markeev_book (522779), страница 47
Текст из файла (страница 47)
;=1 276 Глава Х вЂ” х;=й7", д7" дх; ' в=1 Применяя эту теорему к функпин (16), получаем ~ — ьцг =2Тз+Т,. ЭТ дф в=1 Используя еще уравнения (28), запишем равенство (29) в виде — = — (2Тз + Т| ) + ~~ —,дг — ~~ 1,1; ог + —, йТ и' ЭП * дТ вй йй или — = — (2Тэ + 2Т1 + 2То) — — (Тэ + 2То) + оТ и' вВ йг ог оП ЭП ч * 'дТ + — — —,— э 9 ог+ —.
Й дв ' дв '1'ак как 2Тг + 2Т1 + 2То = 2Т, то отсюда вытекает следующее выра- жение для производной по времени от полной механической энергии системы Е = Т+ П: — = № + — (Тг + 2То) + —, оЕ * о ЭП ЭТ ог ог дг дг ' (30) где (31) в=1 Величина № называется мощностью непотенциальпь~х сил. Формула (30) выражает гпеорему об иэлвепепии полной льехапичесной энергии голонолвной систелвы. Рассмотрим некоторые ее частные случаи. 1. Пусть система склерономна. Тогда Тг — — О, То — — О, дТ/д1 = 0 и йЕ ~*+ ЭП Й дв' (32) Далее воспользуемсн выражением (16) н теорелвой Эйлера об однородных функциях. Согласно этой теореме, длн однородной функПии )(хм хз, ..., лвь) Ьй степени справедливо равенство "З А Уравнения г7аграннеа (второго рода) 277 2.
Пусть система склсрономна и потенциал не зависит явно от времени. В этом случае ПП/де = О и из (32) получаем 11Е Й (33) 3. Пусть система удовлетворяет следующим требованиям: а) она скаерономна., б) все силы системы потенциальны, в) потепциаа пе зависит явно от времени. Система, удовлетворяющая этим трем условиям, называется консервативной. Для нее — =О, е(г (34) Е = Т+ П = 6 = сопзы 143. Гироскопические силы. Непотенциальные силы называютсн гироекопичвекияги, если их мощность равна нулю. Из равенства (33) следует, что для склерономной системы, у которой потенциал П не зависит явно от времени, интеграл энергии существует и при наличии гироскопических сил.
Пусть непотенциальные силы линейны относительно обобщенных скоростей Щ = ~71ье)ь (1 = 1, 2, ..., и). Ь=1 МатРицУ, составленнУю из коэффиционтов 711о считаем кососиммстРической, т. е. 71ь = — ты (1 = 1, 2, ..., и). Тогда силы Я гироскопические, а кососиммстричность матрицы коэффициентов 71ь является необходимым и достаточным условием гироскопичности сил 17;. В самом деле, замечая, что у кососимметрической матрицы диагональные элементы 7н (1 = 1, 2,..., я) всегда равны нулю, получаем Дг" = ,'г, 1)~цг = ~ Ъючь = О Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, обратим внимание на следующее.
Имеет место равенство т. е. полная механическая энергия консервативной системы не изменя- ется при движении системы; имеет место интеграл энергии !'лава Х Замечая, что и что в случае склерономной системы дг„/дг = О, получаем отсюда Поэтому в случае склерономной системы равенство «1'* = О выральает условие гироскопичности Х'* е =О э=1 непотенциальных сил Р', приложенных к точкам материальной систе- мы. ПРимкР 1. Покажем, что силы, приложенные к вращающемуся гироскопу и обеспечивающие его регулярную прецессию, являются гироскопическими (отсюда и происходит термин «гироскопические силыв). Пусть 0 — пеподвизкная точка гироскопа, ьо1 — его угловая скорость собстоенного вращения, а ыз ." угловая скорость прецессии. Согласно п. 106, главный момент Мо сил, приложенных к гироскопу, вычис яется по формуле Мо = ь«г х ы, ~С+ (С вЂ” А) — согде~, ыз ыз где С и А — моменты инерции гироскопа (относительно оси симметрии и относительно перпендикулярной ей главной оси, проходящей через неподвижную точку 0 гироскопа), до -- постоянное значение угла нутации.
Для элементарной работы сил, приложенных к гироскопу (являющемуся склерономной системой), имеем такое выражение: 6А = Мо ьз йа = Мю ° ьоь да+ Мгз ыз йа = О. Таким образом, силы, обеспечивающие регулярную прецессию гироскопа, имеют мощность, равную нулю, и, следовательно, являются гироскопическими. ПРИМНР 2. Кориолисовы силы инерции в склерономной системе являются гироскопическими.
В самом деле, пусть т — масса точки Р, о — ее скорость в неинерциальной системе координат, а ьз угловая з 1. уравнении Лагранжи (второго рода) 279 скоросгпь вращения этой системы координат относительно некоторой инерциальной системы координат. Тогда кориолисова сила инерции уус для точки Р вычисляется по формуле укс = — 2т„(ы х в„). бА = ~~ М У с ' Оге = ~~' .Ьс ' йр и=1 М 2„, в„ йб = — 2 ~~~ т (го х о ) в„ М.
