markeev_book (522779), страница 50
Текст из файла (страница 50)
3 4. Уравнения движения неголономных систем 156. Уравнения движения с множителями связей. Пусть на систему наложено в дифференциальных неинтегрируемых связей, заданных равенствами (26) и. 16: Ьгз,(ды..., д, 1)д, + Ьд(ды..., д, 1) = 0 ()1 = 1, 2, ..., в). (1) г=г Тогда в общем уравнении динамики (см. и. 137) и д=г (2) величины 691 не могут быть произвольными. Они связаны в независи- мыми соотношениями ее Ьд,бдг. = 0 ()3 = 1., 2, ..., в), Р) д=! — —.— — — Π— ~ ЛзЬд 61 =О. с1 дТ дТ ~ 11 Лье 09 о=1 1 я=1 и число степеней свободы системы равно гс = ггг — ж Для вывода уравнений движения воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Каждое из в равенств (3) умпожим на свой неопределенный скалярный множитель Лд и результаты вычтем из (2). Тогда получим Глава Х В силу независимости равенств (3) ранг матрицы, составленной из коэффициентов Ьр: (В = 1, 2, ..., е; у = 1, 2, ..., т), равен е.
Следовательно, хоти бы один из ее миноров порядка в отличен от нуля. Для определенности будем считать, что (5) Тогда величины буы..., бу„гиожно принять за независимые, а бд„+ь (й = 1,, в) однозначно выражаются через пих из равенств (3). Выберем величины Лр (В = 1, 2, ..., е) тагц чтобы коэффициенты при бд„ьы ..., дут в вырая.енин (4) обратились в нуль. При условии (5) это сделать можно, и притом единственным способом. Прн таком выборе величин Лс в выражении (4) будут содержаться только независимые вариации йй (ю, '= 1, 2, ..., п), и, следовательно, коэффициенты при них должны равняться нулю. Таким образом, приходим к следующим зп уравненилм: — — — — =Я,+ ~,ЛрЬдз 0=1,2,...,т). (6) д ВТ ВТ д1 Пуз Пуз о=1 К ннм еще надо присоединить в уравнений связей (1). Тогда по- лучим систему зп + в уравнений длп определения величин узч Лр (у = 1, 2, ..., т; В = 1, 2,..., е).
Величины Лд называются множите- в ляли связей. Слагаемые 2 Лдбе в уравнениях (6) представляют собой я=1 обобщенные реакции свнзей, Пгимвг 1. В качестве примера рассмотрим движение конька по гори- зонтальной поверхности льда (см, пример 5 из и. 1О и рис. 10) в пред- положении, что трение отсутствует. Пусть С . — центр масс конька. Положение конька зададим тремя обобщенными координатальи х, у. 1о, смысл которых ясен из рис.
10. Пеинтегрируемая связь задается урав- некием (7) х1к |р — у = О. Если т, масса конька, а дс — его момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия вичисляется по формуле Т т(х +у)ч- .У у. 1, .з , з 1 2 ' 2' 'Ч'ф. Уравнения движения неголономных систем Уравнения (6) принимают вид — —, — — = де+ Л1898 ддТ дХ дй дэ: дх ЫдТ дХ д1 ду ду = (9) т1 дТ дТ вЂ” —. — — = Юе. дй др др е' Так как трения нет, а потпенциальная энергия П конька постпоянна, то обобщенные силы Яе, Яи, ~)е равны нулю.
Уравнения (9) с учетом вьтраженин (8) запишутся в аиде (10) тпх = Льй~р, тпЯ = — Л, (11) т. е. конек движется, равномерно вращаясь вокруг вертикали. Исключив тпеперь величину Л из первых двух уравнений системы (10), получим х + 18 та 1У' = О. Используя уравнение связи (7), исключаем отсюда величину у.
Тогда с учетом равенства (11) получим уравнение относительно хт (12) э': -Ь ыо Ь8 иго 1х = О. Иэ (7), (11) и (12) с учетом начальных условий найдем ио у = — (1 — сое ито1). юо оо х = — е1псио1 ито ' (13) Отсюда следует, что центр масс конька равномерно со скоростью ио движется по окружности радиусом ие,ттао, центр которой ниходится на оси Оу (рнс. 136). Пусть в начальный момент центр масс конька находится в начале координат и конек располозкен вдоль оси Ох, т. е. при 1 = 0 имеем х = О, у = О, ~р = О.
Пусть, далее, в начальный момент скорость центра масс равна ио, а угловая скорость конька ще, т. е. х = ие, р = що. Иэ уравнения связи (7) находим тогда, тто при С = 0 у = О. Третье уравнение, системы (10) при этих начальных условиях дает 298 Глава Х Мнолгитель связи Л можно найти теперь из (13) и второго из уравнений системы (10): Л = — пиоооо созыог. (44) При известной величине Л можно найти реакцию ль связи. Для ее проекций Лл, В из (10), (11) получаем выражения О х гья = Л1бюог, Рис. 136 Подставив в них значение Л из формулы (14), получим Ль = — пиво по з1пхог. Пх —— тсооио созьзой Реакция В имеет постоянную ввзтчину тропе и направлена к центру окружности, по которой движется центр масс конька. 156.
Уравнения Воронца. Система уравнений (1), (О) помимо функций уз (з = 1, 2, ..., т) содержит еще в дополнительных неизвестных множителей связей Лд ()д = 1, 2,, в), Число уравнений в системе (1), (6) равно т+ в = и+ 2в, т. е. превышает число степеней свободы на удвоенное количество неиптегрируемых связей. Большое количество уравнений в системе (1), (6) и наличие в ней множителей связей ведет к значительным сложностям при исследовании движения. К тому же, когда целью исследования является только нахождение двияьенин, т.
