markeev_book (522779), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Аппель предложил уравнения движения, которые не содержат множителей снязей и применимы как к голономным, так и к неголономным системам с неинтегрируемымн связями вида (1). Получим эти уравнения в псевдокоординатах (см. п. 17). Пусть псевдоскорости кз определены по формулам (29) п. 17: 0; = ~ сц(уы дз, ..., 9„„1)у (1 = 1, 2, ..., п). (44) 307 Уривнения движения неголономных систем ~ (Ä— т„и» ) ° дг = О. (45) Подставив в равенство ~ Г.
д , = ~ гу В, где сдд обобщеннал сила, соответствующая обобщенной координате «11«вместо величин д«г«их выражении через йг; по формулам (32) и. 17, получим злементарную работу активных сил в виде дА = ~ в', дг, = ~ 111 ~~» »1,до«г; = ~~» П;бл;, (48) где П; = Пг(вг, ..., а„,. «гп ...., й„, 1) = ~~ д»Я, (г = 1, 2, ..., п). 1=1 (47) Величины П; называютсл обобщенными силими, соответствующими псевдоноординатам з.; (1 = 1, 2, ..., п). Для получении злементарной работы сил инерции в псевдокоординатах получим, при помощи равенств (35) и.
17, следующее выражение: рг т,„иг ° в г„=— -Е-- рг о д" « =1 «=1 о=1 (48) «=1 до=1 Ксли внести функцию Я по формуле лг 2 "-л (49) то равенство (48) можно записать так: — и» де о=1 «=1 (50) Дли получении уравнений Аппелн выразим в псевдокоординатах общее уравнение динамики Глпал Х Функция Н называетсн энергией ускорений. В общем случае она нвляется функцией от д~, ..., д „зы ..., л„, лы ..., л„, й Из равенств (40) и (50) следует, что общее уравнение динамики (45) в псевдокоординатах имеет вид (51) Так как величины бл„. могут принимать произвольные значения., то отсюда следуют уравнении — =П; (1=1,2,...,п).
(52) дщ —,~ =Щ (1=1,2,...,п) (53) Эти уравнения называются уравнениями Ллпеля. Они должны рассматриватьсн совместно с л уравненинми свнзей (1) и и соотношениями (44), вводящими псевдоскорости. Аналогично тому, как в и. 140 доказана разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений ф, можно показать, что уравнения Аппеля (52) разрешимы относительно псевдоускорений л; (1 = 1, 2,..., и). Кроме того, уравнения (1) и (44), по самому выбору псевдоскоростей, разрешимы относительно ф (1 = 1, 2, ..., по) (см. уравнении (30) п. 17).
Таким образом, приходим к ко + и уравненинм, разрешенным относительно производных неизвестных функций ды ..., лж, яы ..., з.„. Если заданы начальные значения до, ..., до, ло, ..., л~, то, при не очень обременительных для механики условинх на силы, дальнейшее движение системы будет однозначно определено. Но по величинам цо, ..., д"„„л~',..., Л~ из формул (30) и. 17 однозначно определяются совместимые со связями (1) начальные значения обобщенных скоростей у~о, ..., до,.
А по величинам до, ф (1 = 1, 2, ..., гп) олнозначно определяются совместимые со связями начальные положения и начальные скорости точек системы в декартовой системе координат. Отсюда следует, что если заданы не противоречащие конечным и дифференциальным связнм положенин и скорости точек системы, то дальнейшее их движение однозначно определено.
Если в качестве величин л; приннты обобщенные скорости ц; (1 = 1, 2, ..., п), то соответствующие обобщенные силы П; равны величинам ф, вычисляемым по формулам (13) п. 63. Энергия ускорений Я в этом случае будет функцией от ды ..., д,д~,..., д„., ды ...., д„, 1. и уравнения Аппеля 3ОО Уравнения движения нвголоножнмх оиотеи Ж дЯ х Оао о3 —,г ово1л ' О. о=1 (1=1,2, ..., и) при г = г„о также равны нулю, так как тогда и = ().
Следовательно, уравнения Аппеля (52) имеют частное решение од = о о (т = 1, 2, ...., т). отвечающее положению равновесия т, = т о (и=1,2, ..., Х). Достаточность условий принципа виртуальных перемещений следует теперь из принципа детерминированности движения Ньютона— Лапласа (см. п. 45), так как, согласно этому принципу, принимаемому в классической механике, движение системы однозначно определяется положениями и скоростями ее точек в начальный момент времени.
