markeev_book (522779), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Тонкий однородный стержень приставлен одним концом к гладкой вертик льной стене, а другим концом опирается на гладкий горизонтальный пол. (рис. 113). Стержень пришел в двилсение из состояния покоя, когда он составлял угол а с вертикалью. Вычислипгь начальные давления на стену и пол. Движение стержня происходит под действием силы тяжести пгд и реакций ьчл и 1гьв стены и пола; Жл имеет горизонтальное, а Мв — вертикизгьное направ~генин. Пусть а — длина стержня, а х, у— координаты его центра тяжести С в показанной на рис. 113 системе координат Оху. Дифференцишььньье уравнения движения стержня имеют вид 221 64.
Движение тяжелого твердого тела Поимку 3. Пеоднородный диск ка- 1т тится по неподвижной горизонт зоной плоскоспш так, что скольжение отсутствует, а плоскость диска все О время остпается в фиксированной вертикальной плоскости (см. пример 4 1ч' Ут п. 87).
Масса диска равна т, радиус оо а ту центр масс С находится на расстоя- Г "Х нии 6 от геометрического цеитрат момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр масс, равен дс. Используя теорию плоского движения, получим дифференциальные уравнения движения диска.
Движение диска происходит под действием силы тяжести и реакции плоскости, которая пр ложена в точке А, диска, в которой происходит его касание с плоскостью; разложим реакцию на две составляющиет вертикальную М и горизонтпальную Е (рис. 114). Уравнения (8) в рассматриваемой задаче будут иметь вид 'тхс = Г тУс = зч — тя, ,Усф = Е(а — 6 сов ут) — г"ьтЬ яп ут. Из условия отсутствия скольжения (скорость точки А„равна нулю) следует.
что во все время движения должное выполняться равенства Хс = — (а — Ьсавтр)ут: Ус = Ьяп~р ° ут. Следоватпельно, Ёс = 6 ятт ут ° тр' + Ь сов ьо тр~. Хс = — (а — бсовьо) ° ф — Ьв1пьо ° ьз~, Поэтому первые два из трех дифференциальных уравнений движения диска дают зависимость составляющих реакции плоскости от дт ф и утт 1ьт = ттьи+тб(втпут ф+ сову ф ), Р = — т((а — Ьсов~р)фт+Ьвштр ф (. Подставив эти выражения дти Ю и Р в третье из дифференци- льных уравнений движения диска, придем к уравнению, описывающему изменение угла ут во времени: (дс+ т(тт~+ Ьз — 2абсовутЯ+ тпабяпу фз+тубьшд = О. В примере 4 и. 87 это уравнение было получено при помотци теоремы об изменении кинетического момента. 222 Главе ГЛ В 4.
Движение тяжелого твердого тела, опирающегося на горизонтальную плоскость 110. Общие сведения. Понятие о трении. Пусть жесткая поверхность Н движетсн, касаясь непо- Я движной поверхности Яг (рнс. 115). Считаем, что поверхности Я и Яд выИь пуклы, а их касание происходит в од- Я, ной точке О. При движении поверхности Я точка О. вообще говоря, перемещается как по Я, так и по Ям Предполагаетсн, что в каждый момент времени через точку О моькяо провести единственную касательную плоскость к Н и Яы Очевидно, что скоРис.
11б рость ео точки О, которой поверхность о касается Яы лежит в общей касательной плоскости, проходящей через Пц Если ео = О, то говорят о двиясепии без скольжения. Если же ео ф О, то говорят о движении со скольжением, в ео называют скоростью скольжения. Примем точку О за полюс.
Тогда движение поверхности Я в каям дый момент времени можно представить как совокупность поступательного движения со скоростью ео и вращения с угловой скоростью ьо вокруг точки О. Разложим вектор ьо на две составляющие ьов и ьоя, где вектор соя перпендикулярен общей касательной плоскости, а шя лежит в ней; ьов называют угьговой скоростью верчен я поверхности Я, а ыя угловой скоростью качения. Если ео = О, то говорят, что поверхность Я катитси по поверхности Я~., если при этом ьоя = О, ьоя ф О. то имеет место чистое качение Я по Яы а если соя = О, ыв ~ О, то поверхность Я совершает верчение. Когда ео ф О, в ыв = О, ыя = О, то говорят, что Н скользит по Яь В общем случае, когда во ~ О., игв ~ О, игк ~ О, поверхность о скользит, вертится и катится по Ям Действие Яг на Я проявляется в следующем.
1) На поверхность Я действует сила М, перпендикулярнан общей касательной плоскости и направленная от о1 к Я: эта сила пазгявается нормальной реакцией; для реальных движений Л > О. 2) На з действует сила трения Х, лежащая в общей касательной плоскости.
Согласно законам трения Кулона, величина г' не превосходит своего максимально возможного значения, равного йЛ, где й -.- коэффициент трения. При этом если но = О, то Е < й1ч'. Величину Г в этом случае называют силой трения по- 223 'З'Л. Движение тяжелого твердого тела ноя. При ео ~ 0 имеет место равенство Р' = йЛ', а й' называют силой трения скольжения'. Иногда приемлема такая идеализация, что поверхности можно считать абсолютно гладкими.