е. определение зависимостей уз(1) Ц = 1, 2, ..., гп), вычисление величин Лр, позволяющих найти реакции связей, являетсн совершенно излишней процедурой. Для пеголономпых систем со связями (1) П.В.Воронец получил уравнения, которые по форме близки к уравнениям Лагранжа второго рода и свободны от упомянутых недостатков. Выведем зти уравнения, предполагая, что система склерономна. В случае склерономной системы величины Ьв в уравнениях связей (1) равны нулю, а козффициеиты Ьду не зависит от времени. Среди гп обобщенных скоростей есть и независимых; пусть это будут обобщенные скорости уг, уз, ..., д„.
Тогда из (1) находим с).ьь=~~ ояд, (1=1,2,...,в=гп — и), (1ог) где сгы — функции от йь, оз, ..., у 299 Уравнения движения неголономнь»х систем Когда система неголономна, то величины » » ~(~) Оы % ' Оы Ву ч- Ойд А, = ' + лгм»тя» — + ~~, ояг (18) Чд „Ч»»ч и»й Чп-ь»» не могут все одновременно быть тождественно равныьчи нулю». Урав- нения движения, содержащие множители связей, запишутся в виде — — — — = (с — ~~' )»ис» »1 дт дт ь=» д д »11 дЧ»»ьв дЧп, ь (»' = 1, 2, ..., и), (17) (й = 1, 2, ..., в).
Эти уравнения должны рассматриваться совместно с уравнениями связей (1ог) Обозначим О функцию, получаюшуюся в результате исключения при помощи равенств (1б) величин Чпеь (й = 1, 2, ..., л) из выражения для кинетической энергии Т: Т(Ч»» . » Чп»» Ч» ". » Ч»п» ~) — ()(Ч»» Чп» Ч»» . » Чп» 1) Согласно (15), справедливо равенство — = — +~~ . ара (»=1»2»...»п). дО дТ дТ дЧ» дЧ» ддп Следовательно, »11 дЧ»»1(дЧ» ~-~ ч»11 дЧ дв ~-~ »11 ддп гь' Заменив здесь величины — —,.
и —,, на их выражения из уравнед дТ с( дТ »11 дЧ» »11 ддп.ьь ний (17), получим, что члены, содержащие множители связей, взаимно уничтожаются, и равеаство (18) запишется в виде д дО дТ ч дТ ч ч г(с»в» дТ ,((д. = —, ~-(г»-~- р аыд + г,гхв»с» ев+ г, Ч»' Ч» Чпеь (19) »Если бы зто было ие тан, та длн всех Ь имели бы место ревеиства д„чл = уь(д», дз,..., д„,), т. е. система не была бы неголанампай. Действительно, условия А, = О (» 1 = 1, 2, ..., п; Ь = 1, 2, ..., л) суть записанные с учетом ра(ь) »д веиств (15) условия того, что величина дд„ьь = 2, оь»дд» явлнется полным диффе:=1 реиииалол». Глава Х Учитывая, что в соответствии с (15) в и дО дТт~к,' дТ ~,' ла~1 ~1 1 2 ц) дд~ дд~ ддав в дщ из равенства (19) получаем сИ дд'; дд; дд„ев '1 дщ 1/ ' ' ддвлл в 8 дт ( д'.'1'1 с1аы дТ л=1 (20) или — — — — = Ф+,7.
оы ~Ма-Н + ) + ддО дО т 1 дО 11дд, ддв * ~- * 1, "' дд„,л) л=з а дд„„„л' 1=1 в=1 (21) Замечая, что выражение, заключенное в квадратные скобки в соотно- шении (21), тождественно равно величине и ~ .4,. ф (1 = 1, 2, ..., и; й = 1, 2, ..., в), 1=1 Оь = , (й = 1, 2....., л), дд„ьв (22) получаем окончательно уравнения — — — — =в+~ .;~~а...+, ~/+ д дО дО, г дО Й дд; дд( ' * " дд„ел (23) +~~~ Вь ~> Л, ~д (1 =1 2....,п). а=1 1=3 где величины Л, определены равенствами (!6), и вводя для импульсов <л) обозначение ВО1 'З 4.
Уравнения двиэкеяия яегвлвнвмкых систем Эти уравнении называются уравнениями Воронца. Онн должны рассматриватьсн совместно с уравнениями связей (15). Полученная система уравнений движения неголономной системы не содержит множителей связей. Число уравнений равно и+ в, т. е.
совпадает с числом обобщенных координат. 157. Уравнения Чаплыгина. Пусть кинетическая энергия Т2 козффнцненты аы (к = 12 2, ..., в; 1 = 1, 2, ..., п) в уравненинх связей и обобщенные силы О) (1 —. 1, 2, ..., т) не зависят от обобщенных координат д„+й (к = 1, 2, ..., в). Тогда уравнении (23) запншутсн в виде 2 2 П й=1 й=1 1=1 (1=1,2, ...,и), (24) где — — — — — 2.~~21' 2с) в = 222,..., и).
)22) й дО дО ВП ' /" (14. йй дуй д271 дсй ~ йэ э й=1 э'=1 Пгимкг 1 (Кйчкник дискй по нкподвижной гогизоитйльией плоскости). Пусть однородный круговой диск катится йеэ скольэкения по неподвижной горизонтальной плоскости, опираясь ка нве одной п)очквй своего края.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
