markeev_book (522779), страница 41
Текст из файла (страница 41)
122). Угол п называется истинной аномалией. Если ввести обозначения / сг е= —, р= —, 6' 6' (14) то из (13) получим уравнение орбиты точки Р в виде р О 1+ свого' (15) сг е= 1+6— 1г Но константа энергии 6 равна вг — 26/го. Отсюда следует, что орбита будет эллиптической (е < 1), если 6 < О. Это означает, что ве < х/26/гв. Скорости, удовлетворяющие этому неравенству, называются эл гиптическилги скоросяаалги.
Если 6 = О. т. с. по = ~/Й/го, то е = 1, и орбита будет параболой. Скорость во —— т/26/го называется параболической. Она нвляется наименьшей скоростью, которую надо сообщить точке Р, находящейсн на расстоянии го от точки О, чтобы опа удалилась на сколь угодно большое расстояние от точки О. Рнс. 122 Соотношение (15) представляет собой уравнение конического сечения, фокус которого находится в точке О. Величина р параметр, е экспентриситет орбиты.
Орбита точки Р относительно точки О будет либо эллипсом (е < 1), либо параболой (е = !), либо гиперболой (е ) 1). При е = О орбита будет окру кностью. Для орбит планет справедлив первый закон Кеплера: пганеты движутся по эглипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. 120. Зависимость характера орбиты от величины начальной скорости. Первая и вторая космические скорости. Пусть орбита точки Р не является прямолинейной, т.
е. с ф О. Если задано начальное расстояние го точки Р от точки О, то характер орбиты точки Р вполне определяется величиной ее скорости св. Рассмотрим зависимость эксцентриситета орбиты от величины со. Из (12) и (14) получаем выражение для эксцентриснтета 240 Глава Ч1П тот 2 = гидо = 7 'о (16) Так как т (( М, то можно считать, что й = 7(т+ М) 7М. Поэтому из (16) следует, что приближенно ег = Яого = 1) —- у' 'го Принимая радиус Земли го равным 6371 км, а величину ло равной 9,82 м/с .
получим, что ег 7,91 км/с. 2 Вторая космическая скорость егг — это параболическая скорость у поверхности Земли, т. е. оы = ~/ г — — ч/2ег 11,2 км/с. /2к ~/ го 121. Третий закон Кеплера. Пусть орбита точки Р представляет собой эллипс с полуосями а и Ь. Из аналитической геометрии известно, что величины а и Ь выражаются через параметр эллипса и его эксцентриситет посредством формул а= з, Ь= р р 1 — ез ч/1 — ез (17) Ьлижайшан к фокусу точка эллиптической орбиты называется перииектром, а Ь наиболее удаленная от фокуса — апоцектром. Перицентр и апоцентр обозна- а а л л чены на рис.
123 буквами и и а. За время., равное периоду Т обращения точки Р по орбите, радиус-вектор ЕР Р .123 ис. заметет всю площадь эллипса. учитывая, что площадь эллипса равна паб и что, согласно интегралу площадей, секторнан скорость точки Р постоянна и равна с/2, получаем равенство паЬ = — сТ. 1, 2' (18) Орбита будет гиперболической (е > 1), если 6 > О, т. е. оо > «2Й~~„. Такие скорости называются гиперболическими. Первая космическая скорость от — это круговая скорость у поверхности Земли.
Найдем ее величину. Пусть т — масса спутника, М вЂ” масса Земли, 7 — универсальная гравитационная постоянная, лов ускорение свободного падения у поверхности Земли. Тогда 241 з 1. Задача двух тел По из (14) н (17) следует, что с = ьгр1г и р = бз/а. Поэтому из ра- венства (18) вытекает следующее выражение для периода обращенил точки Р: 2лвз!з гу ' (19) Величина и = 2л,1Т является средней угловой скоростью вращении радиуса-вектора РР, в астрономии ее называют средним движением.
Согласно (19), (20) Рассмотрим две точки Рь н Рз массой гпь н гпг. Если пренебречь взаимным притяжением этих точек, то каждая из них будет двигаться вокруг точки О по коническому сечению, Пусть орбиты точек будут эллиптическими. Тогда для периодов их обращения имеем выражения наг, 7Газ ч я, ~ я) Отсюда следует, что Тг воз+Ма) 3 3 (21) т +М з При п~а << М и тз << М это соотношение переходит в следующее приближенное равенство: Тз з 3 3' 'Х~ аз (22) Равенство(22) выражаеттретий закон Кеплера: явадратыперивдвв обращения планет вокруг Солнца относятся яая кубы их больших полуосей. 122. Время в кенлеровском движении. Уравнение Кеплера. В предыдущих пунктах определен геометрический характер орбиты точки Р.
Орбита является коническим сечением и находится в плоскости, перпендикулярной векторной константе площадей с. Положение самой орбиты в этой плоскости однозначно определяется вектором Лапласа у, который проходит через точку О, нвляющук~ся фокусом конического сечения, и направлен на перицентр л. Глава 0111 Чтобы закончить решение задачи двух тел, осталось найти закон движения точки Р по ее орбите.