Это означает, что величина й настолько мала, что величиной силы трения в рассматриваемой задаче можно пренебречь. Если поверхность Я1 абсолютно гладкая, то ее воздействие на 5 сводится к нормальной реакпии М. В действительности тола соприкасаются не в одной точке, а по очень малой площадке. Тогда воздействие Я на Ях уже нельзн считать приводящимся к одной силе (являющейся геометрической суммой нормальной реакпии и силен трения). Согласно теореме Пуансо (п. 71), совокупность сил, действующих на В в каждой точке площадки касания, в общем случае будет приводиться к сиде и паре. Упомянутая сила снова может быть разложена на сумму нормальной реакции и силы трения, и пару удобно представить таклсе в виде совокупности двух пар. Одна из них имеет момент, коллинеарный сов, а другая — коллинеарный соя.
Первая пара является парой трения верчения, а вторая парой трения начения. Трение верчения и трение качения обычно малы по сравнению с трением скольжения, и в прикладных задачах часто учитывается только трение скольжения. 111. Волчок на абсолютно гладкой плоскости. Пусть эллипсоид инерции твердого тела для его центра масс представляет собой эллипсоид вращения.
Задача о движении волчка по плоскости состоит в исследовании движения этого тела в поле тяжести в предположении, что одна из точек тела, лежащая на оси динамической симметрии, движется по горизонтальной плоскости. Будем считать, что волчок имеет настолько острый конец, что его можно принять за острие, оканчиванм щееся точкой Р. При движении волчка его точка Р все время остается на неподвижной горизонтальной плоскости (рис. 116). Будем считать, что плоскость нвляется абсолютно гладкой. Тогда ее воздействие на волчок сводится к реакции Ж, имеющей вертикальное направление. Так как активная сила сила тяжести также направлена по вертикали, то на основании теоремы о движении центра инерции (п. 86) получаем, что проекция центра масс С на горизонтальную плоскость движется равномерно и прямолинейно.
Без ограничения общности будем считать ее неподвижной; тогда центр масс движетсн по заданной вертикали. Выберем неподвижную систему ОХ1'В так, чтобы ось ОЯ была вертикальной и проходила через центр масс волчка, а плоскость ОХ1г следует иметь в виду, что трение представлеет собой весьма сложное явление, поатому оаконы Кулона имеют только приближенный характер. Глава 1В совпадала с горизонтальной плоскостью, на которую при движении опирается волчок своей точкой Р (рис. 116).
Ориентации волчка относительно неподвижной системы координат задается углами Эйлера ф, О, 1в. Пусть го . — масса волчка, расстояние от центра масс С до точ- С ки Р, которой волчок касается плоскости, С момент инерции волчка относительно оси динамической симметрии Сз, А и В (А = В) †. моменты инерции волчка относительно двух любых жестко связанных с волчком взаимно перпендикулярных н пер- 0 пендикулярных Сз осей Сх и Су. Для расстояния 6 центра масс волчка от Х опорной плоскости имеем выражение: 6 '= 1 сов О.
Рнс. 116 Так как А = В и впешпие силы (реакция плоскости и сила тяжести) не создают момента относительно оси Сз, то из третьего уравнения системы динамических уравнений Эйлера (формулы (4) и. 97) следует, что проекция г угловой скорости ы волчка на ось его динамической симметрии является постоннной, т.
е. имеет место первый интеграл (9) г = гв = сонет. Пусть, как обычно, р и Π— проекции ы на оси Ст и Су. Так как внешние силы направлены вертикально н, следовательно, не создают момента относительно вертикальной оси ОУ, то из теоремы об изменении кинетического момента (и. 87) вытекает постоянство проекции кинетического момента волчка относительно центра масс на вертикаль: '1Р7з + АЧ7з + Сг'уз = сопзФ, где величины 7ы 7з, 7з вычисляются по формулам (30) п. 105. Используя кинематические уравнения Эйлера (формулы (5) п. 97) и соотношение (9)., последнее равенство можно записать в виде Ав1п'О4-~-Сгесовй = сопе1.
(10) Далее, поскольку связь, наложенная на волчок (Ь = 1сов О), стационарна и идеальна, а активные силы имеют потенциал П = тяф~, не зависящий 225 в 4. Доажелое тяжелого огаердого тела явно от времени, то полная механическая энергия постоянна (и. 88): Е = Т + П = сопв1. Здесь Т вЂ” кинетическая энергия волчка, которая, согласно теореме Кеиига (и, 83), вычисляется по формуле Т= — тен+ — Л(р +и )+ — Сг 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 где ен = 6 — скорость центра масс волчка.
Используя кинематические уравнения Эйлера, соотношение (9) и равенство 6 = — (в1п00, запишем интеграл энергии в виде (Л + гп1з в1пз 0)Вз + Лшпз Вг))з + 2тд1 сов В = сопев. (11) Интегралы (9) -(1!) позволяют свести решение задачи о движении волчка к квадратурам. Мы не будем исследовать движение во всей полноте, а рассмотрим только один частный случай. Пусть в начальный момент волчок закручен вокруг оси симметрии и поставлен на плоскость без начальной скорости центра масс и пусть в начальный момент ось симметрии волчка наклонена к вертикали под углом Во.
Это означает, что при 1 = О выполнены равенства В=О, Во~ 0)=О, Кроме того, как мы предположили с самого начала, проекция центра масс на плоскость ОХУ имеет скорость, равную нулю. Для таких начальных данных интегралы (10) и (11) можно переписать в следующем виде: А вш~ Вгд = Сто(сов Во — сов О), (12) (А + гп1г вш 0)Вз + А ьшз Вг()~ = 2тЯсовВо — сов О). (13) Из (12) находим С го (сов Во — сов О) (14) Авшзд Используя (14), интеграл (ТО) можно записать в виде А вш 0(Л + пй в1п 0)0 = Т(0), () где г'(О) = (совВо — совВ)[2Атя(в1п 0 — Сзгз(совВо — совВ)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
