markeev_book (522779), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При етом длн высоты 6 подъема ракеты, согласно (17), получаем Дз 2 6= т. е. при наибольшей длине активного участка траектории ракеты пол- ная высота ее подъема вдвое мепыпе паиболыпей возможной высоты, задаваемой равенством (18). 2 3. Уравнения движения тела переменного состава 135.
Движение вокруг неподвижной точки. Твердььн теггом ларслчепнога состааа будем называть такую механическую систему, которан образована материальными точками Р (чи = 1, 2, ..., )х"), рас.- стонние между которыми остается постоянным. причем хотя бы одна из точек Р нвляетсп материальной точкой переменного состава.
Если т (1) — масса точки Р„, то чи (() = гп. (О) — чп ч(С) + тп зЯ (и = 1, 2, ..., )'ч'), (1) ч(Хо (е) (Г) ч(1 + ьч х Хо = Мо + Мо (2) где д)чч(( означает локальную (в системе Отрз) производную, М) (г) главный момент внешних сил относительно точки О, М вЂ” дополнибр) тельный момент, возникающий за счет того, что тело имеет переменный состав. Найдем вектор Мо .
Пусть Ьчп ч масса частиц, отделившихсл (р) от точки Р, чзт з — масса частиц, присоединившихся к точке Р за время Ьй Если и ч и и„г — абсолютные скорости отделпчощихсп где чи„ч(1) (т,з(1)) сумлчарнал масса частиц, потерянных точкой Р за время ( (соответственно присоединившихся к точке Р ). Неотрицательные неубывающие функции т ч(1), т з(() считаем непрерывными и дифференцируемыми. Пусть твердое тело переменного состава имеет одну неподвижную точку О. Длн получения дифференциальных уравнений движения тела воспользуемся теоремой об изменении кинетического люмента системы переменного состава.
Пусть система координат Ожрг жестко свнзана с телом, а Хсч кинетический момент тела относительно точки О. Если ач угловая скорость тела, то из равенства (7) и. 131 получаем 264 1")1аеа 1Х ЬКо1 = ')" Ьт 1Р х и 11 и=1 (3) Ь Коз = х ~Ьт зри х низ, где р — радиус-вектор материальной точки Р„ относительно неподвижной точки О тела. Из (3) и формул (8) п. 131 получаем и=1 Пусть е — скорость точки тела Р,а и и ни †соответствен(и) ( ') но скорости присоединяющейся и отделяющейсн частиц относительно ТОЧКИ Р . ТОГДа ии; = Еи + Н ', (1 = 1, 2), ЧтО ПОЗВОЛЯЕТ ЗаПИСатЬ (1) равенство (4) в таком виде: (К) Ч ( ЙИ1 1 ( ) <авил МО =~ риХ вЂ” 4 Ии1+,р Пил/~ и=1 и (б) При помощи соотношения (1) зто равенство приводится к виду и=1 и=1 Согласно уравнению (3) п.
132, перваи сумма в (6) представляет собой главный момент М, реактивных сил относительно точки О. (и) Замечая, что и = ы х р и проводя преобразования, совершенно аналогичные преобразованиям, проведенным в п. 82, получим, что вторая сумма в (6) равна — ы, где Л вЂ” матрица тензора инерции тела для 11Л й точки О (которая является функцией времени).
Таким образом, дополнительный момент М,, появляющийся за счет того, что рассматри(и) ваемое тело является системой переменного состава, может быть представлен в форме Мо ™о + 1('". (к) (и) Я 111 (7) и присоединяюп(ихся частиц в момент времени 1, то с точностью до членов первого порядка малости относительно Ьт,1, Ьт„з, Ь( имеем 268 З 3. Ураоненил доигненил тела иерелгенггого состава Согласно формуле (9) и. 82, кинетический момент тела 2?и может быть записан в вида Ко = Лы. Отсюда и из равенств (2)г (7) получаем — иг + Л вЂ” + со х Лиг = М( ) + М( ) + — иг, гХУ сй О О сй или Л сУ + иг х Лиг = М( ) + ЛХ("). с(г о о .
(8) Если,У,,Уи,,У, и,У,„,,У „,У„, --. осевые и центробежные моменты инеРции, а Р, гУ, г — пРоекцин Угловой скоРости тела на оси Отг Оу, Ое, то векторное уравнение (8) запишется в виде трех скалярных уравнений (3) и. 97, в правых частях которых появятся дополнительные слагаемые Ме, М„, М,, являющиеся проекциями момента реактивных () () () сил на оси Оа, Ор, Ое. В общем случае, когда момент внешних сил зависит от ориентации тела в пространстве, при исследовании движения тела вокруг неподвижной точки к этим уравнениям надо добавить еще три кинематических уравнения Эйлера.
Если в процессе отбрасывания и присоединения частиц оси От, Ор, Ол остаютсн главными осями инерции. то скалярная форма уравнения (8) примет форму динамических уравнений Эйлера: А — +(С вЂ” В)гу =М +ЛХ("),  — + (А — С) гр = Ма + М,('), С вЂ” 'г + ( — А)ргу = М, + ЛХ("), с(1 л (9) Л,~ ' = М„+М("). (10) Это и будет дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Ол. От соответствующего уравнения для тела где А, В, С вЂ” моменты инерции тела (зависящие от времени) относительно осей Оац Од, Ое, а Ме, Ми, М, — проекции главного момента внешних сил на зти оси.
136. Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть Ое --. неподвижная ось, вокруг которой вращается тело переменного состава. Тогда р ив л О, гу = О, г = го,(с). Для получения уравнения движения тела спроектируем обе части векторного уравнения (8) на ось Ож Получим Олова 1Х постоянного состава оно отличается наличием в правой чести дополнительного слагаемого М,, являющегося проекцией момента реактивных сил на ось Ог, и тем, что момент инерции .7, тела относительно этой оси явлнется переменной величиной.
Примнр 1. Тело, имеющее форму кольца радиусом г, вращается под действием постоянного момента М вокруг неподвижной вертика гьпой оси, совпадающей с осью симметрии. Когда тело приобрело угловую скорость ыо, потребовалось затормозить его. Для таких целей на внешнем ободе кольца на противоположных концах диаметра установлены два реактивных двигател я. Относительная скорость истечения газов в двигателях направлена по касательной к ободу кольца и равна и; секундный расход топлива равен у, начальный момент инерции тела с топливом равен дс.
Требуется найти расход топлива, необходимый для полного торможения тела. Гогласно (10), дифференциальное уравнение, описьявающее вращение тела, будетп тпаким: (Тс — йг 1) — = М вЂ” йиш ,,2 сии й1 Торможение вращения тела возможно, если величина реактивного момента достаточно велика (уиз > М). Решив уравнение (11), получим зависимость угловой скорости тела от времени: ~~~ — М гс ы(С) = ьзо+ 1п ~1 — — Е(. йг~ ), .~е '( ' Из уравнения Цт) = 0 найдем время т торможения вращения тела, а затем по формуле гп = дт вычислим необходимый расход тотшва.
В результате получим т / я~со тс.— м тг ГЛАВА Х Дифференциальные уравнения аналитической динамики В 1. Уравнения Лагранжа (второго рода) 137. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Рассмотрим систему Х материальных точек Р (и = 1, 2, ..., Х). Если система несвободна, то наложенные на нее связи предполагаются удерживающими и идеальными. Пусть бг„— виртуальное перемещение точки Р, т ." ее масса, ю, . ускорение в ннерциальной системе координат, а Р, равнодействующая всех активных сил, приложенных к точке Р,.
Тогда имеет место общое уравнение динамики (п. 57) ~(Р— т ш ) бг„=О. В том случае, когда все илн некоторые нз связей не идеальны, к величинам Р, следует добавить часть С, равнодействующей реакций связей, действующих на точку Р, которая не удовлетворяет условию идеальности. После этого изучаемую систему можно формально рассматривать как систему с идеальными связями. Общео уравнение динамики (1) мы принимаем за исходное при получении основных дифференциальных уравнений аналитической динамики, которым посвящена данная глава. Фактически все изучаемые ниже уравнении движении материальных систем пвляютсн только различными формами записи уравнения (1), к которым оно приводится при тех или иных предположенинх о характере активных сил, действующих на систему, и о наложенных на нее связях.
Пусть на систему наложено г геометрических и з ьипематичесьих неинтегрируемых связей. Пусть д~, дз, ..., д,„обобщенные координаты системы. Их число т равно Зд' — г. Тогда радиусы-векторы г точек Р относительно начала инерциальной системы координат записываются в виде функций аргументов оы оз, ..., д„о 1 (2) !лава Х ч дг .
дг д.з д~ 1=1 о' бг,=~ боб 1= д2 (и = 1, 2, ..., Х), (3) (и=1,2, ...,Х). (4) Запишем общее уравнение динамики (1) в обобщенных координатах. Для элементарной работы активных сил имеем выражение ~ г. бг. = ~ ~)16 О., (б) где Я,. обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате о1.
Она в общем случае является функцией ф, ф и (1=1,2, ..., т). Преобразуем выражение для элементарной работы сил инерции на виртуальном перемещении системы. Пользуясь формулой (4) и меняя порядок суммирования, получаем предварительно (6) 1=! ~и=1 дщ Но Е ".= —,~~. ' .)-~. т. — — „,,т,т.гЬ вЂ” ~ о~я. и=э з и=э «=1 1 0=1,2, ..., т). Последнее равенство при помощи формул (25) и. 16 можно записать в виде г =1 которые предполагаются дважды непрерывно дифференнируемыми.
Ес- ли система сьлерономна, то обобщенные координаты гд, оз, ..., о~ можно выбрать так, чтобы функции г, не зависели от ~. Из (2) получа- ем (см. п. 16) 269 З1. Уретеепия Лагранжа (второго рода) Если использовать выражение длн кинетической энергии системы то равенство (7) можно переписать в виде т, ' ° '= — —,, — — (у=1,2, ..., т). (8) сБи дто д дТ дТ ' д( дг11 дг дц, дбб Подставив (8) в формулу (6).
получим выражение для элементарной работы сил инерции в виде (9) и=1 1=1 Подставим теперь выражения (б) и (9) в соотношение (1) и умножим обе части получившегося равенства на — 1. В результате получим общее уравнение диназеини в обобщеннььх координатах: (1О) 138. Уравнения Лагранжа. Пусть система голономна. Тогда величины ба (г = 1, 2, ..., гн) независимы и число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы (т = и). В силу независимости величин бвд уравнение (10) удовлетворяется тогда и только тогда, когда равны нулю коэффициенты при всех дуг.
Поэтому уравнение (10) эквивалентно следующей системе и, уравнений: — — — — = ь)1 (1 = 1, 2, ..., п). ПОТ дТ (11) д1 дс)1 дог Уравнения (11) называются уравненинии Лагрангна второго рода . Они образуют систему и уравнений второго порядка относительно и функций ае(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