Будем считать, что орбита является эллиптической. Из интеграла плошадей имеем гзр = с. Отсюда, из уравнения орбиты (15) и равенств (14), (17) н (20) получаем — = — = —,(1+ ессеи) = (1+ есоаи) Й/ с с 2 ъ'Й 2 с13 гз рл ' 312 (1+ есозо) . (1 е2)312 Пусть т . время прохождения точки Р через перицентр. Тогда из последнего уравнения получаем неявную зависимость и = и(1)3 ди в (1 + е соэ и) (1 — ез) 1 о (23) Рнс. !25 Рнс. 124 Если отсюда найдена функция и = и(1), то закон движения точки по орбите известен.
Найденное решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных. За ннх могут быть приняты константа г и пять нз семи констант с, св, с . Ь, 1, 13, 1,. свнзанных двумя соотношениями (10) н (12). Нахояздение зависимости и = н(1) из трансцендентного уравнения (23) представляет собой довольно трудную задачу.
Введем вместо и новую переменную Е, через которую и выражается очень просто, а зависимость Н = Е(1) определяется уравнением, хотя тоже трансцендентным., но значительно более простым, нежели уравнение (23). 243 я Е Задача доул тел Связь меякду Е и и зададим равенством Е 1 — ея и 2 ~/ 1-ье 2' (24) ди = дЕ, 1 — есояЕ 1 — е з 1-~-есояи = . 1 — е соя Е Используя эти соотношенил, получаем такое выражение длл интеграла из левой части равенства (23): У ь /' и 1 /' (1 — е соя Е) ЙЕ = (1+ е сояи) (1 — ез)з1з / о о (Š— е я1п Е). ! (1 сз)з/з (25) Введем обозначение н(1 — т) = М; величину М в астрономии называют средней аномалией. Тогда из (23) и (2о) имеем следующее уравнение: (26) Š— еяшЕ = М. Оно называется уравнением Келлера.
123. Кеплеровские элементы орбиты. Решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, определнемых начальными условиями движения. Их можно вводить по-разному и не обязательно именно так, как это было сделано в предыдущих пунктах в процессе решения задачи двух тел. Рассмотрим произвольные постоянные, которые носят название кеплеровских элементов орбиты и очень широко используются в небесной механике. За кеплеровские элементы принимаются следующие шесть величин, одпозначно определяемых по начальным условиям: Й, г, р, е, оэ, т.
Величина Е называется эксцентрической аномалией. %!олп1о показать, что она имеет следующий геометрический смысл. Через точку Р проведем (рис. 124) перпендикуллр к большой полуоси орбиты до его пересечения в точке Ц с окружностью, построенной на большой оси как на диаметре, Угол, который составляет отрезок, соединяющий центр эллипса и точку Ц, с большой полуосью орбиты и будет эксцентрической аномалией Е. Зависимость Е от и представлена на рис. 125. Из (24) следует, что Глава ГШ г Смысл величин р, е, т ясен из пре- дыдущих пунктов: р — параметр орбир ты, е — ее зксцентриснтет, т время прохождения через перицентр. Величина Й вЂ” это угол, который составляет с осью Ох линия пересеченин плоскости И орбиты с плоскостью Оху (рис.
120): ве- У личина й называется долготой восходящего узла. Элемент 1 представляет собой угол между плоскостью орбиты и плоскостью Оху; величину г называют наРнс. 126 клолелшел орбиты. Параметр ы определяет положение орбиты в ее плоскости, он называется угловым расстоянием лерицеитра от узла и равен углу между направлением из точки О на перицентр и линией пересечении плоскости орбиты с плоскостью Оху. 124. О задаче трех и более тел.
Задача и тел (п > 2) состоит в следующем. В пустоте находятся п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготенил Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Эта задача не решена до сих пор. Ьолее того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифференциальные уравнения движения пе имен>т других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей точек.
Для небесной механики и космодинамики наиболее валзна так называемая ограниченная задача, трех тел. Она состоит в изучении движения точки малой массы под действием притяжения двух конечных масс в предположении, что точка малой массы не влияет на движение точек конечных масс. Тем самым в ограниченной задаче трех тел точки конечных масс двизкутся по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тол сводится к исследованию движении только одной точки малой массы. Конечно, эта задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тело Но и она не интегрируется (точнее, пе проинтегрирована) в квадратурах. 2чб З 2.
Движение твердого тела в гравитационном поле В 2. Движение твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле 125. Главный вектор сил тяготения. Гравитационный мо- мент. В обычных, «земных» задачах механики, связанных с ее приме- нениями к устройствам, функционирующим вблизи или на поверхности Земли, силы притяжения, приложенные к двум материальным точкам равных масс, считаются равными и по величине, и по направлению.
Зто приводит к известному положении» о совпадении центра масс и центра тяжести и, как следствие, к равенству нулю главного момента сил тяготения (гравитационного момента) относительно центра масс. В действительности силы притяжения различ- ных точек тела Землей, как правило, не будут па- раллельными, так как оци направлены к ее центру». Ь О Кроме того, разные точки тела находятся, вообще, Ь, на разных расстояниях от центра Земли. По этим Р, причинам силы тнготения не обязательно должны приводиться к равнодействун»щей.
проходящей че- рез центр масс тела: возможен еще и гравитацион- ный момент относительно центра масс. Появление гравитационного момента можно пояснить очень простым примером. Пусть две точки 1'г и Рз оди- наковых масс соединены жестким стержнем прене- брежимо малой массы. Пусть О середина стерж- Рис. 127 ня (центр масс точек Рт и Рз), а О, притягива- ющий центр (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
