формула позволяет выявить некоторые общие свойства герполодий. Для каждого из стационарных вращении ол = сопз1, и герполодия представллет собой точку, совпадающую с точкой сд. Рассмотрим общий случай движения. Пусть А > В > С. Тогда для движений тела, которым отвечают паладин, расположенные в об- ~че р .и, =ОФ ~с~о г и максимум шз. Согласно (26), величина ЯР также будет иметь минимум ре и максимум рг. Поэтому герполодия заключена между двумя концентрическими окружностями с центром в точке О (рис. 102 и 103).
Отметим без доказательства, что герполодия не имеет ни точек перегиба, ни точек возврата и всегда обращена вогпутостью в сторону точки О, в которой вектор кинетического момента Аго пересекает плоскость Пуансо л.. Рис. 103 Рис. 102 В противоположность полодиям (из областей 1 — 1чг), которые нвлнются замкнутыми кривыми, герполодии, хотя и состоят из симметричных участков, представляют собой, вообще говоря, незамкнутые кривые. Герполодил поочередно касается окружностей р~ — — сопэ1 и рг = сопз1. Моменты касания соответствуют переходу вектора иг через главные плоскости эллипсоида инерции.
Дуга герполодин аб (рис. 102) соответствует четверти дуги полодии. После того как точка Р придет снова в то же положение на эллипсоиде и, следовательно, опишет полную полодию, радиус-вектор ОР повернется на угол 4о, где о — угол, 202 Глааа У!1 Ар = Кояпдяп1а, Во = Коэ1пдсоэр, Ст = Косоэд. (27) Эти соотношения позволяют сразу определить углы д и р как функции времени при известных функцинх р, о, т: соэд = Ко (28) Для нахождения угла дл сначала получим величину ф из первых двух уравнений (б): ряпу+ осоэ~р якд Если затем в это выражение подставить величины япу и соэу, полученные из первых двух равенств (27), то оно запишется в виде Арз -> Воз ф= Ковш д Воспользовавшись теперь третьим из равенств (27) и формулой (8), окончательно получим Арз -1- Вд1з 12 3+В2 2' (29) образованный отрезками Оо и ЦЬ на рис.
102. Если отпев|ение п,1я— рациональное число, то герполодия будет замкнутой, в противном случае она будет незамкнутой. Каждой из полодий 1 — 4 (рис. 99), существующих в случае Коз — — 2ТВ, соответствует герполодия, нвляющаяся спиралью, навивающейся на точку 1~ (рис. 103). Эта спираль бесконечно много раз обходит точку О. Однако ее общая длина конечна, так как она равна длине соответствующей дуги полодии.
Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращении, то как походил, так и герполодня представляют собой окружности. 104. Определение ориентации твердого тела в абсолютном пространстве для движении Эйлера — Пуансо. После того как в п. 102 величины р, о, т были определены как функции времени, можно из кинематических уравнений Эйлера (5) найти углы ф,д,у, определяющие ориентацию твердого тела относительно неподвижной системы координат ОХУЯ. Задача сильно упрощается, если, как н в п.
100, ось ОЯ направить вдоль неизменного кинетического момента Ко (рис. 96). При таком выборе неподвижной системы координат проекции Ар, Вд., Сг вектора Ко на оси связанной с телом системы главных осей инерции Ох, Од, Оз вычисляются, согласно рис. 96, по формулам З к. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 203 Отсюда угол ф найдется квадратурой. Так как правая часть формулы (29) положительна, то угол ф монотонно возрастает во всех трех возможных случаях движения, рассмотренных в и. 102, т.
е. при любой возможной зависимости функций р, а, т от времени. Если движение тела не является стационарным вращением или асимптотическим движением, то, согласно и. 102, величины р, гй т представляют собой периодические функции времени. Когда значение 1 увеличивается на период, то синусы и косинусы углов д и уо принимают свои первоначальные значении. Значения же з1п уг и сов уг через период, вообще говоря. изменяются, так как за период угол ф увеличивается на некоторую постоянную величину. Это следует из (21). Действительно, пусть т, — период по времени функций р и ф Тогда из (29) имеем ф(1+ т,) = уг(г) и, интегрируя, получим Уг(1+ т.) = Уг(1)+ с, где с -- постоянная интегрирования. Если число с/(2к) не рационально, то твердое тело никогда Е не возвратится к своей первоначальной ориентации в абсолютном пространстве.
Если же с чв 2я '"' С О где гн, и — целые числа (гг ф О), то движение твердого тела периодическое, с периодом, равным ят„. О 105. Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки н нх пер- Х вые интегралы. Рассмотрим дви- И жение твердого тела вокруг непа- рно. 104 движной точки О в однородном поле тяжести. Ось О/ неподвижной системы координат направим вертикально вверх. С движущимся телом жестко свяжем систему координат Овуе, оси которой направим вдоль главных осей инерции тела для неподвижной точки О. Координаты центра тлжести С в системе координат Овуе обозначим о, 6, с. Ориентацию тела относительно неподвижной системы координат будем определять при помопди углов Эйлера уь О, т, которые вводятся обычным образом (рис. 104). Моменты инерции тела относительно осей Ов, Оу, Ог обозначим А, В, С, а силу тяжести Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