Следовательно, мощность кориолисовых сшг инерции равна нулю и они являются гироскопическими. 144. Днсснпатнвные силы. Функция Рэлея. Непотенциальные силы называются диссипативными, если их мощность отрицательна или равна нулю (№ ( О, причем № К: О). Из равенства (33) следует, что для склеропомпой системы, у которой потенциал П не зависит явно от времени. при наличии диссипативных сил — (О, гД т.
е. полная механическан энергия системы убывает во время движения. Саму систему в этом случае называют диссипативной'. Иногда говорят, что происходит рассеивание, или диссипация, энергии. Отсюда и возник термин «диссипативные силыщ Если мощность диссипативных сил № будет определенно-отрицательной функцией обобщенных скоростей дг (т = 1, 2, ..., и) г, то диссипацип называется полной. Если же № — знакопостоннная отрицательная функцинз, то диссипацин называется неполной или частичной. Пусть задана положительная квадратичная форма Н = — ~ ~ггьцгг)ь 2 х., ць=г (й; = ь ;), Это слкечеет, что при ~д;~ < г П = 1, 2, ..., и), где г достаточно мелле пележителькее числе, № < О, причем № ебрещеетсл е нуль тольке тегде, кегде лсе обобщенные скорости реалы кулю.
гте есть е окрестности ~ай < г П = 1, 2, .... и) при сколь угодно малом г справедливо неравенство № < О и № может обращаться и нуль не только тогда, кегде псе«1=ОП=1, 2, ..., и). 27ггя склерономной системы действительное перемещение дг является одним из виртуальных. Поэтому для элелгентарной работы кориолисо- вых си г инерции имеем выражение 280 Глава Х такая, что непотенциальные силы Щ задаются соотношенинми Ж= — дЛ= — У Ь;Чь 0=1,2,...,н).
(35) Рй Тогда для склерономной системы мощность Х* непотенциальных сил равна Г; о = ~ Ц,*д; = — 2Л < О. (36) т. е. скорость убывания полной механической энергии системы равна удвоенной функции Рэлея. В качестве примера рассмотрим склерономную систему, к каждой точке которой приложена сила сопротивления, пропорциопальнан скорости этой точки: (37) Р,= — /со„(и=1, 2, ..., Х), где Й > О. Мощность этих сил будет равна ж Ж* = ~~~ Г„о = — 2Н, где я 2 (38) г =з 145.
Обобщенный потенциал. Пусть существует функция г' от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени такая, что обобщенные силы Щ определнются по формулам — — — — (1=1,2, ..., и). д дг' ЛИ 41 дф дд; (39) Тогда функция И называется обобщенныж потенциалоль Функция Л называетсн диссияатианоб функцией Рэлея. Из (33) и (36) следует, что в случае склерономной системы с потенциалом, не завися- щим явно от времени, — = — 2Л, гй З П уравнения Лагранжа (второго рода) 281 ог1 О =~~,, н, 'Ь+Л Ф Чь где функции Д пе зависят от обобщенных ускорений.
Но в теоретичес- кой механике обычно рассматриваются только такие силы, которые не зависят от ускорений. Поэтому обобщенный потенциал Е должен быть линейной функцией от обобщенных скоростей: 1' =рь+1'о; 1'г =~~ А;В, (40) где Ив А; (1 = 1, 2, ..., в) .--. функции обобщенных координат и времени. Из (39) и (40) находим выражение для обобщенных сил: ЛАе () 1 ~6 дпг Про ПАе ~- (ПАг ПА,') . (41) Если дА;/дг = 0 (1 = 1, 2, ..., в), т. е. линейная часть Ф~ обобщенного потенциала не зависит нино от времени, то обобщенные силы складываются из потенциальных сил — ПУе/дуг (1 = 1, 2, ..., и) и гироскопических сил Яг = 'р "~,ье)ь (1 = 1, 2, ..., и), я=з (42) где дА; дАя 'Г ь = — 'узи = — — — (г = 1, 2, ..., я). (43) дф, до Если к тому же система склерономпа и часть Ц обобщенного потенци- ала не зависит от времени, то, согласно и. 143, при движении системы величина Т+ 1го остается постоннной (однако Т + 1 ф сопз1).
Если положить 1 = Т вЂ” У, то уравнения Лаграюка (11) запишутся в той же форме (23), какую они имели в случае обычного потенциала сил. Из (39) следует, что 282 Глава Х Отметим, что в случае существования обобщенного потенциала функция Лагранжа лвллетсп многочлецом второй степени относительно обобщенных скоростей и представима в виде П = Вз -~- 11 -Ь Го, где Вз = Тз 11 = Т~ — 1ы Во = То — го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