159. Вычисление энергии ускорений. Аналог теоремы Кенига. Пусть щс — абсолютное ускорение центра масс, щ„— абсолютное ускорение точки Р, системы, в и„„ — ускорение этой точки в ее движении относительно центра масс. Тогда для всех точек системы (54) вместе с уравнениями связей (Ц образуют систему уравнений, определяющих движение рассматриваемой неголономной системы.
Число уравнений равно и+ в = т, т. е., как и в случае уравнений Воронца, совпадает с числом обобщенных координат. Если система голономна, то ои = и, ф = Щ, и уравнения (53) будут просто другой формой записи уравнений Лагранжа второго рода. Для получения уравнений Аппеля нужно вычислить функцию Я энергию ускорений, определяемую по формуле (49).
Это довольно громоздкая процедура. Поэтому, как правило, выписывание уравнений Аппеля является более трудоемкой процедурой по сравнению с получением уравнений Воронца и Чаплыгина, где вместо В надо вычислять кинетическую энергию Т. В качестве примера используем уравнения Аппеля для доказательства достаточности условий принципа виртуальных перемещений для равновесия системы (п. 62). Пусть условия (3) и (4) и. 62 выполнены и при 1 = 1е имеем ги = г,в, в = О (и = 1, 2, ..., М).
Покажем, что тогда на всем промежутке времени 1в < 1 < П система находится в состоянии равновесия, т. е. длн этого промежутка времени г = г е (и = 1, 2, ..., 1н'). Из (44), (46) и условия (4) п. 62 следует, что при г„= г„е П'(у~о . ° ° О е О ° ° ° О 1) = О для во < 1 < 11 (здесь 61о ... йто значении обобщенных координат, отвечак>щие положени1о равновесия, задаваемому в декартовой системе координат радиусами-векторами г о точек системы).
С другой стороны, величины Глава Х Вычислим энергию ускорений Ж вЂ” Ньи Ш 22., (55) Подставив (54) в формулу (55), получим /ы г и Х Ньи ШСЭ + ~Л~ О1 Ш и ' ШС + 2 ~Л~ НьиШию (58) и=1 и=1 и=1 Х 1Ч Так как 2 т. = М, а 2 тиш „= Мшои = О, то из (56) получаем и=1 Я Я= — М1ао-Ь вЂ” э т, 1а „ (57) и=1 е' = (р, о, р). (58) Согласно и.
24, ускорение частицы гп определнется по формуле Ш, = Е Х ги + Ы Х (О1 Х 1' ), или Ш = Е Х ги + СВ(О1 ° Ги) — Г СЭ~. (59) т. е. энергия услврений системы равна сумме энергии усиорений, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы и имею1цая массу, равную массе системы, и энергии ускорений в двилсении системы относительно центра масс. Полученное утверждение является аналогом теоремы Кенига для кинетической энергии (см. п. 83). 160. Энергия ускорений твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Пусть Окуз —.- жестко свнзаннан с телом система координат, начало которой совпадает с неподвижной точкой О тела.
Оси От,, Оу, Ог направлены по главным оснм инерции тела для точки О. Положение частицы п1, тела определяется ее радиусом- вектором ги, г' = (к, у,, г ). Пусть ы — углован скорость тела, ы' = (р, у, г), а е — его угловое ускорение. Так как абсолютная производнан вектора ы совпадает с его относительной производной, то '14. Уравнения движения неголонолсных систем Отсюда получаем выражения длн проекций ускорения пг на оси Ох, Оу, Огп »хие хи(Ч + 1 ) Ь Уи(ЧР 1) + зи(Рг+ Ч): го „ = — Уи(гз + Рз) + л (гп — Р) + т. (ЧР + г), пги» = †(Р + Ч ) + х (Рг Ч) -Ь У ('Ч + Р) (60) Если Аг — число частиц, на которые мы мысленно разбили тело, то выражение для ввергни ускорений имеет вид В = — ~~1 пьи(го„+ иг„'„+ щ„). и=1 Подставим сюда выражения (60) и пронзеедом некоторые преобразования с учетом того, что Ох,, Оу, Ох главные оси инерции и, следовательно, 1Ч Ж 1ч '1»е = х~ь тих У = 0 '1»» = Х~~ п»ихизг = 0~ '1е» = Л~Ь га У г = 0 и=1 и=1 Если еще в В отбросить несущественные для уравнений Аппеля слага- емые, не зависящие от Р, Ч, г, то получим В= — ~~1 тиха (гз+2ЧРг+Чз — 2ргу)+ 2 —,' Е-..' (' " - .6)+ -~-; (~~1 тизз (Чз+ 2рг Ч+ Рз — 2гЧР).
'и =1 или Я = 1 (АР' + ВЧ' + Сгз) + (С вЂ” В)Чгр Ч- (А — С) гРЧ Ч- ( — А)РЧг', 2 (61) где А, В, С' - моменты инерции тела относительно осей От,, Оу, Оз соответственно. Примкр 1 (Вывод дивлмичккких урлвнквий Эйлкгл при помощи углввкиий Аппьлн). Пусть ЛХ., Ми, М, — проекции леолгента ЛХс» внешних сил относительно точки О на оси Ох, Оу, Оз. В качестве 312 Глава.
Х псевдоскоростей примем величины кг — — р, зз = о, зз = т. Для элемен- тарной работы внешних сил имеем выражение ЛА = ЛХо игйй= М, ргП+ Мзуй+М,тй = ЛХ,Йгг+ ЛХздкз+ ЛХ,Йгз. Поэтому обобщенные силы ПО соответствующие псевдокоординатам ко вычисляются по формулам (62) П,=М„П2=ЛХз, Пз=М,. Уравнения (52) с учетом выражений (61) и (62) непосредственно при- водягп к динамическим уравнениям Эйлера (см. уравнения (4) п. 97). Пеимке 2 (Клчкиик шхрл по плоскости).
11усть однородный шар движепгся по неподвижной горизонпгальной плоскости без скольжения. Движение шара отнесем к неподвижной системе координат ОХ1'Е с началом в некоторой точке О плоскости, ось ОУ направим вертикильно вверх. Пусть игх, игу, ши — проекции угловой скорости шара на оси ОХ, ОУ, Ол, а р, а, с проекции того же вектора на оси Сх, Су, Сг жестко связанной с шаром системы координат с началом в центре шира. Пусть х, у, г — координаты центра шара в системе ОХ1'Я; 2 = а, где а — радиус шара. Условие отсутствия скольжения (равенство нулю скорости точки Р шара, которой он касается плоскости) приводит к соотношениям х = агуа, у = — шха.
(63) Момент инерции шара относительно любого диаметра равен — таг, 5 где т — масса шара. Из (57) и (61) получаем выражение для энергии ускорений: я = — т(х + уз) + —,то, (рз+ г) + р ). (64) Введем псевдоскорости по формулам (65) ГГ2 = ГЭУ~ кг = игх, Из (63) тогда получим (66) т = ил'2. у = — адг. Пусть е — угловое ускорение шара.
Тогда, замечая, что р -~-ч -~- г = е = игх+ игу -~-шх — — кг -~-кз-~-кз У2 2 2 2 ° 2 -2 22 -2 -2 2 Уравнения движенин неголономных систем и пользуясь равенствими (66), получаем из (64) такое окончательное выражение для энергии ускорений: ~ = 16та'Рак'+ дз) + 2кз). Тая как обобщенные силы 11, (ь' = 1, 2, 3) равны нулю, то из уравнений Аппеля дЯ~дке = О (г = 1, 2, 3) следует, что к; = О (е' = 1, 2, 3), или еох = сопз1, юу = сопв1, еоя = сопег. Таким образом, из уравнений Аппеля сразу следует, что угловая скорость при движении остается неизменной.
/[ругам способом этот вывод получен в п. 113. ГЛАВА Х1 Интегрирование уравнений динамики В 1. Множитель Якоби 161. Множитель системы уравнений. Дифференциальное уравнение для множителя. В данной главе будут получены некоторые общие утверждении, относнщиесн к интегрированию уравнений динамики. Сначала рассмотрим нужные в дальнейшем вспомогательные вопросы теории дифференциальных уравнений.
Пусть задана система дифференциальных уравнений 11хг 11хг 1гхь х, х ''' х„.' где Х, (1 = 1, 2...,, й) — — заданные функции переменных Х1, Хг, ..., Х1,. Всякая функция Р(Х1, хг, ..., хь), которая постоннна при хг, хг„...,,сг., удовлетворяющих системе (1), называется ее первым интегралом. Если Р(Х1, хг, ..., Хь) — первый интеграл, то дифференциал 1(1 в силу (1) тождественно равен нулнг, т, е. 4 = , Йхг + — дхг + ° ° + 11хь = В дУ дР дР дх1 дхг дх в силу уравнений (1). Это означает, что необходимое и достаточное условие того, что функции 1'(х1, хг,, хх) нвлнстся первым интег- ралом, записываетсн в виде равенства Х(р) гад Х,+ Х,+...+ Х,=В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
